FUNKCJE GREENA Funkcja Greena jest związana z nazwiskiem matematyka angielskiego Georga Greena (1793-1841). Funkcja ta zależy od tego, w ilu wymiarowym.

Prezentacja na temat: "FUNKCJE GREENA Funkcja Greena jest związana z nazwiskiem matematyka angielskiego Georga Greena (1793-1841). Funkcja ta zależy od tego, w ilu wymiarowym."— Zapis prezentacji:

1 FUNKCJE GREENA Funkcja Greena jest związana z nazwiskiem matematyka angielskiego Georga Greena (1793-1841). Funkcja ta zależy od tego, w ilu wymiarowym obszarze rozwiązujemy zadanie [39, 86]. Zagadnienie jednowymiarowe jest oznaczane jako 1-D, natomiast dwu- i trójwymiarowe odpowiednio jako 2-D i 3-D. Funkcja Greena jest klasy C 2 z wyjątkiem punktu A = B. Jest ona symetryczna G' (A, B) = G(A, B) + g(A, B)(2.17) Funkcja Greena w obszarze ograniczonym jest wyrażona zależnością gdzie: G(A, B) - funkcja Greena dla obszaru nieograniczonego; g(A, B) ­funkcja zapewniająca spełnienie przez G'(A, B) warunków brzegowych. G' (A, B) = G' (B, A) Załóżmy, że w obszarze (rys. 2.1) potencjał V spełnia równanie Laplace'a (2.18) Funkcja Greena też je spelnia (2.19)

2 Rys. 2.1. Rozważany obszar W przypadku obszaru trójwymiarowego (3-D) (2.20) a dla dwuwymiarowego (2-D) (2.21)

3 Zagadnienie Dirichleta dla równania Laplacea ma rozwiązanie w postaci: (2.22) gdzie: V(A) - potencjał skalarny, P - dowolny punkt na brzegu S obszaru, A - dowolny punkt wewnątrz obszaru. Dla mieszanego warunku brzegowego rozwiązanie jest sumą rozwiązań (2.22) i (2.23). W przypadku zagadnienia 2-D zamiast podstawimy S a zamiast powierzchni brzegowej S linię brzegową. Rozwiązanie równania Poissona (2.3) przybiera postać (2.24) Rozwiązanie zagadnienia Neumanna ma postać (2.23)

4 Funkcje Greena dla równania Poissona mają taki samą postać jak dla równania Laplace'a Spełniają one równanie Poissona (2.25) W układzie współrzędnych kartezjańskich (2.26) przy czym (r) - delta Diraca. gdzie: x, y, z -- współrzędne dowolnego punktu rozważanej przestrzeni, x 0, y 0, z 0 - współrzędne punktu, w którym jest spełnione równanie (2.25). gdzie: a - dowolnie mała liczba dodatnia; r 0 - współrzędne punktu, w którym jest spełnione równanie (2.25); r - współrzędna dowolnie bliska współrzędnej r 0. Delta Diraca ma następującą właściwość: (2.27) Równanie Helmholtza (2.5) ma takie samo rozwiązanie jak równanie Laplace'a (2.22) i (2.23).

5 W przestrzeni 3-D funkcja Greena dla równania Helmholtza ma postać (2.28) W obszarze dwuwymiarowym 2-D (2.29) Rozwiązanie równania przewodnictwa (2.8) w przestrzeni 3-D i 2-D ( S,.S ) ma następującą postać: (2.30) dla niżej podanych warunków początkowo-brzegowych (2.31) oraz Funkcja Greena dla równania przewodnictwa w przestrzeni 3-D jest opisana zależnością (2.32)

6 a w obszarze 2-D (2.33) W przypadku obszaru 1-D dla następujących warunków początkowo-brzegowych: (2.34) rozwiązanie równania ma postać (2.35) Gdzie (2.36)

7 Ideę metody rozdzielenia zmiennych, zwanej także metodą Fouriera, przedstawimy na przykładzie rozwiązana równania Laplace'a w układzie współrzędnych kartezjańskich (2.37) METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH Założymy. że V = X (x) Y(y) Z(z) (2.38) gdzie X(x), Y(y), Z(z) - funkcje tylko jednej zmiennej Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy X(x)= X: Y(y)=Y; Z(z)=Z Po podstawieniu zależności (2.38) do równania (2.37) 1 wykonaniu różniczkowania otrzymamy (2.37a)

8 Obie strony równania (2.37a) dzielimy pacz XYZ i otrzymujemy (2.37b) Równanie to przekształcamy do postaci (2.37c) Obie strony równania przyrównujemy do stałej otrzymując (2.39) (2.40) gdzie p - pierwsza stała rozdzielenia zmiennych. Równanie (2.40) przekształcamy do postaci (2.41) gdzie q - druga stała rozdzielenia zmiennych

