W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock 27.01.2012.

Prezentacja na temat: "W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock 27.01.2012."— Zapis prezentacji:

1 W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock

2 Naturalna analogia? ZBIÓR PRZESTRZEŃ LINIOWA PODZBIÓR PODPRZESTRZEŃ
MOC WYMIAR

3 Ile tego jest? Podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego
Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało rzędu q

4 Ile tego jest? Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało rzędu q - niezależne Na ile sposobów? . . .

5 Ile tego jest? F – skończone ciało rzędu q - niezależne
Na ile sposobów? Ile mają baz?

6 Ile tego jest? Podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego
Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało q elementowe

7 Ile tego jest? - Współczynnik dwumianowy Newtona
Isaac Newton - Współczynnik dwumianowy Newtona Carl Friedrich Gauss - Współczynnik dwumianowy Gaussa Do znalezienia formuły na sumy Gaussa

8 Ile tego jest? Jako funkcja zmiennej q

9 Ile tego jest? - niezależne Donald Knuth 1938
ZREDUKOWANA POSTAĆ SCHODKOWA elementarne operacje na wierszach pierwszy niezerowy element od lewej w każdym wierszu to 1 wszystkie pozostałe elementy w kolumnie, w której jest jedynka wiodąca to zera w każdym wierszu jedynka wiodąca pojawia się na prawo od jedynki wiodącej w poprzednim wierszu JEŻELI DWIE MACIERZE W TEJ POSTACI GENERUJĄ WIERSZOWO TĘ SAMĄ PRZESTRZEŃ, TO SĄ RÓWNE

10 Ile tego jest? Donald Knuth 1938

11 Ile tego jest? Donald Knuth 1938
w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej

12 Ile tego jest? Donald Knuth 1938
w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej

13 Ile tego jest? Donald Knuth 1938
w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki

14 Ile tego jest? Donald Knuth 1938
w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki

15 Ile tego jest? k Donald Knuth 1938 Podprzestrzeni k-wymiarowych
n-k Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej jest tyle samo, co takich obrazków w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki zamień wszystkie pozostałe elementy na *

16 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! 1 ,

17 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! * * * 1 1 * * * * 1

18 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! * * * 1 dowolnie * * 1 * * 1

19 Ile tego jest? 1 2 1 1 3 1 1 1 Donald Knuth 1938 WRACAMY! dowolnie na
1 2 1 1 3 1 1 1 liczba * dowolnie na sposobów

20 Ile tego jest? 1 2 1 1 3 1 1 1 Donald Knuth 1938 WRACAMY! dowolnie na
1 2 1 1 3 1 1 1 dowolnie na sposobów

21 Ile tego jest? Donald Knuth 1938

22 * Ile tego jest? a1 a2 Donald Knuth 1938 a3 Diagram Ferrersa
n=a1+a2+…+ak ai – nierozróżnialne

23 * Ile tego jest? a1 n - kresek a2 k – kresek poziomych n-k
Donald Knuth 1938 * a1 k n-k n - kresek a2 k – kresek poziomych a3 – ścieżek

24 Twierdzenie Ramseya Kolorując dowolnie dwoma kolorami krawędzie grafu pełnego K6 znajdziemy jednokolorową indukowaną klikę K3.

25 Twierdzenie Ramseya

26 Twierdzenie Ramseya Ponadto ?

27 Najmniejsze takie n oznaczamy przez R(k)
Twierdzenie Ramseya Dla każego k istnieje taka liczba n, że przy dowolnym dwukolorowaniu krawędzi grafu pełnego Kn znajdziemy jednokolorową indukowaną klikę Kk. Najmniejsze takie n oznaczamy przez R(k) (k-ta liczba Ramseya ) Frank Ramsey (1903 – 1930)

28 Liczby Ramseya R(2) = 2 R(3) = 6 R(4) = 18 Graf Paleya

29 Twierdzenie Ramseya Frank Ramsey (1903 – 1930) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

30 Twierdzenie Ramseya {1,2} {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4}
Gian-Carlo Rota ( ) {1,2} {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1} {2} {3} {4} { } Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

31 Twierdzenie Ramseya {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2}
Gian-Carlo Rota ( ) {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1} {2} {3} {4} { } Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

32 Twierdzenie Ramseya {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2}
Gian-Carlo Rota ( ) {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1} {2} {3} {4} { } Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

33 Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota ( ) krata podzbirów zbioru n-elementowego dowolna krata geometryczna krata podprzestrzeni przestrzeni wektorowej Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

34 Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota ( ) krata podzbirów zbioru n-elementowego dowolna krata geometryczna krata podprzestrzeni przestrzeni wektorowej Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

35 Twierdzenie Ramseya

36 Twierdzenie Ramseya Kostki kombinatoryczne 111 011 110 010 001 101 100 000 trzy wymiary jeden wymiar 1 dwa wymiary 00 10 11 01 itd… cztery wymiary? 1 – kostki (różnią się na jednej współrzędnej)

37 zawsze znajdziemy czerwoną s-kostkę, lub niebieską t-kostkę.
Twierdzenie Ramseya Dla dowolnych liczb naturalnych k,s,t istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego dwukolorowania k-kostek w przestrzeni n-wymiarowej zawsze znajdziemy czerwoną s-kostkę, lub niebieską t-kostkę.

