ZAGADKI i TAUTOLOGIE.

Prezentacja na temat: "ZAGADKI i TAUTOLOGIE."— Zapis prezentacji:

1 ZAGADKI i TAUTOLOGIE

2 ZAGADKI „Akcja” tej zagadki dziać się będzie na wyspie Szlachetnych i Łajdaków, gdzie jak zobaczymy, Szlachetni zawsze mówią prawdę, a Łajdacy zawsze kłamią. Każdy z mieszkańców tej wyspy jest bądź Szlachetnym bądź Łajdakiem. Podstawowym faktem dotyczącym tej wyspy jest to, że nikt z jej mieszkańców nie może nigdy powiedzieć, że jest Łajdakiem, dlatego, że Szlachetny nie może skłamać, że jest Łajdakiem, a Łajdak nie może powiedzieć tego, gdyż powiedziałby prawdę. McGregor, przeprowadzając spis ludności, udał się na wyspę Szlachetnych i Łajdaków. Tym razem postanowił przeprowadzić wywiad jedynie z małżeństwami.

3 ZAGADKI 1. i, oraz McGregor zapukał do drzwi. Mąż wychylił się zza nich i spytał o co chodzi. „Przeprowadzam spis ludności” odpowiedział McGregor „i potrzebuję informacji o Panu i Pana żonie. Kto z was, jeżeli ktokolwiek, jest Szlachetnym, a kto jest Łajdakiem?” „Oboje jesteśmy Łajdakami” odpowiedział mąż ze złością i zatrzasnął drzwi. Kim jest mąż i kim jest żona?

4 ZAGADKI umowa dotycząca zapisu: k1 – pierwsza osoba jest Szlachetna k2 – druga osoba jest Szlachetna ki – i-ta osoba jest Szlachetna czyli ~k1 – pierwsza osoba jest Łajdakiem ~k2 – druga osoba jest Łajdakiem ~ki – i-ta osoba jest Łajdakiem

5 ZAGADKI  - zdanie wypowiedziane przez osobę i   ki ki   czyli ki   ki   koduje zależność pomiędzy tym, kto wypowiada zdanie, a prawdziwością zdania umowa: ki   koduje fakt, że to osoba i wypowiedziała zdanie 

6 ZAGADKI 1. i, oraz McGregor zapukał do drzwi. Mąż wychylił się zza nich i spytał o co chodzi. „Przeprowadzam spis ludności” odpowiedział McGregor „i potrzebuję informacji o Panu i Pana żonie. Kto z was, jeżeli ktokolwiek, jest Szlachetnym, a kto jest Łajdakiem?” „Oboje jesteśmy Łajdakami” odpowiedział mąż ze złością i zatrzasnął drzwi. Kim jest mąż i kim jest żona?

7 ZAGADKI umowa: mąż – pierwsza osoba żona – druga osoba k1 – mąż jest Szlachetny k2 – żona jest Szlachetna ~k1 – mąż jest Łajdakiem ~k2 – żona jest Łajdaczką mąż: Ja jestem Łajdakiem i moja żona jest Łajdaczką.  - Ja jestem Łajdakiem i moja żona jest Łajdaczką.  - ~k1 ∧ ~k2 mąż: ~k1 ∧ ~k2 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏

8 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe możliwości:

9 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe 1. mąż jest Szlachetny żona jest Szlachetna możliwości:

10 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe 2. mąż jest Szlachetny żona jest Łajdaczką 1. mąż jest Szlachetny żona jest Szlachetna możliwości:

11 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny żona jest Łajdaczką 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

12 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

13 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe k1 k2 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

14 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe k1 ~k2 k1 k2 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

15 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe ~k1 k2 k1 ~k2 k1 k2 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

16 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe ~k1 ~k2 ~k1 k2 k1 ~k2 k1 k2 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

17 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe ~k1 ~k2 ~k1 k2 k1 ~k2 k1 k2 v1(k1)=1 v1(k2)=1 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

18 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe ~k1 ~k2 ~k1 k2 k1 ~k2 k1 k2 v2(k1)=1 v2(k2)=0 v1(k1)=1 v1(k2)=1 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

19 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe ~k1 ~k2 ~k1 k2 k1 ~k2 k1 k2 v3(k1)=0 v3(k2)=1 v2(k1)=1 v2(k2)=0 v1(k1)=1 v1(k2)=1 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

20 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe ~k1 ~k2 ~k1 k2 k1 ~k2 k1 k2 v4(k1)=0 v4(k2)=0 v3(k1)=0 v3(k2)=1 v2(k1)=1 v2(k2)=0 v1(k1)=1 v1(k2)=1 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

