Metoda elementów skończonych cd.

Prezentacja na temat: "Metoda elementów skończonych cd."— Zapis prezentacji:

1 Metoda elementów skończonych cd.
Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W7

2 Bezpośrednie i iteracyjne metody
Bezpośrednie i iteracyjne metody rozwiązywania układów równań liniowych a macierze rzadkie Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodami MRS i MES wymaga rozwiązywania układów równań liniowych z macierzami rzadkimi. Metody rozwiązywania tych układów dzielą się na: metody bezpośrednie - dają rozwiązanie po skończonej liczbie kroków; wykorzystują dekompozycję Gaussa, Choleskiego itd. Podstawowa niedogodność stosowania metod bezpośrednich dla macierzy rzadkich to pojawianie się nowych niezerowych elementów w macierzy w trakcie obliczeń (ang. fill-in); metody iteracyjne - polegają na iteracyjnym ulepszaniu przybliżonego rozwiązania do momentu osiągnięcia zadawalającej dokładności. W metodach iteracyjnych, w każdym kroku wykorzystywana jest stosunkowo prosta procedura bazująca na iloczynie macierzy przez wektor; procedura ta nie zmienia macierzy C układu. Pozwala to zmniejszyć wymagania w stosunku do pamięci operacyjnej w porównaniu z metodami bezpośrednimi oraz lepiej wykorzystać specyficzną strukturę macierzy C. Dzięki zastosowaniu uwarunkowania wstępnego (ang. preconditioning) udaje się też zmniejszyć wymaganą liczbę iteracji. Duże układy równań, które zwykle charakteryzują się rzadkimi macierzami współczynników, rozwiązuje się przeważnie przy użyciu metod iteracyjnych .

3 Rozwiązanie równania Poisson’a
Dla rozwiązania dwu-wymiarowego równania Poisson’a przy pomocy FEM, postępujemy tak samo jak w przypadku równania Laplace’a, uwzględniając jednak obecność źródła. Po podziale regionu na elementy trójkątne aproksymuje się rozkład potencjału Ve(x, y) i składnika źródłowego ρse (dla problemów 2D) w każdym trójkątnym elemencie liniową kombinacją lokalnych wielomianów interpolacyjnych ai , tzn., Wartości ρei są znane bo funkcja ρs(x, y) jest narzucona, natomiast wartości Vei będą wyznaczone.

4 Funkcjonały dla PDE w zagadnieniach EM
Równanie Funkcjonał Niejednorodne falowe Jednorodne falowe Dyfuzji Poisson’a Laplace’a gdzie:

5 Funkcjonał dla równania Poisson’a
F (Ve) reprezentuje całkowitą energię na jednostkę długości [J/m] wewnątrz elementu e. Pierwszy składnik pod znakiem całki, ½ |Ve|2 = ½ D ・E, to gęstość energii w polu [J/m3] elektrostatycznym, podczas gdy składnik drugi, ρseVedS [J/m], jest pracą wykonaną przy przesunięciu ładunku ρsedS do lokalizacji o potencjale Ve. Uwzględniając równania dla Ve i ρse

6 W postaci macierzowej gdzie: A – powierzchnia elementu trójkątnego.
Postać macierzowa W postaci macierzowej gdzie: A – powierzchnia elementu trójkątnego. Zdyskretyzowany funkcjonał dla całego regionu rozwiązania (o N elementach i n węzłach) jest sumą funkcjonałów dla wszystkich elementów. t – transpozycja; macierz kolumnowa [V] zawiera wartości Vei ; macierz kolumnowa [ρ] zawiera n wartości funkcji źródłowej ρs w węzłach.

7 Funkcjonał F (V ) jest teraz minimalizowany przez różniczkowanie względem Vei i przyrównanie do zera. Metoda iteracyjna Uzyskany układ równań może być rozwiązany metodą iteracyjną bądź metodą macierzy pasmowej. Metoda iteracyjna: Rozpatrzmy przykładowy region o pięciu węzłach (n = 5).