38 Twierdzenie Ramseya Nagroda Pólyi 1971

39 Twierdzenie Ramseya Dla dowolnych liczb naturalnych s,t,k istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego k-kolorowania t-wymiarowych podprzestrzeni przestezeni n-wymiarowej znajdziemy s-wymiarową przestrzeń, której wszystkie t-wymiarowe podprzestrzenie są jednobarwne.

40 Liczby Ramseya Jak to szacować?
Dla dowolnych liczb naturalnych s,t,k istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego k-kolorowania t-wymiarowych podprzestrzeni przestezeni n-wymiarowej znajdziemy s-wymiarową przestrzeń, której wszystkie t-wymiarowe podprzestrzenie są jednobarwne.

41 Liczby Ramseya Jak to szacować? Największa liczba na świecie

42 Jak być innym Kwadraty łacińskie 1 2 3 4

43 Jak być innym 1 2 3 4 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 Kwadraty łacińskie
Ronald Fisher ( ) i tablica-okno ku jego pamięci Caius College w Cambridge Leonard Euler (1707 – 1783) 1 2 3 4 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1

44 Czasem więcej, znaczy mniej
Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1 2 3 4 4 1 2 3 n 3 4 1 2 2 3 4 1 n

45 Czasem więcej, znaczy mniej
Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1 2 3 4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 4 1 2 3 n 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 3 4 1 2 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 2 3 4 1 n

46 Czasem więcej, znaczy mniej Niespodziewany problem
Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 W każdym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb może być więcej niż n 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n Niespodziewany problem 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2 2,3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n 1,2 2,3

47 Czasem więcej, znaczy mniej Niespodziewany problem
Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 W każdym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb może być więcej niż n 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n Niespodziewany problem 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1 3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n 1,2 2,3

48 Czasem więcej, znaczy mniej Niespodziewany problem
Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 W każdym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb może być więcej niż n 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n Niespodziewany problem 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1 3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n ? 2 2,3

49 Czasem więcej, znaczy mniej
Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n ? 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 2 3 1 1 1,2 2,3 3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n ? ? 2 2 2,3 2,3

50 Czasem więcej, znaczy mniej
Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej Hipoteza Dinitza (1978) 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n ? 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n TAK! - Fred Galvin 1994 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 Jeff Dinitz n

51 Jak być innym n n Prostszy przypadek Czy zawsze da się skonstruować
1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n, przy czym wszystkie listy w tym samym wierszu są jednakowe? 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 n 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 n

52 Jak być innym 1 2 3 4 4 5 6 7 2 4 5 6 1 2 4 6 Prostszy przypadek 1,2,
3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1 2 3 4 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4 5 6 7 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2 4 5 6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1 2 4 6

53 Jak być innym 1 2 3 4 4 5 6 7 2 4 5 6 6 2 4 1 Prostszy przypadek 1,2,
3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1 2 3 4 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4 5 6 7 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2 4 5 6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 6 2 4 1

54 Jak być innym R1 R1 R2 R3 Rn R4 1 2 3 4 5 6 7 Prostszy przypadek 1 2 3
Koning: ..

55 Jak być innym Prostszy przypadek R1 1 2 3 4 R1 R2 R3 R4 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 2 4 5 6 Rn 1 2 4 6 Koning: ..

56 Jak być innym Prostszy przypadek R1 1 3 2 4 R1 R2 R3 R4 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 2 4 5 6 Rn 6 2 4 1 Koning: ..

57 Jak być niezależnym B1 Bn V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa
Bi- bazy przestrzeni V Hipoteza: Da się przepermutować elementy w każdym wierszu w taki sposób, żeby w każdej kolumnie otrzymać bazę V

58 Jak być niezależnym B1 Bn C1 Cn V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa
Bi- bazy przestrzeni V Hipoteza: Da się przepermutować elementy w każdym wierszu w taki sposób, żeby w każdej kolumnie otrzymać bazę V Bn Gian-Carlo Rota ( ) C1 Cn bazy?

59 L nxn [n] 1 2 3 4 L – parzysty, jeżeli L – nieparzysty, jeżeli

60 Jak być niezależnym L nxn [n] 1 2 3 4 n - nieparzyste
le(n)– liczba parzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n 1 2 3 4 lo(n)– liczba nieparzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n n - nieparzyste Kwadrat nieparzysty otrzymujemy z parzystego (i odwrotnie) zamieniając miejscami dwa wiersze, lub dwie kolumny.

61 Jak być niezależnym L nxn [n] 1 2 3 4 Hipoteza:
Dla parzystych n liczba parzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n jest różna od liczby nieparzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n. 1 2 3 4 Noga Alon Michael Tarsi

62 Hipoteza Alona - Tarsiego
Jak być niezależnym Hipoteza Alona - Tarsiego Hipoteza Roty

63 Jak być niezależnym B1 Bk Jest prawdziwa: Słabsza wersja:
Dla n=2,3,4,6,8 - Marini Obecnie dla n<26 Dla n=p+1 (p-liczba pierwsza) – A.A. Drisko Hipoteza Alona-Tarsiego Dla n=p-1 (p-liczba pierwsza) – D.G. Glynn Słabsza wersja: V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa B1 Bk Bi- bazy przestrzeni V Możemy tak spermutować elementy w wierszach, żeby kolumny były zbiorami niezależnymi, jeżeli: - J. Geelen, K. Webb

64 Dziękuję za uwagę