Główne pojęcia logiki.

Prezentacja na temat: "Główne pojęcia logiki."— Zapis prezentacji:

1 Główne pojęcia logiki

2 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… Pojęcia logiki

3 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) Pojęcia logiki

4 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Pojęcia logiki

5 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: jeżeli A jest zmienną zdaniowa, to A jest formułą poprawnie zbudowaną Pojęcia logiki

6 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: jeżeli A jest zmienną zdaniowa, to A jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B Pojęcia logiki

7 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: jeżeli A jest zmienną zdaniowa, to A jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B Przykłady: p  q  r, Pojęcia logiki

8 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: jeżeli A jest zmienną zdaniowa, to A jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B Przykłady: p  q  r, p  (q  r) Pojęcia logiki

9 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: jeżeli A jest zmienną zdaniowa, to A jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B Przykłady: p  q  r, p  (q  r), p  r, Pojęcia logiki

10 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: jeżeli A jest zmienną zdaniowa, to A jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B Przykłady: p  q  r, p  (q  r), p  r, p  q  r, Pojęcia logiki

11 Język klasycznego rachunku zdań
Alfabet: zmienne zdaniowe: p, q, r… spójniki: , , , ,  (lub, i, nie, jeżeli…to, wtedy i tylko wtedy gdy) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: jeżeli A jest zmienną zdaniowa, to A jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B Przykłady: p  q  r, p  (q  r), p  r, p  q  r, (p  q)  r, p  (q  r). Pojęcia logiki

12 Konwencje notacyjne Hierarchia spójników: , , , , .
, , , . Pojęcia logiki

13 Konwencje notacyjne Hierarchia spójników: , , , , .
, , , . Alternatywne oznaczenia: ~ …, & , ; ,  Pojęcia logiki

14 Język klasycznego rachunku zdań
Reguły wnioskowania: reguła odrywania: A A  B B Pojęcia logiki

15 Język klasycznego rachunku zdań
Reguły wnioskowania: reguła odrywania: A A  B B reguła podstawiania: A(α|β) Pojęcia logiki

16 Język klasycznego rachunku zdań
Reguły wnioskowania: reguła odrywania: A A  B B reguła podstawiania: A(α|β) Na przykład: p  q  p |- (p  q)  q  p  q Pojęcia logiki

17 Język klasycznego rachunku zdań
Reguły wnioskowania: reguła odrywania: A A  B B reguła podstawiania: A(α|β) Na przykład: p  q  p |- (p  q)  q  p  q jest wyprowadzalne z Pojęcia logiki

18 Pojęcie dowodu DF: Dowodem formuły A na gruncie zbioru aksjomatów X nazywa się ciąg formuł B1, …, Bn taki, że Bn = A oraz Pojęcia logiki

19 Pojęcie dowodu DF: Dowodem formuły A na gruncie zbioru aksjomatów X nazywa się ciąg formuł B1, …, Bn taki, że Bn = A oraz dla każdej formuły Bi B1, …, Bi-1 |- Bi lub Pojęcia logiki

20 Pojęcie dowodu DF: Dowodem formuły A na gruncie zbioru aksjomatów X nazywa się ciąg formuł B1, …, Bn taki, że Bn = A oraz dla każdej formuły Bi B1, …, Bi-1 |- Bi lub Bi  X Pojęcia logiki

21 Funkcje prawdziwościowe
q p  q 1 Pojęcia logiki

22 Funkcje prawdziwościowe
q p  q 1 p q p  q 1 Pojęcia logiki

23 Funkcje prawdziwościowe
q p  q 1 p q p  q 1 p q p  q 1 Pojęcia logiki

24 Funkcje prawdziwościowe
q p  q 1 p q p  q 1 p q p  q 1 p q p  q 1 Pojęcia logiki

25 Wynikanie logiczne DF: X |= A wtw nie istnieje taka interpretacja,
w której wszystkie zdania ze zbioru X (przesłanki) są prawdziwe, a (wniosek) A jest fałszywy. Pojęcia logiki

26 Wynikanie logiczne DF: X |= A wtw nie istnieje taka interpretacja,
w której wszystkie zdania ze zbioru X (przesłanki) są prawdziwe, a (wniosek) A jest fałszywy. Na przykład: Jeżeli Funio kocha Kundzię, to się z nią ożeni. Funio nie żeni się z Kundzią. Zatem Funio nie kocha Kundzi. Pojęcia logiki

27 Wynikanie logiczne DF: X |= A wtw nie istnieje taka interpretacja,
w której wszystkie zdania ze zbioru X (przesłanki) są prawdziwe, a (wniosek) A jest fałszywy. Na przykład: Jeżeli Funio kocha Kundzię, to się z nią ożeni. Funio nie żeni się z Kundzią. Zatem Funio nie kocha Kundzi. Ale nie: Jeżeli Funio kocha Kundzię, to się z nią ożeni. Funio nie kocha Kundzi. Zatem Funio nie ożeni się z Kundzią. Pojęcia logiki

28 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) Pojęcia logiki

29 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q 1 Pojęcia logiki

30 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q 1 Pojęcia logiki

31 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p 1 Pojęcia logiki

32 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p 1 Pojęcia logiki

33 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p q 1 Pojęcia logiki

34 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p q 1 Pojęcia logiki

35 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p q  q   p 1 Pojęcia logiki

