Systemy liczbowe w architekturze komputerów materiał do wykładu 1/3

Prezentacja na temat: "Systemy liczbowe w architekturze komputerów materiał do wykładu 1/3"— Zapis prezentacji:

1 Systemy liczbowe w architekturze komputerów materiał do wykładu 1/3
dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL /10

2 Systemy liczbowe Addytywne:
w których liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli, np. rzymski system liczbowy, hieroglificzny, alfabetyczny, gdzie wartość liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych Pozycyjne: które posiadają symbole n liczb naturalnych: 0, 1, 2, ..., n − 1, gdzie n to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

3 System pozycyjny cn * p n + . . . + c2 * p 2 + c1 * p 1 + c0 * p 0
oznaczając przez cn - cyfrę systemu pozycyjnego i n – pozycję cyfry p - podstawę systemu, wartość reprezentowaną przez symbol liczby zapisujemy jako sumę iloczynów postaci: cn * p n c2 * p 2 + c1 * p 1 + c0 * p 0 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

4 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65
6 * * 10 0 sześćdziesiąt pięć 243 2 * * * 10 0 dwieście czterdzieści trzy Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

5 Konwersje systemów (4013)5 = 4 * * * * 5 0 = = (508)10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

6 System dwójkowy U[V] 0 - stan niski – (brak działania/brak sygnału) 5
1 t 0,8 2 5 U[V] Cyframi tego systemu są: 0 i 1. Symbolizują one dwa stany tzw. 0 - stan niski – (brak działania/brak sygnału) 1- stan wysoki – (działanie układu/sygnał) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

7 Konwersja (z BIN na DEC)
( )2 = = 1 * * * * * * * * 2 0 = = = (221)10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

8 Konwersja (z DEC na BIN)
DEC  BIN : dzielenie przez = Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

9 Konwersja (z DEC na BIN)
Część ułamkowa liczby Kolejne wyniki mnożenia przez 2 Część całkowita liczby: Kolejne wyniki dzielenia przez 2 30 1 1 1250 Część całkowita Reszta 15 2500 7 1 5000 3 1 1 0000 1 1 = Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

10 System szesnastkowy Cyframi tego systemu są: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (1011|0011|1010)2 = (B3A)16 (11|1011|1110)2 = (0011|1011|1110)2 = (3BE)16 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

11 Cyfry systemu szesnastkowego Liczby systemu dziesiątkowego
Liczby systemu dwójkowego 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

12 Konwersja HEX HEX na DEC
(3BE)16 = 3 * * * = = (958)10 BIN na HEX B E E B = 1E38.E38H Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

13 Konwersja HEX na BIN 0E6C.7F8H E 6 C . 7 F E6C.7F8H = B Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

14 Liczby stałoprzecinkowe
cn-1...c0,c-1c-2...c-m = cn-1pn c0p0 + c-1p-1 + c-2p c-mp-m 253,763 = 2 x x x x x x ,321(5) = 4 x x x x x x ,321(5) = 4 x x x x 1/5 + 2 x 1/ x 1/ ,321(5) = /5 + 2/25 + 1/ ,321(5) = / ,321(5) = 117,688 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

15 Dwójkowe liczby stałoprzecinkowe
1101,1011(2) = 1 x x x x x x x x ,1011(2) = 1 x x x x x ½ + 0 x 1/4 + 1 x 1/8 + 1 x 1/ ,1011(2) = /2 + 1/8 + 1/ ,1011(2) = / ,1011(2) = 13,625 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

16 Operacje arytmetyczne - dodawanie
Tabliczka dodawania binarnego 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 i 1 dalej 1001 9 + 0011 +3 1100 12 0011,011 3,375 + 0111,110 + 7,750 1011,001 11,125 1010 10 + 0110 +6 10000 16 Przekroczenie górnej granicy liczby - nadmiar (ang. overflow). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

17 Operacje arytmetyczne - odejmowanie
Tabliczka odejmowania binarnego 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 i pożyczka 1011 11 - 0101 -5 0110 6 1111 15 - 0111 -7 1000 8 0011 3 - 0100 -4 -1 Przekroczenie dolnej granicy liczby - niedomiar (ang. underflow). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

18 Operacje arytmetyczne - mnożenie
Tabliczka mnożenia binarnego 0 x 0 = 0 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 1 = 1 0011 3 x    0101 x 0000 ... + 0011 001111 15 1011 11 x    1101 x 33 + 11 143 nadmiar (ang. overflow) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

