Geometria obrazu Wykład 8

Prezentacja na temat: "Geometria obrazu Wykład 8"— Zapis prezentacji:

1 Geometria obrazu Wykład 8
Zastosowania triangulacji Delaunay cd. Przerzedzanie triangulacji – modelowanie terenu, – kompresja danych. 2. Badanie odcisków palców

2 Przerzedzanie triangulacji.
Niech X = {x1, x2, ... , xN}  R2 będzie danym zbiorem na płaszczyźnie, a fX = (f(x1), f(x2), ... , f(xN))  RN oznacza odpowiadający X ciąg wartości nieznanej funkcji f : R2  R. Algorytm przerzedzania triangulacji polega na rekurencyjnym usuwaniu punktów ze zbioru X zgodnie z ustalonymi wcześniej kryteriami. Niech n oznacza liczbę usuwanych elementów. Wtedy algorytm przyjmuje następującą ogólną postać: XN:=X; for k:=1 to n do begin zlokalizuj usuwalny punkt x  XN-k+1 ; XN-k := XN-k+1\ x ; end

3 W wyniku działania tego algorytmu otrzymujemy ciąg zbiorów punktów wyznaczających kolejne triangulacje: XN-n  ...  XN-1  XN = X . Po usunięciu punktu powstały w ten sposób wielokąt ponownie triangulujemy tak, aby ponownie otrzymać triangulację Delaunay. Ponieważ zaburzenie triangulacji Delaunay ma tylko charakter lokalny, wystarczy tylko striangulować wielokąt wyznaczany przez sąsiadów usuwanego punktu.

4 Głównym problemem jest zdefiniowanie kryteriów określających usuwalność punktów.
Modelowaną powierzchnię przybliżamy funkcjami sklejanymi (spline) będącymi funkcjami liniowymi na każdym trójkącie triangulacji. Dla każdego podzbioru zbioru Y  X możemy zdefiniować taką funkcję SY = {s: s  C(CH(Y)) oraz s|T jest liniowa na każdym T  DT(Y)}. Fakt. Dla każdego wektora fY liniowy spline L(Y,f) taki, że L(Y,f)(y) = f(y) dla każdego y  Y, jest jednoznacznie określony.

5 (Y,X) = ||L(Y,f)|X – fX||.
Definicja. Dla danej normy |||| w RN błędem aproksymacji funkcji f na zbiorze X przez spline określony na zbiorze Y = Xr  X nazywamy wartość (Y,X) = ||L(Y,f)|X – fX||. W zależności od rozpatrywanej normy otrzymujemy np. (Y,X) = maxxX |L(Y,f)(x) – f(x)| lub 2(Y,X) = (xX |L(Y,f)(x) – f(x)|2)1/2 . Chcielibyśmy dla N-n < k < N znaleźć zbiór Y*  X taki, że |Y*| = k oraz (Y*,X) = minYX, |Y| = k (Y,X).

6 Niestety tak sformułowany problem jest NP-trudny.
Dlatego wykorzystując metodę zachłanną będziemy poszukiwać jak najlepszego rozwiązania. Kryterium usuwalności AT. Dla Y  X punkt y*  Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy (Y \ y*,X) = minyY (Y \ y,X). Wartość e(y) = (Y \ y,X) nazywamy przewidywanym błędem. W zależności od zastosowania stosuje się różne kryteria usuwalności, które wpływają na postać przewidywanych błędów.

7 Modelowanie terenu. Kryterium usuwalności AT. Dla Y  X punkt y*  Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy (Y \ y*,X) = minyY (Y \ y,X) (określamy minimalne odchylenie). Niech C(y) określa obszar wyznaczany przez sąsiadów punktu y oraz e1(y) = (Y \ y,X  C(y)). Kryterium usuwalności AT1. e1(y*) = minyY e1(y).

8 Przykład. AT  AT1. -3 -1 5 2,5 -1,1

9 minyX \ x d(x, y) / min d(x, ),
Aby przyspieszyć obliczenia możemy nieco uprościć powyższą definicję. Niech e’(y) = (Y \ y,Y). Wtedy możemy zdefiniować kryterium usuwalności AT2 w następujący sposób: Dla Y  X punkt y*  Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy e’(y*) = minyY e’(y). Powyższe kryteria odnoszą się do algorytmów przerzedzania dopasowa-nego, tzn. uwzględniającego wartości funkcji f. Można też upraszczać model terenu stosując metody niedopasowane, tzn. bazujące tylko na danych dotyczących zbioru punktów X. Jednym z tego typu kryteriów jest NAT, w którym priorytet wyboru punktów usuwalnych określany jest przez stosunek minyX \ x d(x, y) / min d(x, ), gdzie d( ) jest funkcją odległości a  oznacza brzeg obszaru zawiera-jącego X.

