od mechaniki klasycznej (CM) do mechaniki kwantowej(QM)

Prezentacja na temat: "od mechaniki klasycznej (CM) do mechaniki kwantowej(QM)"— Zapis prezentacji:

1 od mechaniki klasycznej (CM) do mechaniki kwantowej(QM)
mechanika (CM) czy (QM): (CM) F(r)  F=ma  energia ω, Δω=0 (QM) V(r)  r. Schr.  energia ω(α), Δω>0: Δω (vs) kBT (T=0)ω(0)< ω(1)< ω(2)<... +thermodynamika: (CM) p(ω,T) ~ exp(-ω/ kBT), Boltzman (QM) f(ω(α),T)= BE{bozony, N(α)=0,1,2,3,...} lub FD{fermiony, N(α)=0,1} =wynik: <E>=suma{p(ω(i),T)·ω(i)} lub suma{f(ω(α),T)·ω(α)}

2 Skale energii, czasu Δω (vs) kBT Δt (vs) skala czasowa:
pole mgt μB (Fe,1T=tesla) eV termiczna kBT (300K) eV kwantu hf=hc/λ (5000A) 2.48eV Coulomba e2/4πε0r (r=0.529A) eV Einstein E=mc2 (m=elektron) MeV Wielki Wybuch 15·109 y T=0K minimum energii Wiek Ziemi ·109 y T=1K ciekły hel Historia y T=3K Wszechświat Szkło y T=100K ciekły azot Fiskus y T=300K pokojowa Oko 0,05 s T=3000K wolfram Elektron s T=5000K Słońce

3 od CM do QM: energia <E> =suma_α{f(ω(α),T)·ω(α)}, α=(n,l,m,s),
dla fermionów N(n,l,m,s)=0,1 ale ω(α)=ω(n,l), stąd <E> =suma_(n,l){f(ω(n,l),T)·ω(n,l)}g(n,l), gdzie g(n,l)=2(2l+1)=krotność konfiguracji o danym zestawie (n,l) gdy (m,s) są dowolne, N(n,l,m,s)=0..g(n,l)‏ Dla atomów (gazy)‏ n=1,2,3,... ω(n,l) ~ -1/n2, r~ n2, z poprawką na l l =0..n kodowanie l = s, p, d, f,... krotność g(n,l) = 2,6,10,14,... stan: (n,l) = nl = 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, ... ω(n,l)=liczba, poziom en. kryształ ω(n,l)=pasmo 0< ω<W, około 1024 mikropoziomów

4 (QM) od atomu(gaz) do kryształu
1 atom Na atomów (gaz) kryształ energia ω = ω(n,l) ω = ω(n,l) <ω<W=3eV krotność g=2(2l+1) g=2(2l+1)·Na g=2(2l+1)·Na położenie 1 poziom 1 poziom g mikropoziomów Uwaga: dla Na=1024, l=2(d), g(kryształ)=1025, atom H: Δω=10eV=105K V(e-e)=0 kryształ: W=3eV  Δω=W/g=3·10-21K V(e-e)>0 ω ω ω W atom gaz kryształ

5 od CM do QM: determinizm?
(CM) F(r)  F=ma + warunki początkowe  tor r(t) (QM) V(r)  r. Schr. + war. na f. falową ψ  ψα(r,t)‏ zamiast r(t)  p(r(t)) ~ |ψα(r,t)|2, Prawdopodobieństwo Δp znalezienia cząstki w dowolnie wybranym fragmencie przestrzeni ΔV wynosi (teoria), np. Δp=0.39, wg QM: Eksperyment pomyślany: • Wszechświat • Δp = (400±20)/1000 = 0.40 ±0.02 • • • • okno obserwacyjne ΔV

6 od CM do QM: determinizm?
Np. tor cząstki: r r p(r,t0) t t0 Rozkład p(r,t0) zmierza do rozkładu ‘igłowego’ (δ-Diraca) w granicy dużej masy m, czyli tor jest deterministyczny, wg mechaniki klasycznej Newtona.

