REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU MECHANIKA PŁYNÓW

Prezentacja na temat: "REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU MECHANIKA PŁYNÓW"— Zapis prezentacji:

1 REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU MECHANIKA PŁYNÓW
7. Maja r. Mechanika i budowa maszyn Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska

2 Elementy hydrauliki

3 Elementy hydrauliki (1) gdzie:
Poruszający się płyn napotykając na drodze przeszkodę w postaci ciała sztywnego wywołuje na jego powierzchni reakcję dynamiczną jako wypadkową pola ciśnień. Przez dS z jaką płyn działa na sztywną ścianę wynosi: (1) gdzie: τ – jest naprężeniem stycznym, przy uwzględnieniu lepkości płynu, - jest wersorem stycznym do powierzchni S

4 Elementy hydrauliki Siła przeciwnie skierowana = - nazywa się reakcją dynamiczną strumienia. Wektor główny sił powierzchniowych działających w obszarze V określony jest wzorem : (2)

5 Elementy hydrauliki Wektor główny sił statycznych, wywołanych polem ciśnień, określa zależność: (3) Równanie równowagi kinetostatycznej przepływu płynu zgodnie z zasadą pędu ma postać: (4) gdzie jest składową normalną wektora prędkości do powierzchni S.

6 Elementy hydrauliki Reakcję dynamiczną strumienia swobodnego, przy pominięciu sił powierzchniowych i masowych, określa zależność: (5) gdzie jest elementarnym natężeniem przepływu przez powierzchnię ds. Jeżeli przyjmiemy jednorodne pole prędkości dla strugi, to całka we wzorze (5) jest równa różnicy wektorów pędów: (6) gdzie:

7 Elementy hydrauliki Korzystając z zależności geometrycznych (rys.1) można wyznaczyć moduł reakcji dynamicznej przy jednakowych natężeniach przepływów: (7) gdzie:

8 Elementy hydrauliki R Rys. 1. Rozkład reakcji strumienia

9 Elementy hydrauliki Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczono również wartość reakcji R: (8)

10 Elementy hydrauliki Zakładając różne pola przekrojów przewodów oraz różne prędkości przepływów , można z zależności geometrycznych ustalić wartość wypadkowej reakcji: (9) gdzie:

11 Elementy hydrauliki W szczególności dla kąta α = : gdzie:
jest ilorazem pól przekrojów poprzecznych przewodów.

12 Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o
zmiennym przekroju

13 Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju
Rozpatrzmy przepływ płaski płynu przez nieprostoliniowy przewód o zmiennym przekroju (Rys.2): Rys.2. Rozkład obciążeń przewodu

14 Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju
Na wejściu przewodu o polu przekroju płyn posiada prędkość , natomiast na wyjściu o polu przekroju prędkość W przekrojach A, B przewodu płyn idealny określony jest wektorami pędów: (10)

15 Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju
Różnica wektorów pędów jest równa reakcji dynamicznej strumienia: (11) Z uwagi na prawo ciągłości przepływu zachodzi warunek: (12)

16 Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju
Wypadkowa reakcja dynamiczna strumienia jest przyłożona w punkcie A określonym przez przecięcie kierunku wektora pędu z konturem przewodu ilustruje (Rys.3) wraz z wyznaczonym kierunkiem reakcji , który jest przesunięty równolegle do punktu A. Wektor reakcji dynamicznej rozkładamy następnie na składowy wektor poziomy i pionowy w kierunku osi x, y, układu współrzędnych. Wartość reakcji dynamicznej można obliczyć ze wzorów (9) i (10)

17 Rys.3. Rozkład obciążeń przewodu
Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju Rys.3. Rozkład obciążeń przewodu

18 PRZYKŁAD 1

19 PRZYKŁAD 1 Wyznaczyć wartość i kierunek reakcji dynamicznej działającej na przewód z dwoma rozgałęzieniami pod kątem α (rys. 4). Natężenie przepływu w przewodzie wejściowym 0-1 wynosi Q. Ciśnienie płynu w przekroju 0 wynosi . Rys.4. Rozkład obciążeń przewodu hydraulicznego

20 PRZYKŁAD 1 ROZWIĄZANIE: Z prawa ciągłości przepływu wynika wzór: (a)
gdzie:

21 PRZYKŁAD 1 Korzystając z bilansu energii kinetycznej dla przewodów:
gdzie: (b)

22 PRZYKŁAD 1 Rozwiązując układ równań (a) i (b) obliczono wartości prędkości , w przewodach rozgałęźnika: (c)

23 PRZYKŁAD 1 gdzie:

24 PRZYKŁAD 1 Reakcje dynamiczne w odcinkach przewodu posiadają wartości:
Wektory tych reakcji zaznaczono na rys.5.

25 PRZYKŁAD 1 Rys.5. Rozkład obciążeń przewodu hydraulicznego

26 PRZYKŁAD 1 Ich suma daje wektor reakcji strumienia R. Przecinając kierunek reakcji ze ścianką przewodu 0-1 wyznaczono punkt A zaczepienia siły wypadkowej R. Wartość reakcji wynosi przy tym: (f) natomiast reakcji wypadkowej R: (g)

