Czwartek demo 6.

Prezentacja na temat: "Czwartek demo 6."— Zapis prezentacji:

1 czwartek demo 6

2 EMO7-laplace

3 równanie Laplace’a i warunki brzegowe
równanie Poissona potencjał V = miara zmiany pola E równanie Laplace’a równanie Laplace’a ogranicza możliwe rozkłady potencjału do klasy funkcji harmonicznych

4 równanie Laplace’a w 1 wymiarze
klasa rozwiązań = funkcje liniowe V(x) = ½ [V(x+dx) + V(x-dx)]  zadanie o wartości średniej nie istnieją extrema poza brzegiem

5 równanie Laplace’a w 2 wymiarach

6 równanie Laplace’a w 2 wymiarach
twierdzenie o wartości średniej twierdzenie o nieistnieniu maksimów i minimów lokalnych

7 równanie Laplace’a w 1-2-3 wymiarach
warunki brzegowe – przykład w 1 wymiarze V(x) = ? a w 2-wymiarach ? „elektrostatyka” dwuwymiarowa: „fizycznie” dopuszczalne warunki brzegowe równania Laplace’a w 2 wymiarach czyli guma napięta na krzywej krawędzi bębna (pas sprayem po ścianach + guma) w 3-wymiarach = brak lokalnych ekstremów wewnątrz obszaru

8 równanie Laplace’a w 3 wymiarach

9 równanie Laplace’a w 3 wymiarach
twierdzenie o wartości średniej

10 równanie Laplace’a w 3 wymiarach

11 równanie Laplace’a w 3 wymiarach

12 równanie Laplace’a w 3 wymiarach

13 równanie Laplace’a w 3 wymiarach
czyli zasada superpozycji dla dowolnego rozkładu ładunku na zewnątrz sfery czyli V nie posiada maksimów ani minimów lokalnych (może je mieć jedynie na brzegu)

14 twierdzenia o jednoznaczności
warunki brzegowe – przykład w 1 wymiarze V(x) = ? a w 2-wymiarach ? „elektrostatyka” dwuwymiarowa: „fizycznie” dopuszczalne warunki brzegowe równania Laplace’a w 2 wymiarach czyli guma napięta na krzywej krawędzi bębna a w 3-wymiarach ?

15 Resume równanie Laplace’a

16 twierdzenie o jednoznaczności z potencjałem V na brzegu
przypuśćmy, że istnieją dwa: zdefiniujmy trzeci: trzeci zeruje się na brzegu

17 twierdzenie o jednoznaczności z potencjałem V na brzegu
przypuśćmy, że istnieją dwa: zdefiniujmy trzeci: trzeci zeruje się na granicach oraz równanie Laplace’a: extrema tylko na granicach – wewnątrz brak maksimów i minimów wszędzie twierdzenie o jednoznaczności: jedno rozwiązanie = jedyne rozwiązanie uogólnić: Laplace  Poisson

18 twierdzenie o jednoznaczności z ładunkami na przewodnikach
przy zadanych całkowitych ładunkach Qi jedno rozwiązanie = jedyne rozwiązanie dowód do domu: jak wyżej + Gauss + dywergencja iloczynu

19 przykład Purcella

20 metoda obrazów ładunek +q w (-s,0,0), przewodząca płaszczyzna w x=0
V=0 dla x=0, V  0 w nieskończoności

21 metoda obrazów jak rozłożony jest ładunek na powierzchni? ile wynosi?
jak wygląda pole po drugiej stronie „lustra” ? co z energią?

22 równanie Laplace’a w układzie rθφ

23 równanie Laplace’a w układzie rθφ
wielomiany Legendre’a formalne rozwiązanie ogólne metoda separacji zmiennych

24 koniec EMO7-laplace