PLANARNOŚĆ i KOLOROWANIE MAP. Problem Jaka jest minimalna liczba kolorów, za pomocą których można pokolorować obszary województw na mapie Polski tak,

Prezentacja na temat: "PLANARNOŚĆ i KOLOROWANIE MAP. Problem Jaka jest minimalna liczba kolorów, za pomocą których można pokolorować obszary województw na mapie Polski tak,"— Zapis prezentacji:

1 PLANARNOŚĆ i KOLOROWANIE MAP

2 Problem Jaka jest minimalna liczba kolorów, za pomocą których można pokolorować obszary województw na mapie Polski tak, aby żadne dwa sąsiednie obszary nie miały tego samego koloru?

3 Zbudujmy graf: V – stolice, ij E, jeśli i oraz j mają wspólną granicę

4 Jakie własności ma ten graf ? nie ma przecięć krawędzi jest to graf planarny

5 GRAFY PLANARNE To grafy, które można narysować na płaszczyźnie bez zbędnych przecięć, tzn. krawędzie są krzywymi, które nie przecinają samych siebie, a 2 krawędzie przecinają się tylko w ich wspólnym końcu. Każdy poprawny rysunek grafu planarnego G naz. płaską realizacją G lub, krótko grafem płaskim grafu G.

6 Przykłady

7 K5K5 ? NIE !

8 D1 D2 D3 S1 S2S3 ? ? K 3,3 ?

9 Charakteryzacja grafów planarnych Jakie grafy mają płaskie reprezentacje ? (związek teorii grafów z topologią)

10 Obserwacja Eulera W każdym wielościanie wypukłym W – K + Ś =2 –W - liczba wierzchołków –K – liczba krawędzi –Ś – liczba ścian Taki sam związek zachodzi dla grafów planarnych bez względu na ich płaską reprezentację. 8-12+6=2 4-6+4=2 6-9+5=2

11 Każdy graf płaski dzieli R 2 na rozłączne obszary zwane ścianami. Jeśli |V|=n, |E|=m i ściany s 1,s 2,..,s l otoczone są odpowiednio b 1,b 2,..,b l krawędziami to b i to liczba krawędzi wokół ściany s i (jej stopień) Uwaga: mosty liczymy podwójnie, a nie-most leży na brzegu dwóch ścian

12 Wzór Eulera Tw. (Euler, 1752) W każdym spójnym grafie płaskim liczba wierzchołków n, liczba krawędzi m i liczba ścian l spełniają równość: n-m+l=2 Dowód: Indukcja względem m przy ustalonym n. Jeśli m=n-1, to G jest drzewem i l=1. Jeśli m>n-1, to G zawiera cykl. Usuńmy krawędź e z tego cyklu. Graf G-e ma 1 krawędź mniej i 1 ścianę mniej niż G. Stosujemy zał. ind. do G-e. 

13 Liczba krawędzi grafu płaskiego Wniosek: Spójny graf płaski o n  wierzchołkach ma nie więcej niż 3n-6 krawędzi. Dowód: Jeśli G jest drzewem, to mamy n-1  3n-6. Jeśli każda ściana ma  3 krawędzie, to 3l  2m i ze wzoru Eulera, 3n-3m+2m=6.

14 Przykłady K 5 m=10, n=5, sprzeczność ze wzorem Eulera K 3,3 m=9, n=6, nie ma sprzeczności, ale najkrótszy cykl ma długość 4 -patrz ćwiczenia,

15 Podpodziały krawędzi (topologiczne podziały) Podpodziałem (subdivision) grafu G nazywamy każdy graf H otrzymany z G przez zastąpienie jego krawędzi rozłącznymi ścieżkami dowolnej długości. Oczywiste: G jest planarny H jest planarny. K_3 H

16 Tw. Kuratowskiego Żaden podpodział K_5, ani K_{3,3} nie jest planarny. Żaden graf planarny nie zawiera ich. Tw. (Kuratowski 1930) Graf G jest planarny wgdy nie zawiera podpodziału K_5 ani K_{3,3}. (bez dowodu.)

17 Grafy nieplanarne

18 Wracamy do kolorowania map

19 Mapy a grafy planarne Mapa to zbiór ścian pewnego grafu płaskiego (ścianę zewnętrzną można traktować jako tło/ramę mapy). Kolorowanie mapy to kolorowanie wierzchołków grafu dualnego, w którym żadne dwa połączone krawędzią nie mają tego samego koloru. Są mapy, które wymagają aż 4 kolorów.

20 Kolorowanie Kolorowaniem grafu G za pomocą kolorów k naz. funkcję c: V   1, 2,..., k  taką, że c(u)  c(v), o ile (u,v)  E. Minimalną liczbę kolorów wystarczającą do pokolorowania grafu naz. liczbą chromatyczną i ozn.  (G).

21 Ściany  wierzchołki Każda ściana grafu G staje się wierzchołkiem grafu dualnego G*. I odwrotnie: G**=G

22 Hipoteza 4 kolorów - historia H4K: KAŻDĄ mapę można pomalować 4 kolorami! Hipoteza z roku 1852 (de Morgan, bracia Guthrie) Dwa błędne dowody w XIX wieku (Kempe, Tait) Dowód komputerowy ogłoszony w 1976, zweryfikowany w 1989 (Appel, Haken, Koch) i 1997 (Robertson, Sanders, Seymour, Thomas)

23 6 kolorów wystarczy! Obserwacja: Jeśli G jest planarny, to zawiera wierzchołek o stopniu  5.

24 Algorytm zachłanny 1. Niech v 1 będzie wierzchołkiem o d G (v 1 )  5 2. Niech v 2 będzie wierzchołkiem o stopniu  5 w G-v 1 itd. do n. v1v1 v2v2 v3v3 vnvn 3. Kolorujemy zachłannie od v n do v 1 (zawsze jest wolny kolor!)

25 Heawood: 5 kolorów wystarczy! Tw. o 5 kolorach (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny. Dowód: (trudniejszy, nie wprost, oparty na korekcie błędnego dowodu Kempe) 4 kolory – bardzo trudny

26 Uwaga: War-Maz może być niebieskie i wtedy ściana zewnętrzna może być czerwona (graf dualny jest 4-kolorowalny)