Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Między duchem a materią pośredniczy matematyka. ”
Hugo Steinhaus

3 FIGURY PODOBNE. Podobieństwo w matematyce ma wiele wspólnego z podobieństwem rozumianym w sposób potoczny. W życiu codziennym podobieństwo dwóch rzeczy jest kwestią subiektywną, w matematyce jest określone ścisłą definicją. Nie wystarczy stwierdzić „na oko”, że dwie figury są podobne, trzeba to sprawdzić.

4 FIGURY PODOBNE. Figurami podobnymi są: każde dwa odcinki
każde dwa koła każde dwa okręgi każde dwie proste każde dwa kwadraty każde dwa trójkąty równoboczne każde dwie figury, które mają taki sam kształt, a różnią się najwyżej wielkością

5 FIGURY PODOBNE. Dwa wielokąty o takiej samie liczbie boków nazywamy wielokątami podobnymi, jeżeli: mają odpowiednie kąty wewnętrzne równe stosunek odpowiadających sobie boków jest równy Liczbę k równą stosunkowi długości odpowiadających sobie odcinków figur podobnych nazywamy skalą podobieństwa. Podobieństwo oznaczamy: A  B (czytaj: figura A jest podobna do figury B)

6 PRZYKŁADY FIGUR PODOBNYCH.
Figury o tym samym kolorze są podobne.

7 PRZYKŁADY FIGUR PODOBNYCH.
Wielokąt A’B’C’D’E’ jest podobny do wielokąta ABCDE ponieważ: ∢A = ∢ A’; ∢ B = ∢ B’; ∢ C = ∢C’; ∢ D = ∢ D’; ∢ E = ∢ E’, oraz: A’B’C’D’E’  ABCDE w skali k = 2 ABCDE  A’B’C’D’E’ w skali k =

8 SKALA. Skala mówi nam ile razy figury podobne są większe lub mniejsze od siebie. Jest to zawszę liczba dodatnia (k > 0). Jeżeli: k < 1 – to figura podobna jest mniejsza od wyjściowej; k = 1 – to figura podobna jest identyczna jak figura wyjściowa; k > 1 – to figura podobna jest większa od wyjściowej. Gdy dana jest długość odcinka figury wyjściowej – a, oraz skala podobieństwa – k, w prosty sposób możemy obliczyć długość tego odcinka w figurze podobnej do danej – a’. a‘ = k ∙ a

9 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. W jakiej skali kwadrat o boku 9 cm jest podobny do kwadratu o boku 22,5 cm? Oznaczmy: a‘ – długość boku kwadratu podobnego, a – długość boku kwadratu wyjściowego. Skalę podobieństwa obliczamy dzieląc długość boku figury podobnej do danej, przez długość boku figury wyjściowej:

10 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Prostokąt WILK ma wymiary 5,5 cm x 6,9 cm. Czy prostokąt SOWA o wymiarach 38,5 cm x 48,3 cm jest podobny do prostokąta WILK? Sprawdzamy, czy stosunek odpowiednich boków prostokątów WILK i SOWA jest stały. Dzielimy krótszy bok przez krótszy, a dłuższy przez dłuższy: W obu dzieleniach otrzymaliśmy tę samą liczbę a więc stosunek odpowiednich boków jest stały. Prostokąt SOWA jest podobny do prostokąta WILK, skala podobieństwa k = 7.

11 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Trójkąt KOT ma boki długości 21 cm, 24 cm i 18 cm. Jakie długości mają boki trójkąta LEW podobnego do trójkąta KOT w skali k = ? Ile razy obwód trójkąta LEW jest mniejszy od obwodu trójkąta KOT? Aby obliczyć długości boków trójkąta LEW, mnożymy długości boków trójkąta KOT przez skalę podobieństwa: Obliczamy teraz obwody: ObKOT = 21 cm + 24 cm + 18 cm = 63 cm ObLEW = 7 cm + 8 cm + 6 cm = 21 cm

12 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy. Obwód trójkąta LEW jest trzy razy mniejszy od obwodu trójkąta KOT. Tak naprawdę nie musieliśmy wyliczać obwodów i dzielić ich przez siebie, wystarczyło spojrzeć na skalę podobieństwa. Trójkąt LEW jest podobny do trójkąta KOT w skali k = , oznacza to, że trójkąt LEW jest trzy razy mniejszy od trójkąta KOT, a więc jego obwód także jest trzy razy mniejszy.