9 Ostatecznie, po rozdzieleniu zmiennych równanie (2.37) zastąpimy trzema równaniami o pochodnych zwyczajnych (2.40a) (2.40b) (2.40c) Rozwiązanie tych równań jest równoważne rozwiązaniu równania (2.37) o pochodnych cząstkowych. W wyniku rozwiązania równania (2.40a), (2.40b) i (2.40c) otrzymujemy (2.38a)

10 Rozwiązanie ogólne równania (2.37) ma więc postać (2.38a). Stałe A k, B k ; C l,. D l,, E kl,,. F kl,, p oraz q wyznaczamy z warunków brzegowoych i w warunków symetrii. Z warunków brzegowych wyznaczamy też zależność między stałymi p i q a wskaźnikami sumowania k i l. Idea metody rozdzielenia zmiennych nic zależy od układu współrzędnych, zmieniają natomiast swą postać równania (2.37) i rozwiązanie ogólne (2. 38a). Należy podkreślić; że nie we wszystkich układach współrzędnych w równaniu Laplace'a udaje się rozdzielić zmienne [51]. W przypadku wektorowego równania Laplace'a najpierw należy rozdzielić składowe, a następnie przysąpić do rozdzielenia zmiennych w równaniach skalarnych opisujących składowe. Zastosujemy obecnie metodę rozdzielenia zmiennych do rozwiązania,skalarnego równania Helmholtza w układzie współrzędnych kartezjańskich (2.42) Założymy. że poszukiwana funkcja jest opisana zależnością (2.38). Po uwzględnieniu postaci równania (2.42) oraz po przekształceniach otrzymamy (2.43) (2.43a) (2.43b)

11 Dalsze postępowanie jest identyczne z postępowaniem w przypadku równania Laplace'a. Liczba układów współrzędnych, w których udaje się rozdzielić zmienne w równaniu Helmholtza jest mniejsza niż dla równania Laplacea [51]. Jako następny przykład rozważymy zastosowanie metody rozdzielenia zmiennych do rozwiązania skalarnego równania przewodnictwa (2.44) Założymy, że (2.45) gdzie: U(u, v, w) = U - funkcja zmiennych przestrzennych; T(t) =T - funkcja czasu Po podstawieniu zależności (2.45) do równania (2.44) (2.46) Po przekształceniach (2.47) (2.48)

12 Równanie (2.47) jest równaniem Helmholtza. Sposób rozwiązania takiego równania został już przedstawiony. Rozwiązanie równania (2.48) ma postać (2.49) Stała rozdzielenia p jest funkcją wskaźników sumowania Równanie (2.48) ma taką samą postać jak równanie opisujące napięcie w stanie nieustalonym w szeregowym obwodzie RC. Różnica polega tylko na tym, że w szeregowym obwodzie RC stała p 2 = l, zaś h 2 = 1/RC. Rozwiązując równanie falowe postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równania przewodnictwa. Najpierw, rozdzielamy zmienne U i T, a potem rozwiązujemy otrzymane równania Obecnie zajmiemy się równaniem Poissona (2.3) (2.50) które jest równaniem niejednorodnym. W celu sprowadzenia równania Poissona do równania Laplace'a (2.1) założymy; że (2.51) gdzie: V 1 - funkcja spełniająca równanie Laplacea: V 2 - funkcja spelniąjąca równanie Poissona

13 Funkcję V 2 dobieramy tak, by spełniała ona równanie Poissona. Zatem (2.52) (2.53) Po rozwiązaniu równania (2.53) ze wzoru (2.51) wyznaczamy V. W przypadku innych równań niejednorodnych postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równania Poissona, W celu wyjaśnienia sposobu wyznaczania funkcji V 1, i V 2 rozwiążemy następujące równanie Poissona: (2.54) Łatwo można stwierdzić, że (2.55) ponieważ

14 Równanie Laplace'a (2.56) ma następujące rozwiązanie: (2.57) więc (2.58)

15 W wielu przypadkach przedstawienie zagadnienia teorii pola elektromagnetycznego w postaci równania całkowego ułatwia jego rozwiązanie. Można je formułować biorąc pod uwagę zarówno równoważność miedzy zagadnieniem brzegowym dla równania różniczkowego a równaniem całkowym, jak i wykorzystując rozważania fizyczne. Równania całkowe są stosowane do rozwiązywania zadań prostych (analizy) i odwrotnych (syntezy, identyfikacji). Ułatwiają one obliczenia pól w obszarach nieograniczonych. Do formułowania równań całkowych są przydatne funkcje i wzory (tożsamości) Greena. Zwięźle sklasyfikujemy równania całkowe. METODA RÓWNAŃ CAŁKOWYCH Równaniem całkowym Fredholma pierwszego rodzaju nazywamy zależność (2.59) a równaniem całkowym Fredholma drugiego rodzaju nazywamy zależność (2.60) gdzie: K(x. y) - jądro równania całkowego. f(y) - poszukiwana funkcja, g(x) - zadana funkcja