21 ZAGADKI zdanie k1  (~k1 ∧ ~k2) opisuje fakt, że mąż (osoba pierwsza) wypowiedział zdanie "Oboje jesteśmy Łajdakami" jest więc to zdanie (zgodnie z warunkami zagadki) prawdziwe ~k1 ~k2 ~k1 k2 k1 ~k2 k1 k2 v4(k1)=0 v4(k2)=0 v3(k1)=0 v3(k2)=1 v2(k1)=1 v2(k2)=0 v1(k1)=1 v1(k2)=1 4. mąż jest Łajdakiem żona jest Łajdaczką 3. mąż jest Łajdakiem żona jest Szlachetna 2. mąż jest Szlachetny 1. mąż jest Szlachetny możliwości:

22 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧~k2)‏ ~k1 ∧~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

23 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧~k2)‏ ~k1 ∧~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

24 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏ ~k1 ∧ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

25 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏ ~k1 ∧ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

26 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏ ~k1 ∧ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

27 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏ ~k1 ∧ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

28 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏ ~k1 ∧ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

29 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏ ~k1 ∧ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

30 ZAGADKI k1  (~k1 ∧ ~k2) 1 k1  (~k1 ∧ ~k2)‏ ~k1 ∧ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1 Odpowiedź: mąż jest Łajdakiem, a żona Szlachetna.

31 ZAGADKI 2. Lub, bądź W następnym domu McGregor zapytał męża: „Czy oboje jesteście Łajdakami?”. A mąż odpowiedział: „Co najmniej jedno z nas jest Łajdakiem”. Kim jest mąż i kim jest żona? * umowa: mąż – pierwsza osoba, żona – druga osoba k1 – mąż jest Szlachetny; k2 – żona jest Szlachetna ~k1 – mąż jest Łajdakiem; ~k2 – żona jest Łajdaczką mąż: Co najmniej jedno z nas jest Łajdakiem. mąż: ~k1 ∨ ~k2 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏

32 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

33 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

34 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

35 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

36 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

37 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

38 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1

39 ZAGADKI k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ 1 k1  (~k1 ∨ ~k2)‏ ~k1 ∨ ~k2 ~k2 ~k1 k2 k1 Odpowiedź: mąż jest Szlachetny, a żona Łajdaczką.

40 ZAGADKI 3. Jeżeli..., to W następnym domu zaskoczono McGregora jeszcze bardziej. Drzwi otworzył raczej nieśmiały mężczyzna. Gdy McGregor zapytał go o jego i jego żonę wszystko co tamten odpowiedział to: „Jeżeli ja jestem Szlachetnym, to także moja żona”. Kim jest mąż i kim jest żona? * mąż: Jeżeli ja jestem Szlachetnym, to także moja żona. mąż: k1  k2 k1  (k1  k2)‏

41 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2)‏ k1  k2 k2 k1

42 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2)‏ k1  k2 k2 k1

43 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2)‏ k1  k2 k2 k1

44 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2)‏ k1  k2 k2 k1

45 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2)‏ k1  k2 k2 k1 Odpowiedź: Oboje są Szlachetni.

46 ZAGADKI 4. wtedy i tylko wtedy gdy Gdy McGregor odwiedził czwarte małżeństwo, mąż powiedział: „My z żoną albo oboje jesteśmy Szlachetnymi albo oboje Łajdakami”. Co można wywnioskować z tego o mężu, a co o żonie? * zapis 1: k1  ((k1 ∧ k2) ∨ (~k1 ∧ ~k2))‏ zapis 2: k1  (k1  k2)‏

47 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1

48 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1

49 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1

50 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1

51 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1

52 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1

53 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1

54 ZAGADKI k1  (k1  k2)‏ 1 k1  (k1  k2) k1  k2 k2 k1 Odpowiedź: żona Szlachetna, a o mężu nic nie da się wywnioskować.

55 ZAGADKI Inspektor Craig ze Scotland Yardu został wezwany na wyspę Szlachetnych i Łajdaków aby pomógł odnaleźć przestępcę o nazwisku Artur York. Trudność sprawiało to, że nie było wiadomo czy poszukiwany jest Szlachetnym czy Łajdakiem. Jeden z podejrzanych został aresztowany i miał być przesłuchiwany przez inspektora. Zażądał jednak wezwania swojego adwokata. Powiedzieli co następuje: Adwokat: Mój klient rzeczywiście jest Łajdakiem, ale nie jest on Arturem Yorkiem. Podejrzany: Mój adwokat zawsze mówi prawdę! Czy jest to wystarczający dowód aby skazać bądź uniewinnić podejrzanego?