13 UWAGA. Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa. Ob – obwód figury wyjściowej Ob’ – obwód figury podobnej do figury wyjściowej k – skala podobieństwa

14 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1.
Narysowane poniżej wielokąty są podobne. Jaka jest skala podobieństwa większego wielokąta do mniejszego? Jaka jest skala podobieństwa mniejszego wielokąta do większego? Oblicz długości boków oznaczonych literami.

15 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Aby obliczyć skalę podobieństwa większego wielokąta do mniejszego, dzielimy przez siebie długość jednego z boków większego wielokąta przez długość odpowiadającego mu boku z mniejszego wielokąta: b) Skala podobieństwa mniejszego wielokąta do większego jest liczbą odwrotną do skali obliczonej w podpunkcie a, czyli:

16 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. c) Aby obliczyć długość boków x i y mnożymy długości odpowiadających im boków z mniejszej figury przez skalę podobieństwa większego wielokąta do mniejszego (powiększamy boki): ;

17 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Aby obliczyć długości boków a i b mnożymy odpowiadające im długości boków większego wielokąta przez skalę podobieństwa mniejszego wielokąta do większego (pomniejszamy boki):

18 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2.
Przedstawione na rysunku trójkąty są równoboczne. Jaka jest skala podobieństwa mniejszego trójkąta do większego? Bok mniejszego trójkąta jest jednocześnie wysokością większego trójkąta. Jeśli oznaczymy bok większego trójkąta przez a, jego wysokość można wyliczyć ze wzoru:

19 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Skalę podobieństwa obliczamy dzieląc długość boku mniejszego trójkąta – h, przez długość boku większego trójkąta – a:

20 FAKT. Aby rozstrzygnąć, czy dwa prostokąty są podobne, wystarczy sprawdzić, czy stosunek dwóch prostopadłych boków jednego prostokąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków drugiego prostokąta.

21 FAKT. Gdy figury F i F’ są podobne, to dla dowolnych dwóch odcinków figury F stosunek ich długości jest równy stosunkowi odpowiadających im odcinków figury F’.

22 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3.
Dowiedź, że prostokąty o wymiarach: 9 cm x 12 cm i 32 dm x 24 dm są podobne. Jaka jest skala podobieństwa większego prostokąta do mniejszego? Podobieństwo tych prostokątów wynika z poprzednich faktów. Jeżeli podzielę przez siebie krótszy i dłuższy bok w każdym prostokącie, to otrzymam tę samą liczbę: Skracamy jednostki i upraszczamy ułamek przez 3. Skracamy jednostki i upraszczamy ułamek przez 8.

23 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. UWAGA.
Powyższa równość świadczy o tym, że dane prostokąty są podobne, nie określa ona jednak skali podobieństwa. Aby obliczyć skalę podobieństwa dzielę długość np. dłuższego boku większego prostokąta przez długość dłuższego boku mniejszego prostokąta, sprowadzając wcześniej długości do wspólnej jednostki: 32 dm = 320 cm

24 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4.
W pewnym prostokącie przekątna jest cztery razy dłuższa niż krótszy bok tego prostokąta. W prostokącie do niego podobnym krótszy bok ma 2,75 cm długości. Jaką długość ma przekątna tego prostokąta? Skoro drugi prostokąt jest podobny do pierwszego, zgodnie z podanymi wcześniej faktami odpowiedni odcinki pozostają w takim samym stosunku. Jeśli w pierwszym prostokącie przekątna jest cztery razy dłuższa niż krótszy bok, to w prostokącie do niego podobnym jest tak samo, więc: d = 4 ∙ 2,75 cm = 11 cm.