16 W przypadku gdy granicę całkowania b zastąpi się zmienną x, stosujemy równania Volterry [39]. Równania drugiego rodzaju mają rozwiązanie jednoznaczne, a równania pierwszego rodzaju wieloznaczne. W dalszej czyści wykładu zostaną podane sposoby formułowania kilku równali całkowych

17 METODA CAŁEK BRZEGOWYCH Metoda całek brzegowych jest wykorzystywana do obliczania pól wewnątrz obszarów ograniczonych, na ich brzegu i w obszarach nieograniczonych. Punktem wyjścia metody całek brzegowych jest druga tożsamość Greena (2.61) Zajmiemy się zagadnieniem płaskim (rys. 2.2) opisanym równaniem (2.61), więc zamiast będziemy pisać.S, a zamiast,S napiszemy Załóżmy. że osobliwości (np. źródła pola) znajdują się wewnątrz obszaru.S w Rys. 2.2. Zagadnie płaskie

18 Zatem (2.62) W pozostałej części obszaru S funkcja Greena (2..63) spełnia równanie Laplace'a (2.64) W związku z powyższym, w obszarze.S W /S W pozbawionym osobliwości, tożsamość (2.61) przybiera postać (2.65) gdzie: (2.66) - wartość potencjału na brzegu, - wartość pochodnej potencjału na brzegu,

19 Biorąc pod uwagę, że (2..67) (2.68) pierwsza część całki obliczanej po 3 przybiera następującą postać Drugą całkę obliczamy w podobny sposób

20 (2.70) Wyprowadzając wzór (2.69), wzięto pod uwagę, że normalna do powierzchni całkowania jest skierowana do środka okręgu, tzn. w kierunku przeciwnym do kierunku. Oprócz tego przed całkę wyprowadzono V(P), ponieważ w nieskończenie małym obszarze potencjał jest stały. W obliczeniach uwzględniono, że w nieskończenie małym obszarze pochodna normalna potencjału jest stała i wzięto ją przed całkę. Po skorzystaniu z reguły de LHôspitala otrzymamy ` (2.71)

21 Zatem wrażenie (2.70),jest równe zeru. Po uwzględnieniu. że w obszarze S.jest spełnione równanie Poissona, zależność (2.65) przybiera następującą postać: (2.72) Wzór (2.72) jest identyczny ze wzorem (2.24). Metoda całek brzegowych może być stosowana do obliczania rozkładu potencjału wewnątrz obszaru łącznie z brzegiem, gdy znane są warunki brzegowe. Szczególne znaczenie ma jej numeryczna realizacja, znana jako metoda elementów brzegowych (p. 2.12). Jeżeli punkt P, w którym obliczony potencjał V(P) znajduje się na brzegu ; to przy usuwaniu osobliwości postępujemy podobnie jak w przypadku wyprowadzenia wzoru (2.72). z tą różnicą, że całkowanie (rys. 2.2) wykonywane po brzegu 4 :, (po okręgu) (2.73) Drugą całkę obliczami podobnie jak całkę (2.70) (2.74) Po skorzystaniu z (2.73) otrzymamy wzór opisujący potencjał V (P) na brzegu (2.75)

22 W badaniach dynamiki układów szerokie zastosowanie znalazły Przekształcenia całkowe Laplace'a i Fouriera Zmiennymi niezależnymi występującymi w tych przekształceniach są czas i częstotliwość. Niżej zostaną przedstawione przekształcenia, w których zmiennymi niezależnymi są współrzędne przestrzenne. Przekształcenie całkowe,jest opisane wzorem (2.76) METODA PRZEKSZTAŁCEŃ CAŁKOWYCH gdzie: u - zmienna niezależna oryginału, f(u) - funkcja podlegająca transformacji (oryginał). K(r, u) - jądro przekształcenia całkowego, F(r) - transformata funkcji f(u). Odwrotnym przekształceniem jest zależność (2.77) gdzie L(r. u) - jądro przekształcenia odwrotnego.