7 model Bohra atomu wodoru
(1)mv2/r = Ze2/4πεε0r2, czyli orbita kołowa (znak ‘=‘)‏ chcemy wyznaczyć v,r ==> konieczne 2-gie równanie (2)mvr = n·h/2π , n=1,2,3,... Postulat Bohra, ale skąd??? uwaga: Fe= 8,1·10-8 [N], Fg= 3,7·10-47 [N] (1)+(2)  r ~ n2/Z, stąd n=numer orbity, n=1 najbliżej jądra, stąd r=1, 4, 9, 16, ... gdy n=1, 2, 3, 4, ...  v ~Z/n Stąd energia elektronu (CM) ω(n) =V+K=-Ze2/4πεε0r + mv2/2 = -13,56eV· Z2/n2 (QM) ω(n,l,m,s) = ω(n,l) =( ±)ω(n)

8 Przykład zastosowania mechaniki kwantowej - atom wodoru
Interpretacja liczb kwantowych (n,l,m,s), definiujących jeden z możliwych stanów elektronu n główna liczba kwantowa, r(n) ~ n2, ω(n) ~ -1/ n2 n = 1,2,3,... l orbitalna, eliptyczność orbit, poprawki r(n,l) i ω(n,l) l = 0,1,2,...,n-1=„s,p,d,f,...” m magnetyczna, m = -l..l s spinowa, s = -1/2, +1/2 Energia zależy tylko od ω(n,l)  stan(n,l) odpowiada g(n,l)=2(2l+1) dostępnym (m,s), czyli stan (n,l) =1s 2s 2p ... 3d g(n,l) =

9 Mechanika kwantowa: dyskretne energie ω(α), g(α) ... i co dalej?
Metoda: QM  konfiguracja elektronowa  np. tranzystor 1)Sortuj ω(α) =ω(0)<ω(1)<ω(2)<ω(3)<... T=0<T1<T2<... stan α=A B C D ... g(α) = (przykład fikcyjny) czyli, np. dla atomu(gaz) reguły Hunda 2)Zasada minimum energii, np. N=9, i zakaz Pauliego! (T=0) n(α) = (T>0) n(α) = 3)Konfiguracja = A4B2C2D1 np. 26Fe = 1s22s2p63s2p6d64s2 = 3d64s2 zapełnienie f = ,6 1

10 Od 1 atomu (gaz) do wielu atomów (ciecz, ciało stałe)
obiekt nazwa wynik 1p tylko p poziomy 1s 2s 2p 3s 3p 3d ... 1p+1e wodór e „wybrał” 1s1 2p&2n jądro He poziomy 1s 2s 2p 3s 3p 3d ... 2p&2n+1e jon He e „wybrał” 1s1 2p&2n+2e atom He drugi e „wybrał” 1s ==> 1s2 uwaga włączył się Pauli atom 26Fe 1s22s2p63s2p6d64s2 kryształ Fe 1s22s2p63s2p6d7,24s0,8 kryształ: d7,24s0,8 =3d4,7+d2,5-4s0,4+s0,4- 3d==>magnetyzm, 4s==>przewodnictwo

11 Wynik=konfiguracje elektronowe atomów (gaz)
Np. konfiguracja elektronowa siarki 16S=1s22s2p63s2p4=3s2p4 Schemat dla T=0: dane Z(min E & Pauli)konfiguracja Schemat dla T>0: dane Z(E>min & Pauli)konfiguracja Z nazwa konfiguracja elektronów/stanów 1 H 1s1 1/2 (sm=-0..+02 stany)‏ 2 He 1s2 2/2 3 Li 1s22s1 1/2 6 C 1s22s2p2 2/6 (pm=-1..+16 stanów)‏ 13 Al 3s2p1 1/6 Si 3s2p2 2/6 15 P 3s2p3 3/6

12 ...ale konfiguracje elektronowe ciała stałego są inne
Reguła Hunda obowiązuje tylko dla atomów (gazy) Spośród 2 stanów (n,l), mniejszą energię ma stan (1) o mniejszej sumie (n+l), a w razie braku rozstrzygnięcia (2) o mniejszym (n), oraz (3) o możliwie (Pauli!) największym momencie magnetycznym (atom)26Fe=3d64s2 =3d5+14s1+1, μ=5-1=4 (c.s.) 26Fe=3d7,24s0,8 =3d4,7+2,54s0,4+0,4, μ=4,7-2,5=2,2 (atom)27Co=3d74s2 =3d5+24s1+1, μ=5-2=3 (c.s.)27Co=3d8,34s0,7 =3d5,0+3,34s0,35+0,35, μ=5,0-3,3=1,7 (atom)28Ni=3d84s2 =3d5+34s1+1, μ=5-3=2 (c.s.)28Ni=3d9,44s0,6 =3d5,0+4,44s0,3+0,3, μ=5,0-4,4=0,6 Wniosek: konfiguracje elektronowe gazów i ciał stałych są różne (ponieważ inne otoczenie danego atomu  inne V(r)).