ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH I JEGO PODZBIORY

Prezentacja na temat: "ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH I JEGO PODZBIORY"— Zapis prezentacji:

1 ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH I JEGO PODZBIORY
Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb całkowitych Zbiór liczb wymiernych Zbiór liczb niewymiernych Zagadki Od autora

2 ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH
Liczby rzeczywiste to jeden z najważniejszych zbiorów w całej matematyce. Intuicyjnie ich definicja jest dość prosta - liczbę rzeczywistą utożsamiamy z odległością na prostej. Zbiór liczb rzeczywistych (R) to zbiór będący sumą zbiorów liczb wymiernych (W) i niewymiernych (NW). N ⊂ C ⊂ W ⊂ R ⊃ NW Oznaczenia: R - liczby rzeczywiste NW – liczby niewymierne W – liczby wymierne C – liczby całkowite N – liczby naturalne W Liczby wymierne Liczby wymierne można ustawić w ciąg nieskończony. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C, do którego należą wszystkie liczby dające się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. R C NW N

3 ZBIÓR LICZB NATURALNYCH
1, 2, 3, 4, 5, 6... I tak w nieskończoność. Te liczby nazwano naturalnymi, bo pełno ich wokół - dwie dziurki w nosie, cztery strony świata, pięć palców, 12 uderzeń zegara o północy... Czy zero jest liczbą naturalną? To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że zero jest liczbą naturalną (cóż może być bardziej naturalnego od niczego!), a czasem zaczynają od 1. My przyjmujemy, że zero należy do zbioru liczb naturalnych. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy wielką literą N, a jego elementy małą literą n. n∊ N n = 0,1,2,3… N = {0,1,2,3,4…} Zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem liczb całkowitych. N ⊂ C Cechy podzielności liczb przez 2, 3, 4, 5, 9 i 10 liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 2, jak jej cyfra jedności. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 3, jak suma jej cyfr. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 4, jak liczba a1×10+a0. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 5, jak jej cyfra jedności. aby obliczyć resztę z dzielania x przez 7, trzeba - zaczynając od rzędu jedności - mnożyć jej cyfry przez wyrazy ciągu okresowego 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, ..., dodać do siebie obliczone iloczyny i obliczyć resztę z dzielenia tak otrzymanej liczby przez 7. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 8, jak liczba a2×100+a1×10+a0. . liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, jak suma jej cyfr. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 10, jak jej cyfra jedności. 11, jak różnica sumy jej cyfr z rzędów parzystych i sumy jej cyfr z rzędów nieparzystych aby obliczyć resztę z dzielrnia x przez 13, trzeba - zaczynając od rzędu jedności - mnożyć jej cyfry przez wyrazy ciągu okresowego 1,-3,-4,-1,3,4,1,-3,-2,-1,3,4,1,..., dodać do siebie obliczone iloczyny i obliczyć resztę z dzielenia tak otrzymanej liczby przez 13 C N

4 ZBIÓR LICZB CAŁKOWITYCH
Próżno szukać wśród liczb naturalnych takiej, która jest wynikiem odejmowania liczby większej od mniejszej, np. 3-5. Można oczywiście uznać, że takie działanie nie ma sensu. Taka była mniej więcej postawa uczonych w starożytnej Grecji. Jeszcze wielki Pascal uważał, że "liczba mniejsza od 0" nie może istnieć. Dziś liczby ujemne już nie gorszą. Są na skali termometrów i w bilansach księgowych. Liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi tworzą zbiór liczb całkowitych rozciągający się od minus do plus nieskończoności: ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... Liczby całkowite są podzbiorem liczb wymiernych. C ⊂ W W C N

5 ZBIÓR LICZB WYMIERNYCH
Już dziecko wie, że liczby całkowite to jeszcze nie wszystko. Pierwsze spotkanie z ułamkami następuje najczęściej w czasie urodzin, kiedy okazuje się, że trzeba się podzielić torcikiem... Liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego (przy czym zarówno w liczniku, jak w mianowniku są liczby całkowite, bez zera!), nazywa się liczbami wymiernymi. W ich skład wchodzą również wszystkie liczby całkowite (bo każdą liczbę całkowitą można zapisać w takiej postaci, np. 4 to 4/1, 8/2 itd.). Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, np. 0,4 ; 12,(3). Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C. N ⊂ C ⊂ W ⊂ R W C R N

6 ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH
Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Liczb niewymiernych nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego: p/q, gdzie p ∊ C, q ∊ N \ {0} Przykłady liczb niewymiernych: π = 3,141592… ,√2,√3/5. Liczby niewymierne NW są podzbiorem liczb rzeczywistych R. NW ⊂ R NW R

7 ZAGADKI Czy liczba 14,097 jest liczbą całkowitą?
Czy zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem liczb wymiernych? Czy liczba -4 jest liczbą naturalną? Czy zbiór liczb niewymiernych jest podzbiorem zbioru liczb wymiernych? Czy liczba 0,023(25) jest liczbą wymierną?

8 OD AUTORA Prezentacja przeznaczona jest do wykorzystania na zajęciach matematyki. Zastrzegam sobie prawo do zmian. Jeśli masz jakieś uwagi, to napisz do mnie: Aktualizacja r.