8 Minimalizacja funkcjonału
Minimalizujemy funkcjonał Minimalizacja funkcjonału Na przykład Skąd Generalnie, dla siatki o n węzłach Węzeł k jest węzłem o szukanym potencjale (free node). Przez ustalenie wartości potencjału w węzłach o zadanym potencjale (fixed node) i przyjęcie w pozostałych węzłach potencjału zerowego, rozwiązuje się układ równań iteracyjnie aż do osiągnięcia odpowiedniej zbieżności.

9 Metoda macierzy pasmowej
Najpierw numerujemy węzły o szukanym potencjale (free nodes – indeks f), a następnie węzły o potencjale znanym (fixed nodes – indeks p). Wówczas funkcjonał F (V ) w postaci macierzowej można zapisać jako Minimalizujemy F (V ) względem Vf : i otrzymujemy : lub

10 Rozwiązanie równania falowego
Gdzie [A] = [Cff ], [V] = [Vf ] i [B] prawa strona równania. Równanie to rozwiązuje się przez odwrócenie macierzy lub np. eliminację Gaussa. Rozwiązanie równania falowego Typowym równaniem falowym jest niejednorodne, skalarne równanie Helmholtz’a gdzie  jest szukaną wielkością polową (np. dla problemu falowodu,  = Hz lub Ez), g jest funkcją źródłową, i k = ω√μ jest liczbą falową środowiska. Możliwe trzy przypadki szczególne: k = g = 0 równanie Laplace’a k = równanie Poisson’a g = jednorodne, skalarne równanie Helmholtz’a

11 Funkcjonał równania falowego
Rozwiązanie niejednorodnego równania falowego znajdujemy minimalizując funkcjonał Funkcjonał równania falowego Jeżeli inne niż naturalne warunki brzegowe (warunek Dirichlet’a albo jednorodny warunek Neumann’a) muszą być spełnione, odpowiednie warunki muszą być dodane do funkcjonału. Potencjał  i funkcję źródłową g można wyrazić przy pomocy funkcji kształtu wewnątrz elementu trójkątnego gdzie ei and gei są, odpowiednio, wartościami  i g w punkcie węzłowym i elementu e.

12 Funkcjonał dla pojedynczego elementu

13 Równanie wyprowadzone dla pojedynczego elementu może być zastosowane do wszystkich N elementów w regionie rozwiązania. W postaci macierzowej: gdzie: [C], i [T ] są globalnymi macierzami zawierającymi odpowiednie macierze lokalne [C(e)] and [T (e)].

14 Rozpatrzmy przypadek specjalny, w którym funkcja źródłowa g = 0
Rozpatrzmy przypadek specjalny, w którym funkcja źródłowa g = 0. Jeżeli najpierw są numerowane węzły o szukanym potencjale, a później o potencjale znanym, możemy napisać Przyrównując do 0, otrzymujemy Dla p = 0

15 Problem wartości własnych
Mnożąc lewą stronę przez T −1ff otrzymamy Problem wartości własnych Podstawiając otrzymamy standardowy problem wartości własnych gdzie I jest macierzą jednostkową. Dowolne standardowe procedury mogą być użyte do wyznaczenia danej lub wszystkich wartości własnych λ1, λ2, , λnf i wektorów własnych X1,X2, , Xnf , gdzie nf jest liczbą węzłów o szukanym potencjale.

16 Rozpatrzmy najprostszy generator siatki dla obszarów prostokątnych.
mesh generators Jednym z najtrudniejszych problemów w stosowaniu FEM jest żmudne i czasochłonne przygotowanie danych. Wydajne programy FEM muszą dysponować schematem generowania węzłów i elementów nazywanym generatorem siatki (mesh generators ). Automatyczna generacja siatki minimalizuje dane wejściowe wymagane do opisania problemu. Nie tylko redukuje czas potrzebny na przygotowanie danych, ale również eliminuje błędy człowieka wprowadzane podczas ręcznego przygotowywania danych. Kombinacja programu automatycznej generacji siatki z grafiką komputerowa jest szczególnie cenna ponieważ wynik może być monitorowany wizualnie. Rozpatrzmy najprostszy generator siatki dla obszarów prostokątnych. Prostokątny region rozwiązania ma wymiary a ×b jak na rysunku. Naszym celem jest podział regionu na elementy prostokątne, z których każdy następnie zostanie podzielony na dwa elementy trójkątne.

