Macierze Maria Guzik.

Prezentacja na temat: "Macierze Maria Guzik."— Zapis prezentacji:

1 Macierze Maria Guzik

2 Czym jest macierz ? Macierz najłatwiej wyobrazić sobie jako tabliczkę z liczbami. Może ona mieć różną liczbę wierszy oraz kolumn. Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu, natomiast ich elementy małymi. Poniżej przedstawiłam przykładowe macierze:

3

4 Zapis macierzy Gdy mówimy o elemencie macierzy mamy na myśli konkretną liczbę znajdującą się w jej określonym miejscu. Położenie dowolnego elementu macierzy możemy określić podając numer wiersza oraz numer kolumny, w której się znajduje. Wygodnym sposobem na określanie elementów macierzy jest podawanie ich z indeksami odpowiadającymi numerowi wiersza oraz kolumny, w której znajduje się dany element, np. element leżący w trzecim wierszu i drugiej kolumnie znajdującej się tu macierzy możemy oznaczyć jako a32.

5 Zapis macierzy - przykład
Na poniższym przykładzie zaznaczyłam numery wierszy i kolumn. Możemy odczytać, że element a23 leżący w drugim wierszu i trzeciej kolumnie to 4.

6 Działania na macierzach
Tak jak dla liczb rzeczywistych, dla macierzy również istnieją pewne działania. Macierze można dodawać, odejmować i mnożyć. Należy pamiętać o tym, że dla macierzy nie zostało zdefiniowane dzielenie. Kolejną rzeczą, która jest ważna przy operacjach na macierzach jest to, iż mnożenie macierzy nie jest przemienne !!!

7 Dodawanie macierzy Dodawanie macierzy można wykonać tylko dla macierzy o tych samych wymiarach (taka sama ilość wierszy oraz kolumn). Działanie to polega na dodawaniu do siebie odpowiadających sobie elementów, tzn. do elementu leżącego w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie pierwszej macierzy dodajemy element leżący w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie drugiej macierzy, itd. dla kolejnych elementów.

8 Dodawanie macierzy - przykład
Poniżej został przedstawiony przykład dodawania macierzy: =

9 Odejmowanie macierzy Odejmowanie macierzy można wykonać podobnie jak dodawanie - tylko dla macierzy o tych samych wymiarach. Działanie to polega na odejmowaniu od siebie odpowiadających sobie elementów, tzn. od elementu leżącego w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie pierwszej macierzy odejmujemy element leżący w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie drugiej macierzy, itd. dla kolejnych elementów.

10 Odejmowanie macierzy - przykład
Poniżej został przedstawiony przykład odejmowania macierzy: =

11 Mnożenie macierzy przez skalar
Macierze możemy mnożyć przez liczbę (skalar). Polega to na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tę liczbę. Poniżej przedstawiłam przykład: 5* =

12 Mnożenie macierzy razy macierz
Mnożenie macierzy jest nieco bardziej skomplikowane niż przedstawione wcześniej działania. Aby mnożenie było możliwe, pierwsza z mnożonych macierzy musi mieć taką liczbę kolumn, jak druga wierszy, w innym przypadku nie da się zrealizować mnożenia. Aby obliczyć pierwszy element wynikowej macierzy należy pomnożyć element a11 razy element b11, a następnie do tego iloczynu dodać wynik mnożenia elementu a12 razy b21, itd. dla kolejnych elementów pierwszego wiersza pierwszej macierzy i pierwszej kolumny drugiej macierzy. Podobnie postępujemy dla uzyskania następnych elementów macierzy wynikowej. Może wydaje się to trochę skomplikowane, ale kolejne slajdy powinny rozjaśnić to działanie.

13 Mnożenie macierzy - przykład
Aby łatwiej było stwierdzić, jaki wymiar będzie miała macierz wynikowa, mnożenie macierzy zapisujemy w następujący sposób:

14 Zapis czynności, które wykonujemy obliczając element a11 macierzy wynikowej zaznaczony na czerwono wygląda tak: 7*1+8*7+2*8+3*9= =106 * = Obliczając kolejne elementy iloczynu postępujemy tak samo, np. dla elementu a22 obliczenie wygląda następująco: 7*2+4*8+1*7+2*0= =53

15 Dowód na nieprzemienność mnożenia macierzy
* = Jak widać na przedstawionym przykładzie, oba iloczyny są zupełnie różne, chociaż składniki mnożenia są takie same, tylko w odwrotnej kolejności.

16 Zastosowanie macierzy
Macierze mogą ułatwić rozwiązywanie wielu problemów matematycznych. Najprostszym przykładem wykorzystania macierzy jest rozwiązywanie układów równań. Macierze znajdują również szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach techniki, takich jak informatyka, elektronika itd.

17 Dziękuję za uwagę !