Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Mechanika Kwantowa dla studentów II roku (2015) (Wykład 2+3+4)

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Mechanika Kwantowa dla studentów II roku (2015) (Wykład 2+3+4)"— Zapis prezentacji:

1 Mechanika Kwantowa dla studentów II roku (2015) (Wykład 2+3+4)

2 Postulaty Mechaniki Kwantowej, (związek z opisem klasycznym)

3 Przegląd postulatów Mechaniki Kwantowej, uwagi o jej matematycznym języku.
Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Często się zdarza, że zapotrzebowania fizyczne stymulują różne działy matematyki. Mechanika Newtona Rachunek różniczkowy i całkowy, Elektrodynamika klasyczna Rachunek tensorowy, równania różniczkowe cząstkowe, MECHANIKA KWANTOWA -- Przestrzenie liniowe, operatory liniowe, grupy i ich reprezentacje. Pełny matematyczny formalizm Mechaniki Kwantowej został podany przez J. von Neumana w 1932 roku „Mathematical Foundation of Quantum Mechanics” Springer, Berlin, 1932

4 Postulaty Mechaniki Kwantowej
UKŁAD FIZYCZNY Kwantowo: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest zbiór stanów mikroskopowego układu kwantowego tworzących przestrzeń Hilberta stanów kwantowych H Elementy przestrzeni będziemy oznaczać: Klasycznie: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest przestrzeń fazowa (Przestrzeń fazowa z więzami) {x1, x2, x3, p1, p2, p3;.....}

5 Definicja Przestrzeni liniowej
Definicja Przestrzeni unitarnej Definicja Przestrzeni Hilberta Definicja Algebry

6 Przestrzeń liniowa Φ nad ciałem K:
ciało K -- ciało liczb zespolonych Rozdzielczość mnożenia względem dodawania Łączność

7 Notacja wektorów wprowadzona przez Diraca
Wektor „Ket” Wektor „Bra” Sprzężenie Hermitowskie Iloczyn skalarny Bracket (nawias)

8 Przestrzeń unitarna Metryka generowana przez iloczyn skalarny:
Zbieżność w sensie Cauchy’ego jest zbieżny w sensie Cauchy’ego, gdy dla każdego istnieje takie N, że , gdy

9 Przestrzeń Hilberta H Liniową i unitarną przestrzeń H nazywamy przestrzenią HILBERTA, gdy każdy ciąg elementów H zbieżny w sensie Cauchy’ego ma element graniczny, który też należy do przestrzeni H . Liniowa zależność, linowa niezależność Przestrzenie skończenie i nieskończenie wymiarowe Baza , gdy Przestrzeń Hilberta H jest izomorficzna z Cn gdy jest skończenie wymiarowa lub z L2 gdy jest nieskończenie wymiarowa. Tak więc badanie nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta sprowadza się do badania przestrzeni L2.

10 Przestrzeń Cn to zbiór wektorów, którego elementami są liczby zespolone:
Przestrzeń X =L2(Ω) to przestrzeń funkcji na zbiorze o wartościach rzeczywistych lub zespolonych takich, że

11 Omówienie formalizmu Diraca
Przestrzeń sprzężona Iloczyn skalarny = „bra-c-ket”

12 ALGEBRA operatorów Zbiór operatorów {A} tworzy ALGEBRĘ, gdy
Każde A jest operatorem liniowym. Dla A i B określony jest ich iloczyn AB = C o własnościach: Istnieje operator jednostkowy I taki, że:

13 Postulat I : Stan układu fizycznego w danej chwili
Klasycznie: Stan układu fizycznego fizycznego (punkt materialny, układ punktów materialnych) w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej a więc zarówno położenia jak i pęd każdej cząstki: ( xi(t), pi(t) ); i = 1,2, ……n Kwantowo: Kantowy stan układu fizycznego (dokładniej kwantowy stan czysty) opisany jest przez wektor w przestrzeni Hilberta H Później będziemy mówić także o tzw. stanach mieszanych.

14 Postulat II: Wielkość fizyczna Klasycznie: Kwantowo:
Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: F = F(xi(t), pi(t)), np. Energia punktu materialnego to: Kwantowo: Każdej wielkości fizycznej przypisany jest operator hermitowski posiadający zupełny układ wektorów własnych. Takie operatory nazywać będziemy OBSERWABLAMI A+ = A;

15 Postulat (II)1: Konstrukcja wielkości fizycznej
Klasycznie (tak jak poprzednio): Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: F = F(xi(t), pi(t)), np. Energia punktu materialnego to: Kwantowo: Dla układu posiadającego analogię klasyczną: na które nakładamy relacje komutacji: wtedy: Dla układów nie posiadających analogii klasycznej, obserwable i ich relacje komutacji są proponowane.