56 ZAGADKI Adwokat: Mój klient rzeczywiście jest Łajdakiem, ale nie jest on Arturem Yorkiem. Podejrzany: Mój adwokat zawsze mówi prawdę! Adwokat – pierwsza osoba Podejrzany – druga osoba p – Podejrzany jest Arturem Yorkiem. Adwokat: ~k2 ∧ ~p. Podejrzany: k1 k1  (~k2 ∧ ~p)‏ k2  k1 (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏

57 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

58 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

59 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

60 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

61 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

62 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

63 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

64 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

65 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

66 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

67 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2∧~p)‏  ~k2 ∧~p ~p ~k2 p k2 k1

68 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1

69 ZAGADKI (k1  (~k2 ∧ ~p)) ∧ (k2  k1)‏ 1  ∧  k2  k1  k1  (~k2 ∧ ~p)‏  ~k2 ∧ ~p ~p ~k2 p k2 k1 Jest to wystarczający dowód aby skazać podejrzanego.

70 TAUTOLOGIE KRZ Przegląd ważniejszych tautologii KRZ tautologie implikacyjne  p  p prawo tożsamości (p  (p  q))  (p  q) prawo skracania (p  q)  ((q  r)  (p  r)) prawo przechodniości  (p  (q  r))  (q  (p  r))‏

71 TAUTOLOGIE KRZ Przegląd ważniejszych tautologii KRZ tautologie implikacyjne  p  p prawo tożsamości Jeżeli szef ma zawsze rację, to szef ma zawsze rację. (p  (p  q))  (p  q) prawo skracania Jeżeli po mnie przyjdziesz, to o ile po mnie przyjdziesz to wybiorę się do kina; więc wybiorę się do kina, o ile po mnie przyjdziesz. (p  q)  ((q  r)  (p  r)) prawo przechodniości  Jeżeli wstanę przed siódmą to zdążę na pociąg, więc o ile to, że zdążę na pociąg pociąga to, że będę w Krakowie przed dziesiątą, to jeżeli wstanę przed siódmą, to będę w Krakowie przed dziesiątą. (p  (q  r))  (q  (p  r))‏

72 TAUTOLOGIE KRZ tautologie negacyjno-implikacyjne ~,  ~~p  p prawo podwójnego przeczenia p  ~~p prawo podwójnego przeczenia (p  q)  (~q  ~p) prawo kontrapozycji (~p  ~q)  (q  p) prawo kontrapozycji (p  q)  ((p  ~q)  ~p)‏ (p  q)  ((~p  q)  q)‏ p  (~p  q) prawo przepełnienia

73 TAUTOLOGIE KRZ tautologie negacyjno-implikacyjne ~,  ~~p  p prawo podwójnego przeczenia p  ~~p prawo podwójnego przeczenia (p  q)  (~q  ~p) prawo kontrapozycji (~p  ~q)  (q  p) prawo kontrapozycji (p  q)  ((p  ~q)  ~p)‏ (p  q)  ((~p  q)  q)‏ p  (~p  q) prawo przepełnienia

74 TAUTOLOGIE KRZ tautologie koniunkcyjno-implikacyjne ∧,  (p ∧ q)  p (p ∧ q)  q (p  q)  ((p  r)  (p  (q ∧ r)))‏ p  (q  (p ∧ q))‏ ((p  q) ∧ p)  q modus ponens (p ∧ q)  (q ∧ p) prawo przemienności dla ∧ ((p ∧ q) ∧ r)  (p ∧ (q ∧ r)) prawo łączności dla ∧ (p  (q  r))  ((p ∧ q)  r)‏

75 TAUTOLOGIE KRZ tautologie koniunkcyjno-negacyjne ∧, ~ ~(p ∧ ~p) prawo niesprzeczności tautologie koniunkcyjno-implikacyjno-negacyjne ∧, , ~ (p ∧ ~p)  q prawo przepełnienia (wersja ∧)‏ (p  q)  ~(p ∧ ~q)‏ ~ (p  q)  (p ∧ ~q)‏

76 TAUTOLOGIE KRZ tautologie alternatywno-implikacyjne ∨,  p  (p ∨ q)‏ q  (p ∨ q)‏ (p  r)  ((q  r)  ((p ∨ q)  r))‏ (p ∨ q)  (q ∨ p) prawo przemienności dla ∨ ((p ∨ q) ∨ r)  (p ∨ (q ∨ r)) prawo łączności dla ∨ tautologie alternatywno-implikacyjno-negacyjne ∨, , ~ (p ∨ q)  (~p  q)‏

77 TAUTOLOGIE KRZ tautologie alternatywno-negacyjne ∨, ~ p ∨ ~p prawo wyłączonego środka tautologie różne ~(p ∨ q)  (~p ∧ ~q) prawo de Morgana ~(p ∧ q)  (~p ∨ ~q) prawo de Morgana

78 Co należy umieć? - Należy znać zasady konstrukcji zagadek I należy umieć je rozwiązywać