Stabilne rozkłady Lévy'ego (Lévy Flights)

Prezentacja na temat: "Stabilne rozkłady Lévy'ego (Lévy Flights)"— Zapis prezentacji:

1 Stabilne rozkłady Lévy'ego (Lévy Flights)
Marek W. Gutowski Instytut Fizyki PAN, Warszawa Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej, 26 listopada 2007 r.

2 Plan: Będzie o matematyce, fizyce, biologii i kilku innych naukach,
które starają się opisać otaczającą nas rzeczywistość. Będę mówił o materii ożywionej i nieożywionej, a także (niewiele) o rzeczywistości tworzonej przez człowieka. Spoiwem będzie narzędzie matematyczne stworzone przez Paula Lévy'ego, wymienione w tytule.

3 Benoit Mandelbrot, ur. 1924 Being a language, mathematics may be used not only to inform but also, among other things, to seduce. Fractals : Form, chance and dimension (San Francisco, 1977)

4 http://www-history. mcs. st-andrews. ac
Paul Lévy, Wykład: Notions of calculus of probabilities and the role of Gaussian law in the theory of errors (1919), Książki: Calcul des probabilités (1925), Processus stochastiques et mouvement brownien (1948)

5 Botanik Robert Brown opisał w r. 1827 dziwne zachowanie pyłków roślin
umieszczonych w wodzie, Phil. Mag. 4, , 1828 Opis matematyczno-fizyczny zjawiska podał znacznie później Albert Einstein, Ann. Phys. 17, 549, 1905 Rejestracja położenia co 30s Rozmiar cząstek 0.53 mikrometra Oczko siatki 3.2 mikrometra J. B. Perrin, "Mouvement brownien et réalité moléculaire," Ann. de Chimie et de Physique (VIII) 18, (1909)

6

7

8 Ważna dygresja Rozkład sumy dwóch zmiennych losowych jest splotem ich rozkładów, nie ich sumą!

9

10

11

12

13

14 beta = 1.99

15 beta = 1.99

16 beta = 1.99

17 beta = 1.99

18

19 O ile trasy lotów albatrosów możemy nazywać przelotami Lévy'ego,
W praktyce próbujemy wyznaczać z danych eksperymentalnych właśnie indeks rozkładu, używając do tego celu danych z jego grubego albo ciężkiego ogona, przybliżając go asymptotycznym prawem potęgowym. O ile trasy lotów albatrosów możemy nazywać przelotami Lévy'ego, (Lévy flights, beta < 1), to wędrówki małp są częściej spacerami (Lévy walks, beta > 1).

20 G. Ramos-Fernandez et all,
Levy walk patterns in the foraging movements of spider mokeys (Ateles geoffroyi), physics/ rejestracja co 5 minut miejsce: Yukatan, Meksyk beta(grupa) = 1.12 beta(solo) = 0.50

21

22 Huragan Andrew, 1992

23

24 Komputerowe generatory rozkładów stabilnych
Imitacja !!

25 Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

26 Dygresja: liczba Gamma ! funkcja Gamma !

27 Anna Piekart Obserwacja zachowania pewnego algorytmu ewolucyjnego Szkoła Nauk Ścisłych, praca licencjacka, 2004

28 Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

29 Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

30 Komputerowe generatory rozkładów stabilnych
Chambers et al., 1976

31 Błądzenie przypadkowe, o długości kroku sterowanej przez
omawiane stabilne rozkłady prawdopodobieństwa, nadaje się do natychmiastowego zastosowania do losowych metod optymalizacyjnych. Z ostatniej chwili ... Jak pokazał Ilya Pavlyukevich (cond-mat/ oraz cond-mat/ ) możliwe jest znaczące przyspieszenie metody symulowanego wygrzewania. Gwarancję sukcesu mamy, gdy obniżanie „temperatury” odbywa się według zależności potęgowej od czasu, przy czym wykładnik potęgi powinien być równy odwrotności indeksu beta. W metodzie simulated annealing (SA) mamy: T ~ 1/ln t. Jeszcze większe możliwości – w postaci znajdowania nie tylko globalnego minimum, ale także wybranych minimów lokalnych - uzyskuje się poprzez manipulacje indeksem rozkładu w trakcie obliczeń.

32 George Marsaglia - Professor Emeritus
of Pure and Applied Mathematics and Computer Science at Washington State University and Professor Emeritus of Statistics at Florida State University, Boeing Scientific Research Laboratories, Seattle, Washington Diehard tests The diehard tests are a battery of statistical tests for measuring the quality of a set of random numbers. They were developed by George Marsaglia over several years and first published in 1995 on a CD-ROM of random numbers. Rozprawa doktorska: Ohio State University, 1951 Uniform Random Number Generators, with M. Donald MacLaren, 1965 One-line random number generators and their use in combinations, with T. A. Bray, 1968 Note on proposed test for random number generators, 1985 Normal (Gaussian) random variable for supercomputers, 1991 Some portable very-long-period random number generators, with Arif Zaman, 1994 The Monty Python method for generating random variables, with Wai Wan Tsang, 1998 A simple method for generating gamma variables, with Wai Wan Tsang, 2000 Technical opinion: Seeds for random number generators, 2003

33 Dziękuję za uwagę

34 Physics is like sex: sure, it may give some practical results,
but it's not why we do it. - Richard Feynmann

35