16 Izomorfizm dwóch przestrzeni Φ oraz Φ’ z iloczynem skalarnym
Operatory liniowe: Operator sprzężony A+: Operator samosprzężony: A+ = A Operator hermitowski: A+ = A oraz D(A+) = D(A) jest gęsta

17 Operatory odwrotne: Operatory unitarne: Komutacja operatorów:

18 Wektory i wartości własne operatorów:
parametr degeneracji Zdegenerowana wartość własna: Widmo operatora = zbiór jego wartości własnych: Dla operatorów hermitowskich: 1) Wartości własne są rzeczywiste: 2) Wektory własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Zupełny układ wektorów własnych: Macierzowa reprezentacja operatorów. Operatory zupełne.

19 Postulat III: Wykonanie pomiaru Klasycznie: Kwantowo:
Klasycznie możemy zmierzyć położenie i pęd każdej cząstki w dowolnej chwili czasu t. Mając xi(t) oraz pi(t) wyznaczamy dowolną wielkość fizyczną F = F( xi(t), pi(t) ) z dowolną dokładnością. Kwantowo: Wynikiem pomiaru wielkości fizycznej A jest zawsze jakąś jej wartość własną a : Mierząc A w stanie zawsze otrzymamy wartość własną ai, Mierząc A w stanie otrzymamy różne wyniki ai, z góry nie wiemy jaki będzie wynik pomiaru. Mechanika Kwantowe daje tylko możliwość obliczenia prawdopodobieństwa tego wyniku pomiaru ai.

20 Dlaczego A musi być operatora hermitowskiego?
Dlaczego A musi być operatorem zupełnym?

21 Postulat IV: Różne wyniki pomiaru Klasycznie: Kwantowo:
Każdą wielkość możemy wyznaczyć bez ograniczeń. Dokonanie pomiaru jednej wielkości nie wpływa na posiadaną wiedzę o dowolnej poprzednio zmierzonej wielkości fizycznej. Pomiar jest tylko rejestracją tego co jest, wynik i tak jest zakodowany w układzie. Pomiar nie wpływa na zachowanie się układu fizycznego, nie zmienia go. Kwantowo: Mierząc dowolną wielkość fizyczną A w stanie wynik nie jest znany. Jeżeli układ jest w stanie to prawdopodobieństwo (pa) otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej a jest równe wartości średniej operatora rzutowego na podprzestrzeń degeneracji wartości własnej a

22 Operatory rzutowe na podprzestrzeń degeneracji wartości własnej:
Własności operatorów rzutowych Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A w stanie wartości własnej ai gdy wartość ta jest zdegenerowana? Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru kilku wartości własnych?

23 Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej a:
Gdy wartość własna a jest niezdegenerowana:

24 Dokonujemy wielokrotnie pomiaru wielkości fizycznej A, otrzymujemy w wyniku tych pomiarów różne wartości własne. Możemy obliczyć wartość średnią ( ) :

25 Dyspersja i Średnie odchylenie standardowe
Wykonujemy wiele pomiarów, wartość średnia wyników określona przednio nie charakteryzuje rozkładu wyników. Wielkością charakteryzującą rozrzut wyników pomiarów jest: Dyspersja i Średnie odchylenie standardowe Określamy Dyspersje rozkładu wyników pomiarów: Oraz Średnie odchylenie standardowe rozkładu: Na ćwiczeniach udowodnimy nierówność Schwarza:

26 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Uwaga: udowadniamy nierówność Schwarza obliczając iloczyn skalarny wektora i podstawiamy: Dla dwóch obserwabli, które nie komutują: można wyprowadzić relację pomiędzy średnimi odchyleniami standardowymi rozkładów wyników pomiarów obserwabli A oraz B w tym samym stanie Zasada nieoznaczoności Heisenberga

27 Dowód: 1) Określamy: 2) Łatwo sprawdzić, że 3) Wtedy otrzymamy:
4) Korzystamy z własności liczb zespolonych: 5) Wstawiając i wykorzystując nierówność Schwarza, otrzymamy:

28 Relacja nieoznaczoności Heisenberga
6) Wykorzystując związki otrzymujemy Relacja nieoznaczoności Heisenberga

29 Postulat V: Stan układu po pomiarze Kwantowo: Klasycznie:
Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Jeśli układ był w stanie i dokonaliśmy pomiaru wielkości fizycznej A w wyniku czego otrzymaliśmy niezdegenerowaną wartość własną a, to stan układu po pomiarze będzie opisany wektorem stanu: Przypadek zdegenerowany omówimy później. Klasycznie: Pomiar tylko rejestruje, ale nie zmienia układu fizycznego. Jeżeli więc w chwili pomiaru układ miał położenie xi(t) oraz pęd pi(t) to dokładnie te same wartości położenia i pędu układ będzie posiadać po dokonaniu pomiaru dowolnej wielkości fizycznej.