23 Do obliczania rozkładu pola magnetycznego przewodów o przekroju prostokąnym może być wykorzystane przekształcenie Fouriera (2.78) oraz odwrotne przekształcenie Fouriera (2.79) Dla istnienia transformaty (2.78) koniecznym jest, aby funkcja f(x) spełniała następujące warunki: (2.80) gdzie: M ma wartość skończoną; f (x) ma skończoną liczbę ekstremów; f (x) ma skończoną liczbę punktów nieciągłości, w których istnieją granice prawo- i lewostronne; W punktach nieciągłości wartość f (x) jest równa średniej arytmetycznej obu granic. Obecnie rozpatrzymy niektóre właściwości przekształcenia Fouriera. Po podstawieniu wzoru (2.78) do (2.79) otrzymamy

24 Część urojona równania (2.79a) jest równa zeru. ponieważ sin (x -u) jest nieparzysty względem. Biorąc to pod uwagę, wzór (2.79a) uprości sę do postaci (2.79b) (2.79a) Wzór (2,79) możemy zapisać w następującej formie: (2.81)

25 Dla parzystej funkcji F(j ) otrzymamy (2.82) a dla nieparzystej (2.84) Transformatę Fouriera (2.78) możemy zapisać w postaci algebraicznej (2.84) Gdzie (2.85) (2.86) W przypadku przewodów o przekroju klina wyciętego z walca lub wycinka pierścienia stosuje się przekształcenie całkowe Bessela (Henkela) (2.87)

26 gdzie J n (r, u) - funkcja Bessela pierwszego rodzaju n-tego rzędu Odwrotne przekształcenie Bessela ma postać (2.88) W przypadku przewodów o przekroju w postaci wycinków kuli korzysta się z przekształcenia całkowego Mellina (2.89) Odwrotne przekształcenie Mellina ma postać 2.90) Przekształcenia całkowe są stosowane do obliczania pola magnetycznego generowanego przez prądy płynące w przewodach. Jako przykład przedstawimy wykorzystanie przekształcenia Fouriera do obliczenia pola magnetycznego wytworzonego przez prąd stały płynący w przewodzie o przekroje prostokątnym (rys. 2.3). Wytworzony potencjał wektorowy pola magnetycznego spełnia równanie Poissona (Laplace'a)

27 (2.91) Rys. 2.3. Przewód o przekroju prostokątnym ponieważ A = A z oraz J = J z. Powyższe zadanie rozwiążemy korzystając z przekształcenia Fouriera. Gęstość prądu zapiszemy w postaci (2.92) gdzie: (2.93) (2.94)

28 Po podstawieniu wzorów (2.93) i (2.94) do (2.92), a następnie do równana (2.91) i rozwiązaniu go, otrzymamy (2.95) Mając potencjał wektorowy, możemy obliczyć składowe wektora indukcji magnetycznej w całym obszarze. W tym celu należy skorzystać ze wzoru W przypadku przewodów o przekroju walcowym lub kulistym lub kulistym należy posłużyć się przekształceniem Bessela lub Mellina. Zaletą przekształceń całkowych jest możliwość uzyskania zwartych wzorów opisujących pole magnetyczne w całym obszarze.

29 Metoda residuów ważonych jest ogólną metodą rozwiązywania w sposób przybliżony zadań fizyki matematycznej. w tym zadań z teorii pola elektromagnetycznego. Takie przybliżone metody jak różnic skończonych, elementów skończonych, elementów brzegowych, momentów, kolokacji itp. można przedstawić jako szczególne przypadki metody residuów ważonych [7. 23]. Odwrotne twierdzenie nie zawsze jest słuszne [7]. Załóżmy, że w obszarze.S(u, v) ograniczonym brzegiem (rys. 2.4) funkcja V d, Dokładnie spełnia równanie Poissona (2.96) Rys. 2.4 Obszar płaski METODA RESIDUÓW WAŻONYCH

30 i następujące warunki brzegowe: (2.97) (2.98) (2.99) gdzie: Poszukujemy przybliżonego równania (2.96) (2.100) W związku z tym powstają błędy (różnice między wartościami dokładnymi i przybliżonymi) wewnątrz obszaru S. (2.101) i na brzegu (2.102) (2.103) (2.104)

31 Błąd rozwiązania równania (2.96) wewnątrz obszaru płaskiego S ( w przypadku trójwymiarowym wewnątrz obszaru ) może być wyrażony inaczej niż wzorem (2.101) (2.105) W przypadku gdy przybliżone rozwiązanie dokładnie spełnia warunki brzegowe, to jest, gdy 1 = 2 = 3 = 0, błąd 0 występuje jedynie wewnątrz obszaru S. Przybliżone rozwiązanie wewnątrz obszaru S przyjmuje się w postaci (2.106) gdzie: l - dowolne współczynniki, V l - liniowo niezależne funkcje współrzędnych u, v. Funkcje V l zależą od kształtu obszaru, w którym poszukiwane jest przybliżone rozwiązanie równania (np. 2.96)). Współczynniki l są wyznaczane w wyniku rozwiązania równania równań, spełnienie których zapewnia uzyskanie rozwiązania(2.106) z założonym błędem. Gdy liczba członów sumy (2.106) jest nieskończona (n = ), otrzymujemy rozwiązanie dokładne, a gdy jest ona skończona (n < ), wówczas rozwiązanie jest przybliżone. W metodzie residuów ważonych wprowadza się funkcję wagi (2.107) gdzie: l - dowolne współczynniki, U l - liniowo niezależne funkcje

32 Metoda residuów ważonych polega na minimalizacji błędu rozwiązania. Uzyskuje się to dzięki minimalizacji całki (2.108) Rys. 2.5. Obwód z równolegle połączonymi rezystorami gdzie jest błędem (2.101) rozwiązania równania (2.96). Gdy zadanie rozwiązywane jest w obszarze trójwymiarowym, wzór(2.108) zmienia postać (2.109) W zależności od sposobu uzyskujemy różne metody przybliżone. Metody wariacyjne mogą być wyprowadzone zgodnie z zasadą ekstremum (minimum) energii, znana też pod nazwą zasady najmniejszego (minimum) działania, lub z metodą residuów ważonych. Zajmiemy się zasadą najmniejszego działania, z której wynika, że niektóre zjawiska fizyczne przebiegają przy minimum energii. W celu wyjaśnienia tej zasady przeanalizujemy prosty przykład. Na rysunku 2.5 przedstawiono obwód prądu stałego. METODY WARIACYJNE

33 Należy obliczyć rozpływ prądów I 1 i I 2 gdy są dane I, R 1, R 2. Z zasady najmniejszego działania wynika, że rozpływ prądów powoduje minimalne straty mocy w tym obwodzie. Po uwzględnieniu pierwszego prawa Kirchhoffa I = I 1 + I 2 (2.110) moc traconą w obwodzie wyrazimy wzorem (2.111) Rozpływ prądów powoduje wydzielenie minimalnej mocy, jeśli (2.111a) Z zależności (2.111a) i pierwszego prawa Kirchhoffa otrzymamy (2.112) Podany przykład jest bardzo prosty, posługując się zasadą ekstremum energii, otrzymaliśmy rozwiązanie dokładne. W rozpatrzonym przypadku wyznaczyliśmy rozpływ prądów na podstawie ekstremum mocy. Ekstremum to bez wyjaśnienia określiliśmy jako minimum. Obliczając drugą pochodną, stwierdzamy czy ekstremum mocy odpowiada jej minimum, czy maksimum (2.114)

34 Druga pochodna jest dodatnia, więc wyznaczony rozpływ prądów zapewnia minimum strat mocy. Sformułujemy funkcjonał energetyczny równoważny niejednorodnemu równaniu Helmcholtza (2.7), dla zagadnienia brzegowego przedstawionego na rys. 2.4 (1.115) Minimalizacja funkcjonału (2.115) (1.116) jest równoważna rozwiązaniu wyżej sformułowanego zagadnienia brzegowego dla równania Helmholtza. Równanie (2.116) jest równaniem Eulera dla funkcjonału (2.115). Rozpatrzmy zagadnienie Diricjhleta (2.117) dla równania Laplacea (2.118)

35 Funkcjonał równoważny zagadnieniu brzegowemu (2.117) dla równania (2.118) ma następująca postać: (2.119) W celu minimalizacji funkcjonału (2.119) należy rozwiązać równanie Eulera (2.116). Rozpatrzmy teraz dwie metody minimalizacji funkcjonałów Metoda Ritza. Stosując tę metodę przyjmujemy że ekstremum (minimum) funkcjonału (V) zapewniają następujące funkcje: (2.120) gdzie: x 1 ; x 2,.... x k - współrzędne. Funkcja V 0 (x 1 ; x 2,.... x k ) spełnia warunek brzegowy. Pozostałe funkcje V i (x 1 ; x 2,...x k ) przyjmują wartość zero dla punktów leżących na brzegu. Współczynniki i ; wyznaczamy z warunków istnienia ekstremum funkcjonału (V) (2.121) Zgodnie ze wzorem (2.121) V= V ( 1, 2.... k.), zatem (V) = ( 1, 2.... k.),

36 Metoda Kantorowicza. W metodzie tej przyjmujemy, że funkcjonal (V) minimalizują następujące funkcje: Metoda Kantorowicza tym różni się od metody Ritza. że; współczynniki i są funkcjami jednej współrzędnej x l. Jest ona trudniejsza od metody Ritza, ponieważ jest bardziej pracochłonna lecz daje dokładniejsze wyniki. Lewą stronę zależności (2.122) można zapisać w postaci zatem (2.123) Współczynniki funkcyjne realizujące ekstremum funkcjonału (2.123) spełniają układ równań Eulera (2.124)

37 gdzie Funkcje V 0 oraz V i odgrywają taką samą rolę zarówno w metodzie Kantorowicza, jak i w metodzie Ritza. Dokładność z jaką rozwiążemy zadanie jest tym większa, im więcej weźmiemy wyrazów szeregu (2.120) lub (2.122). Porównując wzory (2.106) i (2.120) stwierdzamy, że metoda Ritza może być wyprowadzona z metody residuów ważonych. Podstawową wadą poznanych metod wariacyjnych jest trudny do określenia a priori błąd. Zaletami tych metod są: - możliwość rozwiązania szerszej klasy zagadnień niż metodą rozdzielenia zmiennych, - prostsza postać końcowych wzorów niż w metodzie rozdzielenia zmiennych. Metody wariacyjne są szczególnie przydatne do wyznaczania wielkości proporcjonalnych do minimalizowanego funkcjonału. Na przykład, w przypadku pola elektrostatycznego dają one lepsze efekty w obliczeniach pojemności niż w- obliczeniach rozkładu potencjału.