17 siatki dla obszarów prostokątnych
Przyjmijmy, że nx i ny są liczbami podziałów w kierunkach x i y. Całkowite liczby elementów ne i węzłów nd są: siatki dla obszarów prostokątnych W celu znalezienia globalnych współrzędnych (x, y ) dla każdego węzła, potrzebna jest tablica zawierająca xi , i = 1, 2, , nx i yj , j = 1, 2, , ny czyli odległości między węzłami w kierunkach x i y. Jeśli kolejność numerowania węzłów biegnie od lewej do prawej wzdłuż poziomych rzędów i od dołu ku górze wzdłuż pionowych rzędów, to pierwszym węzłem jest początek układu (0,0). Następny węzeł otrzymamy gdy x → x+ x1 a y = 0 pozostaje niezmieniony. Następny węzeł ma x → x + x2, y = 0, i tak dalej aż xi zostaną wyczerpane. Następny, drugi poziomy rząd rozpoczyna się od x = 0, y → y + y1 i x rośnie dopóki nie wyczerpią się xi . Powtarzamy proces aż do osiągnięcia ostatniego węzła (nx + 1)(ny + 1) tzn., kiedy xi i yi są wyczerpane jednocześnie. Prezentowana procedura pozwala na generację jednorodnej i niejednorodnej siatki. Siatka jest jednorodna jeżeli wszystkiel xi są równe i wszystkie yi są równe; w przeciwnym przypadku jest niejednorodna.

18 gdzie hx = a/nx i hy = b/ny .
Preferowana jest siatka niejednorodna jeśli z góry wiadomo, że szukany parametr zmienia się gwałtownie w określonych częściach regionu rozwiązania. Siatka taka pozwala skoncentrować relatywnie małe elementy w rejonie gwałtownych zmian parametru. Rejony takie są często przedmiotem największego zainteresowania. Gdy brak wstępnej wiedzy o szybkich zmianach szukanego parametru, może być użyta siatka jednorodna. W takim przypadku siatka jednorodna gdzie hx = a/nx i hy = b/ny . W niektórych przypadkach potrzebna jest również lista węzłów o określonym potencjale. Jeżeli założymy, że wszystkie punkty graniczne mają określony potencjał, to liczba np określonych węzłów jest Prostą droga uzyskania takiej listy punktów granicznych jest ponumerowanie punktów na dolnej, prawej, górnej i lewej krawędziach prostokątnego regionu, w takiej właśnie kolejności.

19 generacja siatki — Domeny dowolne
Procedurę generującą jednorodną lub niejednorodną siatkę w regionie prostokątnym można łatwo zaprogramować. Jeśli potrzebna jest siatka jednorodna, to wymaganymi parametrami wejściowymi będą a, b, nx, i ny. Jeżeli wymagana jest siatka niejednorodna potrzebne będą dane: nx, ny,xi, i = 1, 2, , nx i yj, j = 1, 2, , ny . Wyjściowymi parametrami będą ne, nd, np, lista połączeń, globalne współrzędne (x, y ) każdego węzła, i lista określonych (o znanym potencjale) węzłów. generacja siatki — Domeny dowolne Automatyczna generacja siatki — Domeny dowolne Dla regionów o złożonych (dowolnych) kształtach istnieje wiele opisanych w literaturze (np. W.C. Thacker, “A brief review of techniques for generating irregular computational grids,” Inter. J. Num. Meth. Engr., 1980) algorytmów o różnym stopniu automatyzacji. Podstawowe kroki algorytmów: • podział regionu rozwiązania na kilka czworokątnych bloków, • oddzielny podział bloków na elementy, • połączenie poszczególnych bloków.