30 Postulat V1: Przygotowanie układu fizycznego do pomiaru Klasycznie:
Omówimy później gdy poznamy stan mieszany!! Klasycznie: W pewnej chwili t0 dokonujemy pomiaru położenia i pędu cząstki (cząstek): (xi(t0), pi(t0)) Istnieją też sposoby bezpośredniego pomiaru innych wielkości fizycznych. Kwantowo: Przygotowując układ do pomiaru mierzymy jedną lub więcej wielkości fizycznych, których obserwable komutują. Gdy w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A otrzymaliśmy wartości własne a1, a2,, a3, ....., z prawdopodobieństwami w1, w2, w3, ..., to taki zbiór układów opisany jest operatorem statystycznym .

31 Zbadać funkcjonowanie postulatu gdy:
1) nie wykonujemy pomiaru (wykonujemy ∞ liczbę pomiarów i nie rejestrujemy wyników), 2) jak wygląda stan układu gdy w wyniku pomiaru otrzymujemy wartość własna ai, która jest zdegenerowana, 3) gdy przygotowaliśmy układ w stanie własnym mierzonej następnie obserwabli. Uwaga: ρ jest stanem własnym obserwabli A gdy (ΔA)ρ=0 gdzie

32 Postulat VI: Ewolucja w czasie układu kwantowego Klasycznie: Kwantowo:
Znając siły działające na układ fizyczny i warunki początkowe możemy wyznaczyć stan układy w dowolnej późniejszej chwili czasu. Służą do tego równania ruchu. Znamy kilka wersji r. ruchu: np. r. Newtona, r. Lagrange’a, r. Hamiltona albo r. Hamiltona – Jacobiego. Np. r. Hamiltona: Kwantowo: Mechanika kwantowa daje także możliwość wyznaczenia stanu w dowolnej późniejszej chwili czasu gdy znamy stan początkowy. Gdy nie wykonujemy pomiaru na układzie i znamy jego stan początkowy to istnieje taki operator H zwany operatorem Hamiltona (Hamiltonian), że (równanie Schrödingera)

33 Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator H jest operatorem energii układu.
Dla układu nieizolowanego istnieje też odpowiedni operator H = h(t), który nie jest operatorem energii. Równanie Schrödingera opisuje stan czysty, dla stanu mieszanego będziemy mieć inne równanie (będzie określone później) Obrazy Schrödingera, Heisenberga ( i Diraca) Równanie Heisenberga Stany stacjonarne, stałe ruchu

34 Wprowadzamy operator ewolucji czasowej stanów:
Własności operatora ewolucji w czasie.

35 Obraz Schrödingera Obraz Heisenberga A(t) spełnia równanie Heisenberga:

36 Równanie Heisenberga

37 Zasada nieoznaczoności czas - energia
W zasadzie nieoznaczoności wstawiamy B=H i otrzymamy: Wykorzystamy równanie Heisenberga: Tak więc Określamy gdzie Zasada nieoznaczoności czas - energia

38 Postulat VII: Układy z wieloma stopniami swobody Kwantowo: Klasycznie:
Każdy stopień swobody ma swoją własną hermitowską przestrzeń stanów Przestrzeń stanów układu z wieloma stopniami swobody jest iloczynem prostym przestrzeni Stan czysty układu jest kombinacją iloczynów prostych stanów: Klasycznie: Każdy następny stopień swobody opisany jest przez nową parę zmiennych kanonicznie sprzężonych. { qi(t), pi(t), i = 1,2,3,..... }

39 Definicja iloczynu prostego przestrzeni,
definicja iloczynu skalarnego, baza Stany niezależne, dowolne stany – stany splątane Obserwable dla wielu stopni swobody Przykłady

40 Postulat VII1: Stopnie swobody związane z cząstkami identycznymi
Klasycznie: Klasycznie nawet obiekty identyczne są rozróżnialne. Możemy śledzić ruch każdej cząstki nawet jeżeli jest ona identyczna z innymi Nie ma cząstek identycznych. Nie ma specjalnych konsekwencji identyczności cząstek Kwantowo: Nie mogę śledzić cząstek. Cząstki identyczne są nierozróżnialne. Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych. Stany mogą być albo całkowicie symetryczne albo całkowicie antysymetryczne. Stany całkowicie symetryczne opisują cząstki o spinie całkowitym (BOZONY), stany antysymetryczne opisują cząstki o spinie połówkowym (FERMIONY).

41 Unormowane stany całkowicie symetryczne i antysymetryczne dla wielu identycznych cząstek
Obserwable dla cząstek identycznych Zasada Pauliego

42 Dziękuję za uwagę

43 1. Claude Cohen-Tannoudii, Bernard Diu, Frank Laloë,
Quantum Mechanics I, II , 1977, 2. Ramamurti Shankar, Mechanika Kwantowa, PWN, 2006 3. R. Eisenberg, R. Resnik, Fizyka Kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek elementarnych, 1983, 4. J.I.Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Advanced Quantum Mechanics, 1967, 5. Leonard I.Schiff, Mechanika Kwantowa, 1977, 6. Albert Messiah, Quantum Mechanics, 1976.


Pobierz ppt "Mechanika Kwantowa dla studentów II roku (2015) (Wykład 2+3+4)"

Podobne prezentacje


Reklamy Google