38 Metoda różnic skończonych polega na: - sprowadzeniu równania różniczkowego cząstkowego do równania różnicowego, - sformułowaniu układu równań algebraicznych równoważnego równaniu różnicowemu, - rozwiązaniu równań algebraicznych i na tej podstawie wyznaczeniu rozwiązania równani różniczkowego. Metodę różnic skończonych (MRS) [103] można przedstawić jako jedną z możliwych realizacji metody residuów ważonych. W metodzie różnic skończonych funkcja wagi (2.107) przybiera następującą postać: (2.107a) METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH gdzie: W l -współczynniki przyporządkowane węzłom l, l - delty Diraca przyporządkowane węzłom l. Porównując (2.107x) z (2.107) stwierdzamy, że W i = l i l = U l Delta Diraca ma następującą właściwość: gdzie: x 1 - współrzędna danego punktu obszaru, x 2 - współrzędna punktu, w którym znajduje się źródło.

39 Ideę metody różnic skończonych wyjaśnimy na przykładzie zagadnienia dwuwymiarowego. Na rysunku 2.6 przedstawiono we współrzędnych kartezjańskich obszar ograniczony linią (konturem). Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego wewnątrz tego obszaru. Na płaszczyźnie xy rysujemy siatkę opisaną następującymi zależnościami: (2.125) Rys. 2.6. Metoda różnic skończonych gdzie: x, y - współrzędne dowolnego punktu siatki; x 0, y 0 - współrzędne punktu odniesienia; h - skok siatki wzdłuż współrzędnej x; k - skok siatki wzdłuż współrzędnej y.

40 W przypadku szczególnym można przyjąć h = k, skoki mogą być zmienne, zatem h = h(i) oraz k = k(j). Punkty przecięcia prostych nazywamy węzłami siatki. Wartości poszukiwanej funkcji V= V (.x, y) w węzłach siatki są wyrażone zależnościami V i, j = V(.x 0 + ih, y 0 + jk). Dla węzłów leżących wewnątrz obszaru ograniczonego konturem 1 pochodne cząstkowe zastąpimy różnicami (2.126) Drugie pochodne w tych węzłach zastąpimy różnicami drugiego rzędu (2.127) Stosując wzory (2.126) i (2.127), równania różniczkowe cząstkowe sprowadzamy do równańróżnicowych. Rozpatrzmy kilka przykładów. Dane jest równanie Laplace'a (2.128) i warunek Dirichleta (2.129)

41 W celu uproszczenia rozważań przyjmujemy siatkę kwadratową, tzn. h = k. Korzystając ze wzorów (2.127), równanie (2.128) sprowadzamy do postaci różnicowej (2.128a) Rys. 2.7. Węzeł i,j Rozwiązując równanie (2.128a), otrzymujemy wartość funkcji V i, j w węźle i, j (2.130)

42 Na rysunku 2.7 pokazano węzeł i, j oraz węzły sąsiednie, od których zależy wartość funkcji (2.130). Rozpatrzymy węzły leżące na linii Ii (rys. 2.6) aproksymującej rzeczywisty brzeg h Wartość funkcji V w węźle znajdującym silę na rzeczywistym brzegu (np. w węźle A) jest określona warunkiem brzegowym. W celu lepszego zrozumienia sposobu obliczania funkcji V w węzłach wewnętrznych (np. B) i zewnętrznych (np. C) zamieszczono rys. 2.8 i 2.9. Zakładając liniową zależność funkcji V od współrzędnych, otrzymujemy (2.131) (2.132) Rys. 2.9. Węzeł zewnętrzny Rys. 2.8. Węzeł wewnętrzny

43 Rozwiązanie równania Laplace'a sprowadzono w ten sposób do rozwiązania układu równań (2.128a). Liczba równań tego układu jest równa liczbie węzłów siatki ograniczonej brzegiem zmniejszonej o liczbę węzłów leżących na brzegu. Liczbę równań zmniejsza się również uwzględniając symetrię układu. W wyniku zastosowania metody różnic skończonych powstają błędy w rozwiązaniu równania różniczkowego spowodowane: (a) zastąpieniem równania różniczkowego różnicowym (błąd dyskretyzacji), (b) przybliżonym rozwiązywaniem układu równań (2.128a). Błędy typu (a) można zmniejszyć zagęszczając siatkę (przyjmując mniejszy skok h i k). Założymy, że dane jest równanie przewodnictwa (2.8) (1.33 ) i warunek początkowy V(x, 0) = f'(x) dla 0 < x < x 1 (2.134) oraz warunek brzegowy V(0, t) = q(t)(2.135) V(x 1, t) =r(t ) dla t>0

