Twierdzenie Pitagorasa

Prezentacja na temat: "Twierdzenie Pitagorasa"— Zapis prezentacji:

1 Twierdzenie Pitagorasa
Co wymyślił Pitagoras? Twierdzenie Pitagorasa

2 Menu Kim był Pitagoras? Podstawowe informacje o trójkątach
Odkrywamy regułę Twierdzenie Pitagorasa Zadania utrwalające Kontakt z autorem

3 Pitagoras Pitagoras urodził się około 572 r. p.n.e. na wyspie Samos, a zmarł około 497 r. p.n.e. w Metaponcie. Około 532 roku p.n.e. opuścił wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie założył związek pitagorejski. Tam także rozwinął działalność naukową, filozoficzną i polityczną. Następnie zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci. Gdyby prawdziwe było stwierdzenie matematyka niemieckiego L. Kroneckera, że „liczby całkowite stworzył Bóg, a wszystkie pozostałe ludzie”, wówczas grecki filozof Pitagoras byłby właśnie jednym z tych ludzi.

4 Pitagoras Dziś trudno dokładnie ustalić, co szkoła pitagorejska zawdzięcza swemu mistrzowi, a co jego uczniom. Dlatego też mówić raczej należy o dokonaniach pitagorejczyków i nie przypisywać wszystkich odkryć samemu tylko założycielowi szkoły. Pitagorejczycy odkryli m.in. liczby niewymierne. Legenda głosi, że odkrył je sam Pitagoras, w związku z odkryciem twierdzenia o przeciwprostokątnej trójkąta (tzw. twierdzenia Pitagorasa). Liczby te nazwał „alogoj” (niewyrażalne). Ukrywał ten fakt przed współczesnymi. Pod przysięgą „tetraktis” zwierzył się swoim najbardziej wtajemniczonym uczniom, ale jeden z nich nie wytrzymał i zdradził tajemnicę. Podobno uczeń ten został przykładnie ukarany przez bogów: zginął w czasie burzy w odmętach morza. Pitagoras nie chciał zdradzić tak ważnego odkrycia, ponieważ podważało ono cały jego światopogląd filozoficzny, według którego liczba rządzi nie tylko miarą i wagą, ale także wszystkimi zjawiskami zachodzącymi w przyrodzie i jest treścią harmonii panującej we wszechświecie.

5 Pitagoras – najważniejsze fakty
Pitagoras żył w VI w. p.n.e. Założył szkołę, w której zajmowano się wieloma dziedzinami wiedzy, m.in. matematyką. Pitagorejczycy odkryli twierdzenie o przeciwprostokątnej trójkąta. Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych. Uczniowie Pitagorasa odkryli także, że pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną. Odkrycie to starannie ukrywali przed współczesnymi.

6 Rodzaje trójkątów Podział trójkątów ze względu na boki
Każdy bok ma inną długość, każdy kąt ma inną miarę. Jaki to trójkąt? TRÓJKĄT RÓŻNOBOCZNY Co najmniej dwa boki są równej długości. Kąty przy podstawie mają równe miary. Jaki to trójkąt? ramię ramię TRÓJKĄT RÓWNORAMIENNY podstawa Wszystkie boki są równe i równe są wszystkie kąty. Jaki to trójkąt? TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY

7 Rodzaje trójkątów Podział trójkątów ze względu na kąty
Każdy kąt wewnętrzny trójkąta jest kątem ostrym. Jaki to trójkąt? TRÓJKĄT OSTROKĄTNY Trójkąt, który ma jeden kąt prosty. Jaki to trójkąt? przeciwprostokątna przyprostokątna TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY przyprostokątna Trójkąt, który ma jeden kąt rozwarty. Jaki to trójkąt? TRÓJKĄT ROZWARTOKĄTNY

8 Odkrywamy regułę Przyjrzyjmy się trójkątowi prostokątnemu o bokach długości 3, 4 i 5. 5 3 4 P3 = 52 = 25 Teraz zbudujmy na bokach tego trójkąta kwadraty i obliczmy ich pola. P1 = 32 = 9 P2 = 42 = 16 Przyjrzyjmy się otrzymanym liczbom.