19 Operacje arytmetyczne - mnożenie
10,1 2,5 x      11,01 x ,25 101 125 50 +   ,001 8125 8,125 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

20 Operacje arytmetyczne - dzielenie
polega na cyklicznym odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od dzielnej Podzielimy 1110(2) przez 11(2) (14 : 3). 1 1110 - dzielna 11 - przesunięty dzielnik 0010 - różnica dzielnej i przesuniętego dzielnika Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

21 Operacje arytmetyczne - dzielenie
100 - wynik dzielenia 1110 - dzielna - dzielnik 0010 - dzielna po odejmowaniu przesuniętego dzielnika -  - dzielnika nie można odjąć -  - dzielnika nie można odjąć, koniec - reszta z dzielenia Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

22 Liczby ujemne znak-moduł
Znak kodowany jest stanem najstarszego bitu: Wartość liczby obliczamy wg następującego wzoru: bit znaku = 0 - liczba dodatnia bit znaku = 1 - liczba ujemna WZ-M = (1 - 2 x bit znaku) x WM WZ-M = (-1)bit znaku x WM Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

23 liczba w kodzie Z-M (0 101)(ZM) = (1 - 2 x 0) x (1 x x x 20) (0 101)(ZM) = 1 x (1 x x 1) (0 101)(ZM) = 1 x (4 + 1) (0 101)(ZM) = 1 x 5 (0 101)(ZM) = 5 (1101)(ZM) = (1 - 2 x 1) x (1 x x x 20) (1101)(ZM) = -1 x (1 x x 1) (1101)(ZM) = -1 x (4 + 1) (1101)(ZM) = -1 x 5 (1101)(ZM) = -5 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

24 Liczba w kodzie Z-M – 127  + 127 100...0 – 0 znak moduł 000...0 + 0
– 127  – 0 znak moduł 0                 1 – Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

25 Two's Complement Numbering System – U2
WU2 = cn-1 x (- pn-1) + cn-2 x pn c1 x p1 + c0 x p0 0101(U2) =  0 x (- 23) + 1 x x x (U2) =  0 x (- 8) + 1 x x x (U2) =  (U2) =  5 1101(U2) =  1 x (- 23) + 1 x x x (U2) =  1 x (- 8) + 1 x x x (U2) =  (- 8) (U2) =  (U2) =  - 3 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

26 Kod U2 Oblicz wartość przeciwną do liczby 0011(U2) = 3: Sprawdzenie 1101(U2) = 1 x (-23) + 1 x x x (U2) = 1 x (-8) + 1 x x x (U2) = (U2) = -3 NOT  0011 1100 +   0001 1101 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

27 Kod U2 - działania 5 + (-3) 2-(-3) 0101 0010 + 1101 - 1101 1 0010
+   1101 -   1101 1 0010 1 0101 Wynik 2 Wynik 5 (-2) x 3 x   +    Wynik = -6 10 0110 : 0011 0000 0011 NOT  0010 1101 +   0001 1110 6 = 0110(U2) -3= 1101(U2) - zmieniamy na 3 = 0011(U2) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

28 kod BCD - Binary Coded Decimal
2 0010 3 0011 7 0111 9 1001 2379(10) = (BCD (BCD) = (BCD) = 6 x x x x x (BCD) = 6 x x x x x (BCD) = (BCD) = 68936 1672(16) = (2) = (BCD) = 1672(10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

29 Kod BCD – korekcja 31 -18 +   Wynik = 48 Wynik = 13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

30 Kod Gray’a Kod Gray’a 000 001 011 010 110 111 101 100 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

31 Zapis zmiennoprzecinkowy
WFP = m x pw m - mantysa zapisana w systemie o podstawie p p - podstawa danego systemu pozycyjnego w - wykładnik zapisany w systemie o podstawie p. 9,45 x 1015 = 94,5 x 1014 = 0,945 x 1016 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

32 Liczby zmiennoprzecinkowe
(3,21 x 1012)(4) m = 3,21(4) = 3 x x x 4-2 = 3 x x 1/4 + 1 x 1/16 m = 3 + 2/4 + 1/16 = 39/16 p = 10(4) = 1 x x 40 = 1 x x 1 p = 4 w = 12(4) = 1 x x 40 = 1 x x 1 = w = 6 (3,21 x 1012)(4) = 39/16 x 46 = (10) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

33 p = 2 , standard IEEE 754 01...00  – 3 cecha 01...01  – 2
s c m  – 3 cecha  – 2 przesunięta  – 1  0  1 znak liczby  2 0   3 1  –  4 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

34 dziękuję Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego