12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 11 Elementy Kombinatoryki.

Prezentacja na temat: "12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 11 Elementy Kombinatoryki."— Zapis prezentacji:

1

2 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 11 Elementy Kombinatoryki

3 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK2 Problem

4 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK3 Funkcje Problem Dane są dwa zbiory X i Y skończone, X= {x 1,...,x n }, Y={y 1,...,y m }. Ile jest funkcji całkowitych f : X Y? Pudełko nr. 1Pudełko nr. 2Pudełko nr. 3Pudełko nr. 4Pudełko nr. 5 n=7, m= 5 X: a, b, c, d, e, f, g Y: abc de f g Jeśli |X|=n i |Y|=m, to |{f: X Y}| = m n.

5 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK4 Przykład 1 Na ile sposobów można wylosować pięć kart (ze zwracaniem) z talii zawierającej 52 karty ? Inaczej mówiąc : ile jest 5elementowych ciągów, w których każdy element to jedna 52 kart? Odp.: 52 5 lub Ile jest funkcji ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór 52 elementowy? lub Na ile sposobów można włożyć liczby 1,2,3,4,5 do 52 pudełek?

6 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK5 Przykład 2 Na ile sposobów można pokolorować graf o n wierzchołkach, jeśli dysponujemy k kolorami? Inaczej: Ile jest różnych funkcji całkowitych postaci Kolor : Wierzchołki Zbiór_kolorów Wierzchołki pomalowane na żółto Wierzchołki pomalowane na niebiesko Wierzchołki pomalowane na czerwono ODP.: k n

7 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK6 Przykład 3 Ile różnych liczb można zapisać w n elementowym rejestrze bitowym? Ile jest n elementowych ciągów, których wyrazami jest zero lub jeden? Ile jest różnych funkcji ze zbioru n elementowego i o wartościach w zbiorze{0,1}? Odpowiedź : 2 n

8 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK7 Funkcje różnowartościowe A co, jeśli wymagamy aby każde pudełko zawierało co najwyżej jeden obiekt? Pytanie Ile jest funkcji całkowitych różnowartościowych f : X Y ? Oczywiście pierwszy element możemy włożyć do dowolnego pudełka. Y: Jeśli x 1 włożyliśmy do pudełka y 1, to x1x1 nie możemy tam włożyć już innych elementów! Czyli x 2 możemy włożyć tylko do jednego z pozostałych pudełek. Odpowiedź: m * (m-1) * (m-2)... * (m-n+1)

9 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK8 Wariacje Definicja Ciąg n różnych elementów ze zbioru m elementowego nazywa się wariacją n wyrazową ze zbioru m- elementowego bez powtórzeń. f : X Y 1 2 3... n y i1 y i2 y i3... y in Przykład Niech A={1,2,3,4}. Wszystkie trzy-wyrazowe wariacje ze zbioru A to: 1,2,3 1,2,4 1,3,2 1,3,4 1,4,2 1,4,3 2,1,3 2,1,4 2,3,1 2,3,4 2,4,1 2,4,3 3,1,2 3,1,4 3,2,1 3,2,4 3,4,1 3,4,2 4,1,2 4,1,3 4,2,1 4,2,3 4,3,1 4,3,2 Wniosek Liczba tych wariacji wynosi m(m-1)...(m-n+1). 1-1 Różne elementy zbioru Y

10 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK9 Przykład Jaka jest liczba możliwych słów 5cio literowych, jeśli litery w słowie nie mogą się powtarzać i dysponujemy alfabetem 24 literowym? Ile można utworzyć ciągów 5 elementowych, bez powtórzeń, jeśli elementami ciągu są litery z 24elementowego zbioru? Ile jest różnowartościowych funkcji odwzorowujących zbiór {1,2,3,4,5} w 24-ro literowy alfabet? Ile jest wariacji 5-wyrazowych ze zbioru 24elementowego? ODP.: 24* 23*22*21*20

11 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK10 Rozmieszczenia uporządkowane Rozważmy sytuację, w której rozmieszczamy n obiektów w m pudełkach, ale pudełka zawierają teraz ciągi, a nie zbiory elementów. Ile jest różnych możliwych rozmieszczeń uporządkowanych n obiektów w m pudełkach? 1szy element na m sposobów, 2gi elememet na (m+1) sposobów. i-ty element można umieścić w pudełku k o i k -elementach na i k +1- sposobów. Czyli razem, ity element wkładamy na m+i-1 sposobów. a, bc Pudełko 1 Pudełko 2 Pudełko 3.... Pudełko m d i1i1 i2i2 i3i3 imim Odp.: m(m+1)...(m+n-1)

12 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK11 Przykład Przypuśćmy, że zajmujemy się układaniem rozkładu zajęć. Jedno z zadań z tym związanych to przypisanie zajęć(grup) do sal. Oczywiście o tej samej godzinie nie możemy umieścić w tej samej sali różnych zajęć. Przypuśćmy, że dysponujemy 7 salami i mamy 40 rożnych zajęć. Ile różnych rozkładów zajęć można utworzyć? Czyli: Ile jest różnych rozmieszczeń uporządkowanych 40 obiektów w siedmiu pudełkach? Odp.: 7 * 8 * 9 *... * (7+40-1)

13 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK12 Permutacje Definicja n wyrazowe wariacje ze zbioru n elementowego nazywamy permutacjami. Inaczej: permutacje to funkcje całkowite, różnowartościowe ze zbioru X w zbiór X. Liczba permutacji P(n) zbioru n elementowego wynosi n*(n-1)...*2 *1, tzn. n! Dowód tw. przez indukcje ze względu na n. Krok 1. Liczba permutacji w zb. 1-elementowym wynosi 1. P(1)=1!=1 Założenie Ind.: P(k)=k! dla pewnego k >0. Teza: P(k+1)= (k+1)! Dowód. Element (k+1)szy umieszczamy na wszystkich możliwych pozycjach (tzn. k+1 pozycjach ) we wszystkich k-elementowych permutacjach. Zatem P(k+1)= P(k) * (k+1)= (k+1)!

14 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK13 Oszacowanie Oszacowanie 1. n! n n Dzięki wzorowi Stirlinga mamy : n! = (2 n) (n/e) n (1+ (1/n)) 2. n! = O(n n ) 3. lg n! = (n lg n)

15 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK14 Przykład Rozważmy permutacje zbioru {1,2,3,4}. 1,2,3,4 1,2,4,3 1,3,2,4 1,3,4,2 1,4,2,3 1,4,3,2 2,1,3,4 2,1,4,3 2,3,1,4 2,3,4,1 itd 1,2,3,4 2,1,3,4 1,3,2,4 3,1,2,4 2,3,1,4 3,2,1,4 1,2,4,3 2,1,4,3 1,4,2,3 4,1,2,3itd * 1,2,3,4 2,1,3,4 2,3,1,4 2,3,4,1 3,2,4,1 3,2,1,4 3,1,2,4 1,3,2,4 1,3,4,2 3,1,4,2itd *

16 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK15 Interpretacja Ten ciąg permutacji odpowiada drodze Hamiltona w grafie. 1234 1243 1423 4123 4132 43124321 3421 3241 3214 2314 2134 2143 1324 3124 2341 2413 2431 4231 4213 1432 3412 1342 3142

17 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK16 Generowanie permutacji Generowanie wszystkich permutacji przez minimalną liczbę transpozycji sąsiednich elementów. Procedure ANTYLEX(m) begin if m=1 then wypisz_permutację P(1:n) else for i :=1 to m do ANTYLEX(m-1); if i<m then zamień(P(i), P(m)); odwróć(m-1); fi; od; fi end; Początkowo P(i)=i dla i=1...n

18 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK17 Symbol dwumianowy Liczbę wszystkich podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznaczamy przez (n nad k) i nazywamy symbolem dwumianowym Newtona. Jeśli X ma n elementów, to liczba wszystkich podzbiorów zbioru X wynosi 2 n. Kombinacje bez powtórzeń Lemat (n nad k)=0 gdy k>n (n nad k)= n!/ (k! (n-k)!) Ciągów różnowartościowych długości k w zbiorze n elem. jest n (n-1)... (n-k+1) Ale ciągów o różniących się kolejnością elementów jest k! Stąd (n nad k)= n (n-1)... (n-k+1)/k! ( x+y) n = (n nad i) x i y n-i

19 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK18 Trójkąt Pascala (n nad i) : i=0...n} = 2 n (n nad k) = (n nad n-k) (n nad k) = (n-1 nad k ) + (n-1 nad k-1) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

20 12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK19 Przykłady 1. Ile jest ciągów zero-jedynkowych o długości n, w których 1 występuje dokładnie k razy? Uwaga Ciąg ( 0 1 0 1 1 1 0 0 0) można traktować jako funkcję charakterystyczną zbioru. Zatem odpowiedź : (n nad k) 2. Niech będzie graf pełny G (bez pętli) o n wierzchołkach. Ile taki graf ma krawędzi m? Uwaga Każda krawędź wyznacza 2 elementowy podzbiór i każdy 2 elementowy podzbiór zbioru wierzchołków wyznacza krawędź. Zatem odpowiedź : (n nad 2)