Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)
Nazwa szkoły: VIII Liceum Ogólnokształcące im. A. Mickiewicza ID grupy: 97_94_MF_G1 Opiekun: Wiesława Wolniak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: 2011/2012

3 LICZBY PIERWSZE Liczba pierwsza – liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, itp. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem . Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Z podanych definicji wynika, że liczby i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze w zadanym przedziale liczbowym można posłużyć się algorytmem sito Eratostenesa: jeśli liczba naturalna N większa od 1 nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych nie większych od pierwiastka z N, to N jest liczbą pierwszą. Sito Eratostenesa - metoda znajdowania liczb pierwszych Natomiast metoda, która daje odpowiedź na pytanie czy dana liczba naturalna jest pierwsza, czy nie nosi nazwę testu pierwszości. Wśród takich metod praktyczne zastosowanie mają testy probabilistyczne, to znaczy takie, które pozwalają określić pierwszość liczby z dostatecznie dużym prawdopodobieństwem np: test pierwszości Millera-Rabina, test pierwszości Solovaya-Strassena. Liczby pierwsze były badane od czasów starożytnych. Euklides poświęcił im księgę w Elementach. Zaprezentował w nich m.in. algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika oraz udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. W 240 p.n.e. Eratostenes użył algorytmu nazwanego sitem Eratostenesa do szybkiego znajdowania liczb pierwszych.

4 Ile jest liczb pierwszych?
Załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych, dajmy na to n, rozumował Euklides . Oznaczmy je następująco: p1, p2, p3 ,..., pn Rozważmy, zatem liczbę: W= p1 *p2 *p3 *...* pn +1 Żadna z liczb p1, p2, p3 ,... pn nie jest dzielnikiem liczby W ( bo jest dzielnikiem liczby W-1). Zatem muszą istnieć jeszcze inne liczby pierwsze będące dzielnikami liczby W (być może samo W jest pierwsze), co oczywiście przeczy temu, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Wniosek: Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Inny dowód twierdzenia, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele znajdziecie na matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1901.pdf

5 Eratostenes Eratostenes z Cyreny (Kyreny) (ok p.n.e.), zwany Beta (Drugi), sam zwał się Filologiem. Znakomity uczony i literat związany z Biblioteką Aleksandryjską i Muzeum. Twórca geografii fizycznej i matematycznej (szereg skomplikowanych obliczeń m.in. ustalenie długości południka ziemskiego, wyznaczenia kąta ekliptyki do równika niebieskiego). Stworzył nową metodę pomiarów szerokości geograficznej na podstawie danych astronomicznych. Twierdził, że płynąc na zachód od Gibraltaru, można dotrzeć do Indii. Podstawowe dzieła: Geographica (zachowane we fragmentach), Calasterismi - opis konstelacji, Peri komodias, gdzie zajął się badaniami chronologicznymi dotyczącymi Homera i ustalił datę zdobycia Troi na 1184 p.n.e. (bardzo bliskie prawdy). Pisał też poezje. Podał sposób znajdowania liczb pierwszych – sito Eratostenesa. Przejął po Apolloniosie z Rodos zarządzanie Biblioteką Aleksandryjską. W wieku 80 lat, nie mogąc pogodzić się z utratą wzroku, zagłodził się na śmierć. 5

6 Sito Eratostenesa Znajdowanie liczb pierwszych – program napisany w Pascalu program sito eratostenesa var tablica : array[2..100] of boolean; i, b, c : integer; n : int64; begin n := 100; for i := 2 to n do tablica[i] := false; i := 1; repeat i := i + 1; b := 2 * i; repeat tablica[b] := true; b := b + i; until (b > n); until i > sqrt(n); for i := 2 to n do begin if (not tablica[i]) then write(i, ' '); end; end.

7 Ciekawostki o liczbach pierwszych:
Liczba pierwsza (odkryta 1 czerwca 1999 roku) ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie Jest ona 38 z kolei tzw. liczbą Mersenne'a. Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 43 liczba Mersenne'a −1 i liczy sobie cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 15 grudnia 2005 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS. Największa liczba pierwsza ( cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a: × Liczba ta jest jednocześnie piątą największą znaną liczbą pierwszą. Została odkryta w ramach projektu Seventeen or Bust. Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: ( ) / 17 znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.

8 Ciekawostki o liczbach pierwszych:
Liczba złożona z 23 jedynek jest pierwsza. Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, , , W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, i Liczba zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π , jest pierwsza. Liczba nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: , , 73939, 7393, 739, 73, 7.

9 Liczby bliźniacze Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych: jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone". Ciekawostka: Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb ( ˇ , ˇ ).