20 Definicja bloków Definicja bloków Region rozwiązania jest dzielony na czworokątne bloki. Poddomeny o różnych parametrach konstytutywnych (σ,μ, ) musza być reprezentowane przez oddzielne bloki. Jako dane wejściowe podaje się topologię bloku i współrzedne ośmiu punktów opisujących każdy blok. Czyli każdy blok reprezentuje ośmio węzłowy kwadratowy, izoparametryczny element. W naturalnym układzie współrzędnych (ζ, η), współrzędne x i y są gdzie i(ζ, η) jest funkcją kształtu i, a (xi, yi ) są współrzędnymi węzła i definiującymi granicę czworokątnego bloku.

21 Funkcje kształtu dla narożnych węzłów
i = 1, 3, 5, 7 i dla węzłów środkowych boku i = 2, 4, 6, 8 Funkcje kształtu Własności funkcji kształtu Są kwadratowe wzdłuż krawędzi elementów (ζ = ±1, η = ±1).

22 Podział bloków Podział bloków Dla każdego bloku określamy NDIVX i NDIV Y , liczbę elementów podziału w kierunku ζ i η. Określamy również współczynniki wagowe (Wζ )i i (Wη)i pozwalające stopniować siatkę w bloku. Określając te parametry trzeba zapewnić, że podziały na połączeniach sąsiednich bloków będą zgodne. Naturalne współrzędne są powiększane odpowiednio do wartości gdzie dla elementów liniowych dla elementów kwadratowych

23 Połączenia pojedynczych bloków
Dopuszczalne są trzy typy elementów: liniowe, czterowęzłowe, czworokątne, liniowe, trójwęzłowe, trójkątne, (c) kwadratowe, ośmiowęzłowe, izoparametryczne. Połączenia pojedynczych bloków Po podzieleniu każdego bloku i oddzielnym ponumerowaniu jego punktów węzłowych należy połączyć bloki i ponumerować węzły unikalnie (jednoznacznie). Jest to osiągane przez porównanie współrzędnych wszystkich punktów węzłowych i przyporządkowanie tego samego numeru wszystkim węzłom o identycznych współrzędnych. Tzn. porównuje się współrzędne węzła 1 z współrzędnymi wszystkich pozostałych węzłów, następnie węzła 2 z współrzędnymi wszystkich pozostałych węzłów, itd. Aż wszystkie powtarzające się węzły zostaną wyeliminowane.

24 Zastosowanie takiej procedury

25 Siatka generowana automatycznie w programie QuickField

26 Generatory siatki dostępne w pakiecie FLUX (CEDRAT)
Definicje Siatka: Podział domeny na subdomeny zwane elementami. Elementy skończone mogą być: • objętościowe • powierzchniowe • liniowe. Generator siatki: Narzędzie (algorytm) do wykonania podziału domeny na elementy skończone. Rodzaje generatorów siatki: Automatyczny czyli algorytm Delaunay’a. Najbardziej ogólny algorytm. Tworzy elementy trójkątne na zdefiniowanych powierzchniach i elementy czworościenne w zdefiniowanych objętościach. Podstawowym narzędziem generacji siatki są algorytmy zwane generatorami. Podstawowym algorytmem jest algorytm automatyczny. Nie gwarantuje jednak odpowiedniej jakości i zazwyczaj generuje zbyt dużo elementów. Tworzy…(czytaj)

27 Siatka “topologiczna” czyli mapowana (mapped).
Pozwala na wykonanie siatki na powierzchniach prostokątnych elementami prostokątnymi (lub czworokątnymi) oraz w objętościach równoległościennych elementami sześciościennymi („cegłami”). W tym algorytmie kontur powierzchni dzielony jest na cztery linie, z których linie naprzeciwległe mają taka samą liczbę elementów. Powierzchnia dzielona siatką jest więc topologicznie równoważna prostokątowi. Objętość dzielona taką siatką jest topologicznie równoważna równoległościanowi. Drugim generatorem jest generator siatki topologicznej. Kontur powierzchni dzielony jest…

28 Siatka “kopiowana” czyli dołączona (linked)
Generator pozwala nałożyć tą samą siatkę na powierzchnie dołączone przez geometryczną transformację. Może być użyty tylko do powierzchni. Linked Następny generator kopiuje siatkę z podstawowego elementu transformacji geometrycznej. Przedatny w generowaniu siatki np. w żłobkach maszyny. Wszystkie żłobki mają identyczną siatkę.