36 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p q  q   p 1 Pojęcia logiki

37 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p q  q   p (p  q)  ( q   p) 1 Pojęcia logiki

38 Prawa logiki DF: Prawem logiki nazywa się formuła prawdziwa w dowolnej interpretacji. Przykład: prawo kontrapozycji: (p  q)  ( q   p) p q p  q p q  q   p (p  q)  ( q   p) 1 Pojęcia logiki

39 Twierdzenie o dedukcji
X1, …, Xn |= A wtw X1  …  Xn  A jest prawem logiki Pojęcia logiki

40 Twierdzenie o dedukcji
X1, …, Xn |= A wtw X1  …  Xn  A jest prawem logiki Twierdzenie o pełności X |= A wtw X |- A przy odpowiednim doborze aksjomatów i reguł wnioskowania (takie reguły nazywają się niezawodne) Pojęcia logiki

41 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… Pojęcia logiki

42 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… stałe predykatowe: P, Q, R… Pojęcia logiki

43 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… stałe predykatowe: P, Q, R… spójniki: , , , ,  Pojęcia logiki

44 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… stałe predykatowe: P, Q, R… spójniki: , , , ,  kwantyfikatory: ,  (dla każdego, istnieje) Pojęcia logiki

45 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… stałe predykatowe: P, Q, R… spójniki: , , , ,  kwantyfikatory: ,  (dla każdego, istnieje) nawiasy Pojęcia logiki

46 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… stałe predykatowe: P, Q, R… spójniki: , , , ,  kwantyfikatory: ,  (dla każdego, istnieje) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: P(t1, …, tn) jest formułą poprawnie zbudowaną Pojęcia logiki

47 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… stałe predykatowe: P, Q, R… spójniki: , , , ,  kwantyfikatory: ,  (dla każdego, istnieje) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: P(t1, …, tn) jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi, to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B Pojęcia logiki

48 Język rachunku predykatów
Alfabet: stałe i zmienne indywiduowe: a, b, c…, x, y, z… stałe predykatowe: P, Q, R… spójniki: , , , ,  kwantyfikatory: ,  (dla każdego, istnieje) nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń poprawnych: P(t1, …, tn) jest formułą poprawnie zbudowaną jeżeli A i B są formułami poprawnie zbudowanymi, to poprawnie zbudowane są: A  B, A  B, A, A  B, A  B jeżeli A jest formułą poprawnie zbudowaną, to poprawnie zbudowane są: xA, xA Pojęcia logiki

49 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) Pojęcia logiki

50 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) Wszystkie kruki są czarne. Pojęcia logiki

51 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) Wszystkie kruki są czarne. Pojęcia logiki

52 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) Wszystkie kruki są czarne. Każda rzecz jest czarnym krukiem. Pojęcia logiki

53 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) Wszystkie kruki są czarne. Każda rzecz jest czarnym krukiem. Pojęcia logiki

54 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) Wszystkie kruki są czarne. Każda rzecz jest czarnym krukiem. Niektóre kruki są czarne. Pojęcia logiki

55 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) Wszystkie kruki są czarne. Każda rzecz jest czarnym krukiem. Niektóre kruki są czarne. Pojęcia logiki

56 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
P = „…jest krukiem”, Q = „…jest czarny” x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) x (P(x)  Q(x)) Wszystkie kruki są czarne. Każda rzecz jest czarnym krukiem. Niektóre kruki są czarne. Istnieje coś, co jeżeli jest krukiem, to jest czarne (co jest prawdą, gdy kruków w ogóle nie ma). Pojęcia logiki

57 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. Pojęcia logiki

58 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Pojęcia logiki

59 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, Pojęcia logiki

60 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” Pojęcia logiki

61 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  Pojęcia logiki

62 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Pojęcia logiki

63 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Pojęcia logiki

64 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Pojęcia logiki

65 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki. Pojęcia logiki

66 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki. x(P(x)  Pojęcia logiki

67 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki. x(P(x)  y(R(x, y)  Pojęcia logiki

68 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki. x(P(x)  y(R(x, y)  z(Q(y, z) Pojęcia logiki

69 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki. x(P(x)  y(R(x, y)  z(Q(y, z)  z  x))) Pojęcia logiki

70 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki (jeżeli w ogóle). x(P(x)  y(R(x, y)  z(Q(y, z)  z  x))) Pojęcia logiki

71 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki (jeżeli w ogóle). x(P(x)  y(R(x, y)  z(Q(y, z)  z  x))) x(P(x)  y(R(x, y)  z(Q(y, z)  z  x))) Pojęcia logiki

72 Przykłady zapisu symbolicznego zdań języka potocznego
Każda pliszka swój ogonek chwali. P = „…jest pliszką”, Q = „…jest ogonkiem …(czyimś)”, R = „…chwali …(coś)” x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) x(P(x)  y(Q(y, x)  R(x, y))) Każda pliszka chwali wszystkie swoje ogonki. Niektóre pliszki chwalą tylko cudze ogonki (jeżeli w ogóle). x(P(x)  y(R(x, y)  z(Q(y, z)  z  x))) x(P(x)  y(R(x, y)  z(Q(y, z)  z  x))) Niektóre pliszki chwalą jakiś cudzy ogonek. Pojęcia logiki