44 Na rysunku 2.10 przedstawiono siatkę dla pasma,, w którym,jest poszukiwane rozwiązanie równania (2.133). Siatka jest opisana następującymi zależnościami: (2.136) Rys. 1.10. Siatka t,x Wartość funkcji V w węźle i, j oznaczymy jako V i, j = V(x i, t j ). Pochodną aproksymujemy jedną z dwóch różnic pierwszego rzędu

45 Drugą pochodną aproksymujemy różnicą drugiego rzędu (2.139) (2.137) lub (2.138) Po wykorzystaniu zależności (2.137), (2.138) i (2.139) sprowadzamy równanie (2.133) do dwóch równoważnych równań różnicowych (2.140) lub (2.140a) a równane (2.140) sprowadzamy do postaci (2.140b) lub do postaci (2.140c) W celu uproszczenia zapisu wprowadzamy oznaczenie (2.141)

46 Wykonując analogiczne przekształcenia, sprowadzamy równanie (2.140a) do postaci (2.140d) lub do postaci (2.140e) Rys. 2.11. Schemat różnicowy Rys. 2.12. Schemat różnicowy z węzłem i, j + 1 z węzłem i, j - 1 Równaniom tym odpowiada schemat węzłów przedstawiony na rys. 2.11. Równaniom tym odpowiada schemat węzłów przedstawiony na rys. 2.12. Przy wyborze współczynnika a należy kierować się: -stabilnością algorytmu obliczeniowego, - minimalizacją błędu powstałego w wyniku zastąpienia równania różniczkowego (2.125) -równaniami różnicowymi (2.140) lub (2.140a).

47 Metoda elementów skończonych (MES) może być przedstawiona jako dyskretna realizacja metody wariacyjnej Ritza lub może być wyprowadzona z metody residuów ważonych. W pierwszej kolejności metodę tę omówimy jako dyskretną realizację metody Ritza na płaszczyźnie xy w czterech następujących krokach (rys. 2.13): Rys. 2.13. Metoda elementów skończonych METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

48 1. Analizowaną płaszczyznę S dzielimy na elementy, w najprostszym przypadku trójkątne. Wielkość elementów jest tym mniejsza, im większe zmiany poszukiwanej funkcji występują w danym miejscu. W siatce elementów nie mogą występować przerwy, a elementy nie mogą zachodzić na siebie. 2. W elementach dobieramy funkcje aproksymujące poszukiwaną funkcję V tak, by była zachowana ciągłość między elementami. W przypadku trójkąta o trzech węzłach wewnątrz elementu poszukiwana funkcja spełnia równanie (2.142) o trzech współczynnikach 1, 2, 3. Funkcję aproksymującą poszukiwane rozwiązanie wewnątrz elementu wyrażamy w zależności od jej wartości w węzłach elementu (2.143) gdzie: - funkcje kształtu, które są równe jedynce we własnym węźle, a w pozostałej części obszaru są równe zeru,np. N 1 (x, y) =1 tylko w węźle 1 itp. W ten sposób wyznaczenie funkcji V (x, y) w całym obszarze S zostało sprowadzone do wyznaczenia V (x, y ) w węzłach siatki elementów, a wewnątrz elementów poszukiwana funkcja jest obliczana według wzoru (2.143). 3. Z równań (2.143) wewnątrz elementu e tworzymy globalny układ równań obejmujący wszystkie elementy. W procesie formowania globalnego układu równań należy uwzględnić warunki brzegowe. 4. Rozwiązujemy globalny układ równań wyznaczając wartości poszukiwanej funkcji we wszystkich węzłach siatki.

49 W każdym elemencie zakłada się postać szukanej funkcji V (x, y) wyrażoną wzorem(2.142). Równanie (2.143) w ogólnej macierzowej formie ma postać (2.144) Wzór (2.143) jest podobny do wzoru (2.120) z tą różnicą, że (2.143) dotyczy części obszaru (elementu), a (2.120) całości obszaru. We wzorze (2.143) występują funkcje kształtu N i poszukiwane funkcje V w węzłach (i, j,...) elementu. Minimalizacji funkcjonału dokonuje się względem wartości funkcji V we wszystkich węzłach obszaru S (łącznie z jego brzegiem ), tzn. względem wektora (2.145) gdzie r - całkowita liczba węzłów powstałych przy podziale obszaru S na elementy. Warunek konieczny istnienia minimum funkcjonału ma postać (2.146)

50 Zatem k - te równanie układu (2.146) przybiera postać (2.148) Całkowity funkcjonał jest sumą funkcjonałów dla poszczególnych elementów (2.147) Ze wzoru (2.148) wynika sposób zestawiania całego minimalizującego układu równań. Dla każdego elementu otrzymamy (2.149) lub w postaci rozwiniętej (2.149a) gdzie: [h] e - macierz sztywności (reluktancji, impedancji) elementu; {S} e - wektor obciążeń (wymuszeń) elementu; i, j,.... l - numery wierzchołków elementu (wielokąta).