27 PRZYKŁAD 1 gdzie: oraz

28 REAKCJA PRZY UDERZENIU STRUMIENIA O PRZEGRODĘ

29 Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę
Zagadnienie to należy rozpatrzyć oddzielnie jako: Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny

30 Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę
Założono, że struga płynu porusza się poziomo i uderza o nieruchomą przeszkodę w postaci płaskiej pionowej ściany ustawionej prostopadle (Rys.6), Rys.6. Rozkład obciążeń strumienia przy uderzeniu o ścianę nieruchomą ustawioną prostopadle

31 Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę
Pole powierzchni ściany jest znacznie większe od pola przekroju S strugi. Struga uderzając w ścianę ustawioną prostopadle rozpływa się na powierzchni ściany. Pęd strugi określa reakcję dynamiczną po przemnożeniu przez natężenie przepływu Q: (13) Nie występuje przy tym reakcja styczna do ściany.

32 Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę
lub ukośnie, pod kątem α do poziomu (rys.7). Rys.7. Rozkład obciążeń strumienia przy uderzeniu o ścianę nieruchomą ustawioną ukośnie

33 Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę
W przypadku uderzenia strugi o ścianę pochyłą reakcja dynamiczna posiada kierunek prostopadły do ściany o wartości odpowiadającej rzutowi wektora pędu: (14) Składowa styczna reakcji: (15)

34 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Założono, że struga o polu przekroju S z prędkością ν uderza w przegrodę, przemieszczającą się z prędkością u (rys.8). Rys.8. Rozkład oddziaływań na ścianę zakrzywioną ruchomą

35 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Reakcja strumienia o natężeniu przepływu Q posiada wartość: (16) gdzie: jest prędkością względną.

36 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Z prawa ciągłości przepływu wynika równość: (17) stąd (18) Podstawiając (18) do równości (16) określono reakcję dynamiczną strumienia. (19)

37 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Maksymalna wartość reakcji występuje dla i wynosi: Moc strumienia wynosi: (20)

38 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
W drugim przypadku rozpatrzono uderzenie strumienia cieczy o ścianę zakrzywioną, stanowiącą model łopatki turbiny (Rys.9) Rys.9 Rozkład oddziaływań na ścianę zakrzywioną

39 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Reakcję dynamiczną strumienia wyznaczono z zasady pędu strumienia i stanowi ona wektor: (21) gdzie: (22) Składowe wektora prędkości w układzie współrzędnych (x, y) wynoszą: (23)

40 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Na tej podstawie wyznaczono składowe reakcji dynamicznej: (24) Moduł reakcji dynamicznej wynosi: (25) (26)

41 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Wektor reakcji jest nachylony do poziomu pod kątem: (27) Moc reakcji strumienia przy uderzeniu o łopatkę wynosi: (28) Składowa pionowa posiada moc równą zero.

42 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Maksymalna wartość reakcji strumienia występuje dla kąta α=180˚ i wynosi: (29) Przyjmując prędkość otrzymano maksymalną wartość reakcji i mocy strumienia dla kąta α = 180˚: (30)

43 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Rozwiązaniem technicznym, wykorzystującym maksymalną moc strumienia przepływu, jest turbina Eltona, w której kąt rozwarcia łopatki jest jednak mniejszy niż 180˚ (rys.10). Rys.10. Rozkład obciążeń dla łopatki Peltona

44 Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny
Turbina wodna Eltona jest złożona z dwóch łopatek, tworząc figurę symetryczną. Łopatka ta znalazła dość szerokie zastosowanie w urządzeniach technicznych związanych z turbiną Peltona. Rys.11. Turbina wodna Peltona

45 PRZYKŁAD 2

46 PRZYKŁAD 2 Obliczyć reakcję dynamiczną strumienia wody przepływającego przez kołowy otwór w ścianie nachylonej do poziomu pod kątem α do przewodu o średnicy d, jeżeli prędkość strumienia wynosi ν (rys.12) Rys.12. Rozkład obciążeń strugi

47 PRZYKŁAD 2 ROZWIĄZANIE:
Natężenie przepływu: Reakcje strumienia wody wpływającej do otworu oraz wypływającej są równe i wynoszą: Całkowita reakcja strumienia jest różnicą obydwu wektorów:

48 PRZYKŁAD 2 Składowe reakcji w kierunkach osi x, y wynoszą :
Całkowita reakcja strumienia posiada wartość:

49 PRZYKŁAD 2 Maksymalna wartość reakcji: dla α = 180˚ dla α = 0
Minimalna wartość reakcji: dla α = 0 Obliczono moc strumienia:

50 PRZYKŁAD 2 oraz moc maksymalną: dla α = 180˚
Reakcja jako wypadkowa posiada położenie zaznaczone na rys.13. Rys.13. Rozkład obciążeń strugi