ANALIZA WYMIAROWA..

Prezentacja na temat: "ANALIZA WYMIAROWA.."— Zapis prezentacji:

1 ANALIZA WYMIAROWA.

2 1. Analiza wymiarowa Element przestrzeni wymiarowej np. (5 kg), (7,8 m/s2), (15 m3/s), (100kPa),….. Elementy przestrzeni wymiarowej są wymiarowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy:

3 Przykład1: Elementy są wymiarowo niezależne. Przykład2: Elementy są wymiarowo zależne.

4 Przestrzeń wymiarowa ma n jednostek jeżeli istnieje w niej n wymiarowo niezależnych wymiarowo elementów. Każdy zbiór elementów wymiarowo niezależnych A1, A2, A3,…., An tworzy bazę. Każdy element przestrzeni można zapisać jako kombinację elementów bazy - wielkość bezwymiarowa

5 Jak sprawdzić czy elementy tworzą bazę (są wymiarowo niezależne)?
Jeśli znamy zbiór który wiemy, że tworzy bazę (jest wymiarowo niezależny) to zbiór generowany jest poprzez bazę X

6 Jeśli spełniony jest warunek
to zbiór B tworzy bazę (jest wymiarowo niezależny).

7 Przykład3: Czy jest bazą? Czyli zbiór B tworzy bazę.

8 Przykład4: Czy jest bazą? Czyli zbiór B nie tworzy bazy.

9 Funkcja wymiarowa jest to funkcja określona na zbiorze elementów wymiarowych.
gdzie Z, Z1, Z2, …, Zm – elementy przestrzeni wymiarowej Przykład5: Wyznaczyć funkcję wymiarową określającą spadek ciśnienia przypadający na jednostkę długości przewodu o średnicy d wskutek przepływu płynu o gęstości ρ z prędkością v.

10 Sprawdzamy czy argumenty funkcji są wymiarowo niezależne

11 Zapisujemy funkcję wymiarową jako kombinację elementów wymiarowo niezależnych w postaci:
Tworzymy układ 3 równań dla m, kg, s

12 Czyli funkcja wymiarowa ma postać
Rozwiązaniem układu równań jest a1= a2= a3= Czyli funkcja wymiarowa ma postać

13 Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie )
Dana jest funkcja wymiarowa Y1,Y2, …, Ym – elementy wymiarowo niezależne Z, A2, A3, …., Ar – elementy wymiarowo zależne. Dla funkcji wymiarowo niezmienniczej i jednorodnej argumenty zależne wyrażają się wzorem

14 - bezwymiarowe to funkcja Φ ma postać

15 Przykład 1: Kula o średnicy d opływana jest przez płyn o gęstości ρ i kinematycznym współczynniku lepkości μ z prędkością u. Wyznaczyć równanie na silę oporu kuli F. F - siła oporu kuli, N=m kg/s2 d - średnica kuli, m u - prędkość przepływu płynu, m/s ρ – gęstość płynu, kg/m3 μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms) u d Sprawdzamy czy zestaw ρ, u, d tworzy bazę? m kg s ρ u d Zestaw ρ, u, d tworzy bazę.

16

17

18 ponieważ stąd

19 Przykład 2: p/l - spadek ciśnienia na jednostkę długości, Pa/m=kg/(m2s2) d - średnica przewodu, m v – średnia prędkość przepływu płynu, m/s ρ – gęstość płynu, kg/m3 μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms) k – chropowatość bezwględna, m Sprawdzamy czy zestaw ρ, v, d tworzy bazę? m kg s ρ u d Zestaw ρ, v, d tworzy bazę.

20

21

22

23 ostatecznie

24 PODOBIEŃSTWO MODELOWE

25 Najczęściej występujące siły oddziaływujące w przepływie płynu
siły grawitacji, siły ciśnieniowe, siły lepkości, siły napięcia powierzchniowego, siły bezwładności, siły sprężystości.

26 Wybrane liczby podobieństwa dotyczące przepływu płynu
1. Liczba Reynoldsa Jeśli ściśliwość płynu może zostać pominięta i nie występuje w przepływie powierzchnia swobodna (np. przepływ w rurze, samolot w powietrzu, zanurzona łódź podwodna) to pod uwagę można brać tylko siły lepkości i bezwładności. Liczba Reynoldsa stosowana jest jako podstawowe kryterium stateczności ruchu płynów (przepływ laminarny, turbulentny).

27 2. Liczba Froude’a Jeśli o przepływie decyduje siła grawitacji. 3. Liczba Webbera Liczbę Webera wykorzystuje przy przepływach wielofazowych (co najmniej dwufazowymi, gdy jeden płyn graniczy z innym płynem), szczególnie gdy powierzchnia rozdziału faz jest silnie zakrzywiona (np. kropla płynu, poruszająca się w innym płynie).

28 4. Liczba Macha Jeśli płyn płynie z dużą prędkością lub ciało stałe porusza się z dużą prędkością w płynie pozostającym w spoczynku dominująca jest ściśliwość płynu. Liczba Macha przedstawia stosunek prędkości przepływu płynu w danym miejscu do prędkości dźwięku w tym płynie w tym samym miejscu Lub stosunek prędkości obiektu poruszającego się w płynie do prędkości dźwięku w tym płynie niezakłóconym ruchem obiektu, czyli formalnie – w nieskończoności.

29 Przepływ jest nieściśliwy (wpływ ściśliwości można pominąć) : Ma << 1 poddźwiękowy: Ma < 1 dźwiękowy: Ma = 1 okołodźwiękowy: 0,8 < Ma < 1,2 naddźwiękowy: Ma > 1 hiperdźwiękowy: Ma >> 1