51 Układ równań (2.146) przybiera więc postać (2.146a) (2.149b) Podział obszaru S na elementy skończone może być dokonany w różny sposób. Elementy mogą mieć różne kształty i wymiary. Rozpatrzymy podział na elementy trójkątne (rys.2.14). Wewnątrz elementu funkcja V jest określona wzorem (2.142). Rys. 2.14. Element trójkątny Rozwiązaniem minimalizującego układu równań (2.146) lub (2.146a) jest wektor {V} zawierający wartości szukanej funkcji w węzłach elementów.

52 Zgodnie z rys. 2.14 wartości funkcji V (x, y) w węzłach trójkąta spełniają następujący układ równań: (2.150) Po rozwiązaniu układu równań (2.150) otrzymamy współczynniki (2.151) gdzie - pole trójkąta i j k, przy czym (2.152) (2.153)

53 Pozostałe współczynniki a j, b j,... wyznaczamy przez cykliczne przestawienie indeksów i, j, k, np. (2.154) Korzystając z powyższych przekształceń, wyrażenie (2.144) zapiszemy w postaci (2.155) gdzie: (2.156) W całym obszarze S + zagadnienie sprowadza się do znalezienia wektora {V} o wymiarach. Sposób postępowania przedstawimy dla niżej podanego zagadnienia. Dany jest płaski obszar S ograniczony brzegiem. W obszarze S + funkcja V(x, y) spełnia niejednorodne równanie Helmholtza (2.7) (2.157) gdzie: p x, p y - współczynniki materiałowe. Równanie (2.7) wynika z równania (2.157), jeżeli p x = p y.. Równanie (2.157) umożliwia uwzględnienie: anizotropii ( p x p y ), niejednorodności [p x (x, y), p y (x, y)] i nieliniowości środowiska [p x (V), p y (V)], Jeśli na brzegu jest spełniony niejednorodny warunek Neumanna (2.14), to rozwiązanie równania (2.157) przy spełnieniu warunku (2.14) jest równoważne minimalizacji następującego funkcjonału:

54 W przypadku warunku Dirichleta (jednorodnego lub niejednorodnego) całka po brzegu jest równa zeru. Spełnienie tego warunku musi być uwzględnione podczas formułowania układu równań algebraicznych względem potencjałów w węzłach siatki. Metoda elementów skończonych może być też przedstawiona jako szczególny przypadek metody residuów ważonych. W tym celu do wzoru (2.109) należy podstawić funkcję wagi (2.107) i błąd (2.101 ) rozwiązania. Po wykonaniu tych działań otrzymamy Na podstawie wzoru (2.159) tworzymy układ równań algebraicznych, który składa się z liczby równań równej liczbie węzłów siatki elementów skończonych Metoda elementów skończonych jest powszechnie stosowana w obliczeniach pól elektrycznych, magnetycznych i elektromagnetycznych w urządzeniach technicznych o skomplikowanych kształtach. Daje ona dobre rezultaty w przypadku obliczeń w obszarach ograniczonych, zawierających. materiały nieliniowe i niejednorodne oraz anizotropowe. Istnieje wiele programów wykorzystujących metodę elementów skończonych.

55 Metoda elementów brzegowych (MEB) jest numeryczną realizacją metody całek brzegowych (p. 2.6) z zastosowaniem równań (2.72) i (2.75). W metodzie elementów- skończonych (MES) jest dyskretyzowany (dzielony na elementy skończone) obszar, w którym są wykonywane obliczenia, natomiast w MEB - jego brzeg. Pokazano to na rys. 2.13 i 2.15. Rys. 2.I5. Metoda elementów brzegowych Rys.. 2.16. Element zerowego rzędu Rys. 2.17. Element pierwszego rzędu (a) i element drugiego rzędu METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH Najprostszym elementem skończonym jest trójkąt. a najprostszym elementem brzegowym jest element zerowego rzędu (rys. 2.16) z jednym węzłem umieszczonym w środku elementu. W tym przypadku wartości V i są określone w węźle i są stałe na całej długości elementu. Na rysunku 2.17a przedstawiono element pierwszego rzędu (dwuwęzłowy), a na rys. 2.17b element drugiego rzędu (trójwęzłowy) a) b)