9 Odkrywamy regułę c Popatrzmy, jak jest w innych trójkątach prostokątnych. a b Przyprostokątne Przeciw-prostokątna Pola kwadratów a b c P1 = a2 P2 = b2 P3 = c2 3 4 5 9 16 25 12 13 144 169 6 8 10 36 64 100 15 81 225 11 60 61 121 3600 3721 CO TO ZA REGUŁA? JUŻ WIEM!!! = 25 = 169 = 100 = 225 = 3721

10 Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. c2 c a2 a Można to powiedzieć także i w taki sposób: b Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. b2 a2 + b2 = c2

11 Wskaż prawidłowy zapis.
Zadania utrwalające C Wskaż prawidłowy zapis. A z x w B k |AB|2 + |BC|2 = |AC|2 y |AC|2 + |BC|2 = |AB|2 o x2 + z2 = y2 |AB|2 + |AC|2 = |BC|2 o2 + w2 = k2 x2 + y2 = z2 o2 + w2 = k2 y2 + z2 = x2 k2 + w2 = o2

12 Który zapis jest niepoprawny?
Zadania utrwalające Który zapis jest niepoprawny? K L p r a c q b M a2 + b2 = c2 p2 + q2 = r2 |KL|2 + |KM|2 = |ML|2

13 Oblicz długość trzeciego boku.
Zadania utrwalające Oblicz długość trzeciego boku. 9 m 12 m ? 10 dm 3 cm 8 dm ? 4 cm ? Rozwiązanie Rozwiązanie Rozwiązanie

14 Długość trzeciego boku trójkąta wynosi 5 cm.
Rozwiązanie ? 3 cm 4 cm = = 25 Długość trzeciego boku trójkąta wynosi 5 cm.

15 Długość trzeciego boku trójkąta wynosi 6 dm.
Rozwiązanie 10 dm 8 dm ? 102 = 100 82 = 64 100 – 64 = 36 Długość trzeciego boku trójkąta wynosi 6 dm.

16 Rozwiązanie 9 m 12 m ? Nie da się obliczyć długości trzeciego boku – TO NIE JEST TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY!

17 Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Zadania utrwalające Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny. Który trójkąt o bokach podanej długości jest trójkątem prostokątnym? 5 cm, 13cm, 12 cm 6 dm, 8 m, 10 cm 7 cm, 24 cm, 25 cm 15 mm, 9 mm, 17 mm 8 m, 9 m, 13 m 1 cm, 2 cm, 3 cm 9 dm, 12 dm, 15 dm Kiedy będziesz znał odpowiedź, naciśnij spację lub kliknij myszką!

18 Zadania utrwalające Tam za murem dziewczyna a pod ręką drabina, co pięć metrów długości ma. W fosie krążą rekiny. Żal przecudnej dziewczyny, co za murem z rozpaczy łka. Czy zwykłemu chłopczynie, na wspomnianej drabinie te przeszkody pokonać się da? Dane wierszyk pominie, znajdziesz je przy rycinie. Policz sprytnie, odpowiedz raz dwa! Wiersz i ilustracja pochodzą z podręcznika dla klasy 2 gimnazjum z serii Matematyka z plusem (Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe) Rozwiązanie

19 Rozwiązanie Niestety, chłopczynie nie uda się pokonać przeszkód w postaci muru i rekina. Aby pięciometrowa drabina wystarczyła na pokonanie przeszkody, mur nie mógłby być wyższy niż 4 m.

20 Autorka Wykonanie: E-mail: Twierdzenie Pitagorasa Anna Tupaj
Publiczne Gimnazjum im. Jana Pawła II w Tyczynie Twierdzenie Pitagorasa Prezentacja multimedialna dla klasy II gimnazjum

21 Brawo! UDAŁO CI SIĘ!

22 Niestety… NIE UDAŁO CI SIĘ