10 Liczby zaprzyjaźnione
Liczby zaprzyjaźnione to dwie liczby naturalne, gdzie każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby. Niech:          będzie liczbą naturalną,                         ,                      ,                          Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to         i       Gdy zapytano Pitagorasa: Co to jest przyjaciel? - odpowiedział: „ Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284”. Pierwsza para to 220 i 284. D284 = {1, 2, 4, 71, 142, 284} D220 = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220} 220 = 284 = W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione liczby wygasła, i nikt nie korzysta z przykładu średniowiecznego księcia, którego liczbowa wartość imienia wynosiła 284 i który pozostał do śmierci kawalerem, bo nie mógł znaleźć narzeczonej, której imię miałoby wartość 220. Pitagoras podał wzory generujące liczby zaprzyjaźnione

11 Liczba doskonała Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128, , i W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą. Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest ·( ) – liczy ona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od (wynik z roku 1991). Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

12 Euklides Euklides z Aleksandrii, (ok ok. 300 p.n.e.), grecki matematyk i fizyk, autor dzieła Elementy geometrii (obowiązujący przez stulecia podręcznik). Usystematyzował całość ówczesnej wiedzy matematycznej. Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e: W swych pracach z optyki sformułował prawo załamania i zasadę prostoliniowego rozchodzenia się światła. Jest również autorem dzieła z astronomii i teorii muzyki.

13 Liczby doskonałe II rodzaju
Liczbą doskonałą drugiego rodzaju nazywamy taką liczbę naturalną, która jest równa iloczynowi swoich dzielników właściwych (mniejszych od niej). Przykłady liczb doskonałych 2 rodzaju: liczba 10 jest taką liczbą bo 10=1*2*5 (1, 2, 5 jej dzielniki bez niej samej) liczba 27 jest liczbą doskonałą drugiego rodzaju: 27=1*3*9 (1, 3, 9 jej dzielniki bez niej samej) 13

14 Liczby Mersenne’a Liczby Mersenne'a – liczby postaci M(n) := 2n – 1 , gdzie jest liczbą naturalną. Niektóre definicje wymagają ponadto, by liczba była liczbą pierwszą. Liczby Mersenne'a zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Marina Mersenne'a, który opublikował tablicę liczb pierwszych tego typu – jak się później okazało, błędną. Test Lucasa-Lehmera Pierwszość liczb Mersenne'a sprawdza się za pomocą testu Lucasa-Lehmera: Przyjmijmy S1 = 4 i następnie Sk = Sk−12 −2 Liczba Mp jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy: Sp−1 ≡ 0 mod Mp. Przykład zastosowania testu Lucasa: Rozważmy M7 = 127 S2 = 42 −2 = 14 S3 = 142 −2 = 194 ≡ 67 (mod 127) S4 ≡ 672 −2 = 4487 ≡ 42 (mod 127) S5 ≡ 422 −2 = 1762 ≡ 111 (mod 127) S6 ≡ 1112 −2 = ≡ 0 (mod 127) liczba M7 = 27−1 = 127 jest liczbą pierwszą. 14

15 Marin Mersenne Marin Mersenne (ur. 8 września 1588 w pobliżu Oizé, zm. 1 września 1648 w Paryżu) – francuski minimita, teolog, filozof, matematyk i teoretyk muzyki. Nauki pobierał w Le Mans i sławnym kolegium jezuickim w La Flèche, gdzie zawarł wieloletnią przyjaźń z Kartezjuszem, który także był uczniem tej szkoły. Do nowicjatu minorytów wstąpił w 1611 w podparyskiej miejscowości Nigeon. W latach 1614–1620 był profesorem filozofii w Nevers. Prowadził ożywioną korespondencję naukową, m.in. z Fermatem i Pascalem a zwłaszcza ze swoim przyjacielem Kartezjuszem. Potępiał poglądy Różokrzyżowców przeciwstawiając się "nauce tajemnic i sekretów" na rzecz nieskrępowanej wymiany poglądów pomiędzy uczonymi. Postulował aby opracować encyklopedię służącą wszystkim pokoleniom, W dziele Cogniata Physico-Matematica z 1626 roku napisał, że liczby postaci (nazywane dziś liczbami Mersenne'a) są pierwsze dla n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Dopiero później wykazano, że twierdzenie to jest nieprawdziwe dla dla n=67 i 257. Jeżeli Mersenne miał na myśli twierdzenie: liczba jest pierwsza dla n będącego liczbą pierwszą, to nie uwzględnił on liczb n=61, 89, 107. Interesował się także optyką, mechaniką i akustyką. Jego nazwiskiem nazwano krater Mersenius znajdujący się na Księżycu. 15

16 Źródła

17