10 Przykład. Modele gór Hurrungane (Norwegia) w NAT i AT1 i odpowiadające im siatki. [L. Demaret et al. „Adaptive thinning for terrain modeling and image compression”]

11 Kompresja obrazu. W tym przypadku będziemy starać się minimalizować błąd średnio-kwadratowy ((2(Y,X))2/N). Niech e(y) = (2(Y \ y,X))2 dla y  Y. Minimalizacja e(y) jest równoważna minimalizacji e(y) = (2(Y \y,X  C(y)))2 – (2(Y,X  C(y)))2 dla y  Y. Zdefiniujmy kryterium usuwalności AT2: Dla Y  X punkt y*  Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy e(y*) = minyY e(y). Fakt. Algorytmy wykorzystujące kryteria NAT, AT1, AT2 działają w czasie O(N log N).

12 Niech X będzie zbiorem pikseli 2q x 2q a przedział [0, 2r-1] określa skalę barw. Definiujemy miarę zniekształcenia przy kompresji obrazu PSNG (Peak Signal to Noise Ratio) jako 10*log10(2r x 2r x N/ (2(Y,X))2). Postępując podobnie jak poprzednio obliczamy aproksymację L*(Y,F)  SY, gdzie F = f|Y, spełniającą warunek (i,j)X |L*(Y,F)(i,j) – f(i,j)|2 = mins (i,j)X |s(i,j) – f(i,j)|2 , gdzie s  SY. Postępując odwrotnie do kodowania obliczamy wartości funkcji f. Notka. SPIHT (Set Partitioning Into Hierarchical Trees) – metoda kompresji bazująca na transformacjach falkowych.

13 Przykład. Porównanie kompresji i dekompresji wykonanych z pomocą SPIHT (b) i AT2 (d) oraz triangulacja najbardziej znaczących punktów obrazu (c). [L. Demaret et al. „Adaptive thinning for terrain modeling and image compression”]

14 Badanie odcisków palców
Badanie odcisków palców. Na odcisku palca określamy zbiór istotnych punktów. Zwykle są to końce linii papilarnych lub punkty, w których się one łączą. Dla danego zbioru punktów tworzymy triangulację Delaunay. [G. Bebis et al. „Fingerprint Identyfication Using Delaunay Triangulation”]

15 Każdy trójkąt triangulacji jest opisany za pomocą trzech zmiennych
Każdy trójkąt triangulacji jest opisany za pomocą trzech zmiennych. Niech l1, l2, l3 oznaczają długości boków danego trójkąta w porządku niemalejącym. Niech α będzie katem przeciwległym do krawędzi o maksymalnej długości. Wtedy zmienne z1, z2, z3 przyjmują wartość: 0 ≤ z1 = l1/l3 ≤ 1, 0 ≤ z2 = l2/l3 ≤ 1, -1 ≤ z3 = cos α ≤ 1. Następnie skalujemy zmienne, określając odpowiednie progi tak, aby zmienne były liczbami całkowitymi.

16 Badamy odpowiednie triangulacje dla wzorca i danych z bazy
Badamy odpowiednie triangulacje dla wzorca i danych z bazy. Dla trójkątów opisanych tymi samymi zmiennymi zapamiętujemy parametry odpowiedniego przekształcenia w przestrzeni transformacji. Obszar w przestrzeni transformacji, w którym znajduje się najwięcej punktów odpowiadających odwzorowaniom różnych trójkątów wskazuje na przekształcenie, które najlepiej dopasowuje oba obrazy. Po dokonaniu takiego przekształcenia, można z pomocą przekształcenia afinicznego dodatkowo dopasować trójkąty, które niewiele się różnią. Procentową zgodność dopasowania określa formuła 200n/(p+q), gdzie n oznacza liczbę pokrywających się punktów, a p i q są liczbami wierz-chołków badanych triangulacji.

17 Przykład. Dopasowane dwie triangulacje przed i po afinicznej korekcie.
[G. Bebis et al. „Fingerprint Identyfication Using Delaunay Triangulation”]

18 Dziękuję za uwagę.

19 Ćwiczenia. Dany jest zbiór punktów P i zbiór nieprzecinających się krawędzi E. Jaki jest najniższy rząd triangulacji P zawierającej krawędzie z E ? Otwarty problem: Znajdź efektywny algorytm obliczający taką triangulację. 2. Jak umieścić dodatkowe punkty na krawędziach z E, aby zmniejszyć rząd triangulacji do danego k (np. k = 0) ?