Pobierz prezentację
Pobieranie prezentacji. Proszę czekać
1
WYKŁAD 6 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ (równanie Schrődingera dla atomu wodoru, separacja zmiennych, stan podstawowy 1s, stany wzbudzone 2s i 2p, liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru, stany z wysokim n; zasada odpowiedniości Bohra)
2
RÓWNANIE SCHRŐDINGERA
3
RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie
4
RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie
5
RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie
6
RÓWNANIE SCHRŐDINGERA
U, operator ewolucji w czasie zależne od czasu równanie Schrődingera H – Hamiltonian Feynman, t. III, rozdz. 8, 16
7
RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob.
funkcja falowa: operator energii Dla elektronu swob. Ponieważ dla fali: mamy: Prędkość grupowa fali jest klasyczną prędkością elektronu
8
RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob.
funkcja falowa: Pokażemy, że jeśli przyjmiemy, że: gdzie: to:
10
widzimy, że operator pędu:
Porównując: widzimy, że operator pędu: Dla pojedynczej cząstki w centralnym polu dojdzie energia potencjalna cząstki V(r):
11
Elektron w atomie H
12
Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!!
13
Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…
Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…
14
Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…
Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą… Przyjmijmy zatem, że:
17
ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatem
18
ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatem
spełnienie równości wymaga, by obie strony były równe tej samej stałej, np. E
19
Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)
20
Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)
niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać:
21
Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)
niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać:
22
Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)
niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać: Ponieważ: E będzie energią elektronu Przypomnienie; efekt fotoelektryczny:
23
gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to elektron.
Dla atomu wodoru: gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to elektron. Ponieważ masa protonu jest znacznie większa od masy elektronu, m, to w układzie współrzędnych związanych z nieruchomym protonem mamy:
24
Prowadzi to do równania Schrődingera niezależnego od czasu:
gdzie: Energia potencjalna elektronu w atomie H: Energia potencjalna elektronu w jonie H-podobnym:
25
przechodzimy do współrzędnych sferycznych:
Ze względu na niewygodną postać energii potencjalnej elektronu we współrzędnych kartezjańskich: przechodzimy do współrzędnych sferycznych: r – promień wodzący, θ – kąt biegunowy, Φ – kąt azymutalny Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 mamy wówczas prostą postać energii potencjalnej:
26
od wszystkich współrzędnych sferycznych.
Bardziej skomplikowany będzie człon związany z energią kinetyczną. Musimy uwzględnić zależność funkcji: od wszystkich współrzędnych sferycznych. Musimy przeliczyć pochodne, np. dla x – owej: Ponieważ:
27
Dla składowych y i z, przez analogię otrzymamy:
Dla funkcji radialnej, , niezależnej od współrzędnych kątowych, otrzymamy: Dla składowych y i z, przez analogię otrzymamy:
28
A po dodaniu wszystkich trzech członów:
Lub w innych równoważnych postaciach:
29
A równanie Schrődingera dla wodoru dla funkcji radialnej przyjmie postać:
W przypadku najbardziej ogólnym, gdy funkcja ψ zależy od wszystkich współrzędnych sferycznych:
30
Jako próbne rozwiązanie wstawimy funkcję:
Równanie to będzie spełnione tylko wtedy gdy:
31
Otrzymaliśmy wyrażenia na dwie nieznane stałe:
promień Bohra i energia, tzw. Rydberg. Otrzymaliśmy taką samą energię jak w modelu Bohra dla n = 1 rozkład gęstości prawdopodobieństwa n = 1, l = 0; stan 1s Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
32
co oznacza, że radialny rozkład prawdopodobieństwa:
Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości pomiędzy r i r+dr od jądra dla stanu 1s wyniesie: co oznacza, że radialny rozkład prawdopodobieństwa: a maksimum tego rozkładu znajdziemy tak: podobnie jak w modelu Bohra, dla orbity n = 1
33
Funkcja falowa stanu podstawowego 1s dla wodoru i radialny rozkład gęstości prawdopodobieństwa
34
n – główna liczba kwantowa, 1, 2, 3, 4 …
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla stanu 2s liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru n – główna liczba kwantowa, 1, 2, 3, 4 … l – orbitalna liczba kwantowa, 1, 2, 3, … n-1 m – magnetyczna liczba kwantowa, -l, -l+1, …+l Dla stanów s l = p l = d l = f l = 3 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
35
Inne rozwiązanie próbne; funkcja z „węzłem” w płaszczyźnie xy:
Wyliczamy pierwszą pochodną: i drugą pochodną:
36
Analogicznie dla drugiego wyrazu (po y): Ale trzeci człon będzie inny:
i druga pochodna po z:
37
Zbierając razem trzy pochodne cząstkowe:
Otrzymamy równanie Schrődingera w postaci: podobnej do równania dla stanu podstawowego.
38
Spróbujemy zatem podobnego rozwiązania:
Po wstawieniu do równania Schrődingera otrzymamy następujące równanie: spełnienie którego wymaga by: oraz
39
Z drugiego warunku otrzymujemy: a energia w tym stanie wyniesie:
Trzy rozwiązania: odpowiadają tej samej energii
40
a gęstości prawdopodobieństwa ich kombinacji liniowych:
wyglądają jak na rysunku: n =2, l = 1 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
41
Stan z wysokim n i l (n = 45, l = 44)
Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla atomu wodoru w stanie n = 45 i l = 44 Zasada odpowiedniości Bohra, obraz kwantowy przechodzi w klasyczny dla dużych liczb kwantowych Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
Podobne prezentacje
