Twierdzenie Pitagorasa

Prezentacja na temat: "Twierdzenie Pitagorasa"— Zapis prezentacji:

1 Twierdzenie Pitagorasa
Opracowali: Michał Starzonek i Artur Szumalski Twierdzenie Pitagorasa

2 Pitagoras Żył w latach około 570-497 przed naszą erą
Grecki filozof-mistyk i matematyk Uznawał liczbę za prazasadę bytu Założył szkołę pitagorejską Odkrył odcinki niewspółmierne Sformułował twierdzenie dziś nazywane twierdzeniem Pitagorasa

3 Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego?
przeciwprostokątna przyprostokątna przyprostokątna

4 Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości jego przyprostokątnych.

5 ZAPAMIĘTAJ!!!

6 Twierdzenie Pitagorasa – przedstawienie graficzne

7

8 Twierdzenie Pitagorasa - inaczej
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych!

9 Zadania Rozwiążemy wspólnie jedno zadanie, które sprawdzi waszą wiedzę na temat w/w twierdzenia Pitagorasa.

10 Przykłady zastosowania
W trójkącie prostokątnym przyprostokątna a ma długość 3 cm a przyprostokątna b 4 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

11 Zastosowanie tw.Pitagorasa
Dane: a=3cm b=4cm Szukane: c=? Zastosowanie tw.Pitagorasa c2 = a2 + b c2 = c2 = c2 = 25 c = 5

12 Trójkąt Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych.

13 Trójkąt pitagorejski Trójkąt pitagorejski - trójkąt o bokach a, b, c wyrażonych liczbami naturalnymi, spełniających wyrażenie: Wzór ten odnosi się do twierdzenia Pitagorasa. Przykładowy dowód tego twierdzenia został umieszczony poniżej.

14 Dowód Dowodów twierdzenia Pitagorasa jest wiele. Przedstawiam najłatwiejszy w zrozumieniu dowód w postaci układanki. Gdybyśmy zbudowali na bokach trójkąta prostokątnego kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ilustruje to animacja znajdująca się obok.

15 Trójkąt egipski Trójkąt egipski - najprostszy z trójkątów pitagorejskich. Jego stosunek długości boków wynosi 3:4:5. Egipcjanie wiedzieli, że jest on trójkątem prostokątnym i wykorzystywali go do wyznaczania kąta prostego przy procesie odnawiania granic gruntowych.

16 Trójkąty pitagorejskie
n a b c 1 3 4 5 2 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 6 84 85 15 112 113 8 17 144 145

17 twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa
Jeżeli w trójkącie kwadratu długość jednego boku jest równy sumie kwadratów długości boków pozostałych, to ten trójkąt jest prostokątny. Założenie: a, b, c - boki trójkąta, c2 =a2+b2

18 Ślimak pitagorejski Ślimak to konstrukcja złożona z trójkątów prostokątnych, w których jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga jest równa długości przeciwprostokątnej poprzedniego trójkąta. I tak kolejne przeciwprostokątne mają następujące długości:

19 Kilka dodakowych zadań

20 Zadanie 1 Chłopiec trzyma latawiec na sznurku długości 37 m. Jego kolega stoi w odległości 35 m od niego i widzi, że latawiec jest dokładnie nad nim. Oblicz jak wysoko latawiec zawisł nad głową chłopca. Na początku warto wykonać rysunek pomocniczy: c = 37 m b = ? a = 35 m 35 m

21 Zadanie 1 - rozwiązanie a2 + b2 = c2 b2 = c2 – a2 b2 = 144
37 m b = ? a = 35 m a2 + b2 = c2 Ponieważ musimy wyznaczyć b przekształcamy wzór: b2 = c2 – a2 Podstawiamy dane do wzoru: b2 = 144 b2 = 372 – 352 b =12 b2 = 1369 – 1225 Odp. Latawiec zawisł 12 metrów na głową chłopca.

22 Zadanie 2 Na powierzchni jeziora, którego głębokość jest równa 8 m, znajduje się boja zakotwiczona na lince długości 17 m. Oblicz średnicę okręgu, jaki boja może „zakreślić” na powierzchni wody. Wykonujemy rysunek pomocniczy: r = ?   g = 8 m l = 17 m

23   Zadanie 2 - rozwiązanie g2 + r2 = l2 r2 = l2 - g2 r =15 r2 = 225
g = 8 m l = 17 m g2 + r2 = l2 wyznaczamy r: r2 = l2 - g2 Podstawiamy dane do wzoru: r =15 r2 = 225 r2 = 172 – 82 d = 15 · 2 = 30 r2 = 289 – 64 Odp. Boja może „zakreślić” okrąg o średnicy 30 metrów.