29 Siatka utworzona „ruchem” lub wyciągnięciem (wytłoczeniem).
Generator tworzy siatkę powierzchniową lub objętościową w warstwach domeny utworzonej przez wyciągnięcie. Elementy objętościowe są graniastosłupami lub sześciościanami w zależności od kształtu elementów powierzchniowych (trójkąty lub prostokąty) na powierzchni bazowej. Linia „siatkowana” może być przesunięta lub przemieszczona tym algorytmem wzdłuż ścieżki siatki. Ruch musi być prosty (przesunięcie lub obrót). W wyniku otrzymuje się czworokątne elementy. Elementy objętościowe tworzy się tą samą metodą przez przesunięcie lub przemieszczenie powierzchni. Wyciągnięcie Obrót linii Generator o podstawowym znaczeniu dla tworzenia siatki w objętościach utworzonych przez wyciągnięcie. Obrót linii tworzy powierzchnię, obrót powierzchni tworzy objętość. Obrót powierzchni

30 Siatka mieszana (mixed)
Jest kombinacją poprzednich generatorów stosowaną w obiektach, które mogą być podzielone na subdomeny o prostych kształtach. Podstawową trudnością jest zapewnienie spójności na połączeniach subdomen. Po obu stronach połączenia siatka musi być identyczna. Dla zapewnienia spójności generator siatki mieszanej 3D tworzy objętościowe elementy ostrosłupowe dające właściwe połączenie między trójkątnymi i prostokątnymi powierzchniami. Mixed Siatka mieszana jest stosowana w obiektach o skomplikowanych kształtach. Jest kombinacją wcześniej omówionych generatorów i poprawnie wykonana daje optymalną siatkę. Podstawowym problemem jest zapewnienie spójności na połączeniach obszarów o różnych siatkach.

31 Siatka - QuickField Siatka z elementów 1-go rzędu .
Podział na subdomeny

32 Elementy 1-go rzędu Użycie elementów 1-go rzędu oznacza, że w elemencie potencjały są aproksymowane liniowo, a pola są stałe.

33 Siatka 2D – Flux 8.1

34 Elementy rzędu 2-go. Węzły w wierzchołkach i w środku boków.

35 Użycie elementów 2-go rzędu oznacza, że w elemencie potencjały są aproksymowane funkcją kwadratową, a pola są liniowe Linie pola

36 Siatka 3D – Flux 8.1 elementy 1-go rzędu
Siatka z elementów 1-go rzędu . Siatka 3D – Flux 8.1 elementy 1-go rzędu

37 Siatka z elementów 2-go rzędu

38 objętość

39 Zasady generalne tworzenia siatek
• Elementy skończone powinny być dobrze proporcjonalne. Idealne elementy powierzchniowe to trójkąty równoboczne i kwadraty. Idealne elementy objętościowe to regularny czworościan i sześcian. Elementy do pewnego stopnia mogą być deformowane. • Siatka nie powinna być niepotrzebnie dokładna. Dokładna siatka wymaga dłuższych obliczeń. Jej wielkość i dokładność powinna być wynikiem kompromisu między dokładnością odwzorowania i czasem obliczeń. • Wykonanie dobrej siatki dla złożonych kształtów jest zadaniem trudnym i zazwyczaj wymaga wielu prób z wykorzystaniem różnych narzędzi generowania siatki. Ocena jakości siatki wykonywana jest automatycznie. Zasady generalne tworzenia siatek

40 Polecenie Flux’a checkMesh()
Volume elements : List of poor quality elements : ……. Volume elements : Number of elements not evaluated : % Number of excellent quality elements : % Number of good quality elements : % Number of average quality elements : % Number of poor quality elements : % Number of nodes : Number of line elements : 17768 Number of surface elements : 78404 Number of volume elements : Mesh order : 1st order Polecenie Flux’a checkMesh()