Statystyczne parametry akcji

Prezentacja na temat: "Statystyczne parametry akcji"— Zapis prezentacji:

1 Statystyczne parametry akcji
Średnie, miary rozproszenia, miary współzależności

2 Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna
Di - dywidenda wypłaconą w i – tym okresie, Pi, Pi-1 - ceny akcji pod koniec i na początku i –tego okresu. stopa zysku w i - tym okresie

3 Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna
Data Cena akcji Dywidenda Przyrost ceny Stopa zysku 1991 125 2,00 1,6% 1992 112 3,00 -13 -8,9% 1993 118 3,50 6 8,1% 1994 145 4,20 27 21,5% 1995 110 2,50 -35 -29,5% 1996 95 -15 -13,7% 1997 2,45 17 17,4% 1998 137 3,55 25 20,8% 1999 152 15 12,6% 2000 160 8 7,2% 2001 173 2,75 13 9,1% 2002 156 -17 -9,6%

4 Średnia stopa zwrotu z akcji Metoda historyczna
Cena akcji Dywidenda Przyrost ceny Stopa zysku 1991 125 2,00 w0 1,6% 1992 112 3,00 -13 -8,9% 1993 118 3,50 6 8,1% 1994 145 4,20 27 21,5% 1995 110 2,50 -35 -29,5% 1996 95 -15 -13,7% 1997 2,45 17 17,4% 1998 137 3,55 25 20,8% 1999 152 15 12,6% 2000 160 8 7,2% 2001 173 2,75 13 9,1% 2002 156 -17 -9,6%

5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej (Miara tendencji centralnej)
Def. Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Wartością oczekiwaną EX zmiennej losowej X przyjmującej n wartości x1, ..., xn nazywamy liczbę

6 Średnia stopa zwrotu z akcji Prognozowanie ekspertowe
Stan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A pi ri Bessa 0,1 -20% Trend spadkowy 0,3 0% Trend boczny 0,2 5% Trend wzrostowy 10% Hossa 30%

7 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Własności
(i) E (X) = a jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość a (ii) E (aX) = a E(X) dla dowolnej a є R (iii) E(X +Y) = E(X) + E(Y) dla dowolnych zmiennych losowych X, Y (iv) E(X + a) = E(X) + a dla dowolnej liczby rzeczywistej a

8 Wariancja zmiennej losowej (Miara rozproszenia wyników)
Def.. Wariancją zmiennej losowej X przyjmującej n wartości nazywamy liczbę

9 Ryzyko papieru wartościowego
Stan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A Stopa zwrotu akcji B Bessa 0,1 - 20 % 0 % Trend spadkowy 0,3 2 % Trend boczny 0,2 5 % Trend wzrostowy 10 % 8 %

10 Ryzyko papieru wartościowego
Oba typy akcji posiadają tę samą oczekiwaną stopę zwrotu, jednak akcje typu B charakteryzują się mniejszym rozproszeniem wyników, są zatem „bezpieczniejsze”. Dla akcji A, oprócz dużej stopy zwrotu (30 %) może zdarzyć się duża strata (- 20%)

11 Ryzyko papieru wartościowego Metoda ekspertowa
Stan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A Składniki wariancji pi ri  (ri-RA)2pi Bessa 0,1 -20% 0,00625 Trend spadkowy 0,3 0% 0,00075 Trend boczny 0,2 5% Trend wzrostowy 10% Hossa 30% wariancja 0,014

12 Ryzyko papieru wartościowego. Metoda historyczna

13 Ryzyko papieru wartościowego. Metoda historyczna

14 Zmienność ceny akcji

15 Wariancja ceny akcji. Met. Hist

16 Ryzyko papieru wartościowego Odchylenie standardowe
Wymiar odchylenia standardowego jest taki sam, jak wielkości mierzonej. Jeżeli zmienna losowa jest wyrażoną w procentach stopą zwrotu, odchylenie std. będzie miało wymiar procentowy Odchylenie jest miarą rozproszenia stopy zwrotu z akcji

17 Wariancja zmiennej losowej
Stwierdzenie. Wariancja zmiennej losowej X może być obliczona ze wzoru Var X = E(X2) – (E(X))2 Dowód. E[(X-E(X))2] = E(X2 – 2XE(X) + (E(X))2) =E(X2) –2 E(XE(X)) + E(E(X))2 = E(X2) – 2 (E(X))2 + (E(X))2 = =E(X2) – (E(X))2.

18 Wariancja zmiennej losowej
Wniosek ze stwierdzenia Wzór na wariancje może przybrać postać:

19 Wariancja. Własności Var X > 0 jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość, to Var X = 0 Var (aX) = a2 VarX (dla dowolnej liczby rzeczywistej a ) (iv) Var (a + X) = VarX

20 Niezależność zmiennych losowych
Def. 8. Zmienne X, Y o rozkładzie dyskretnym, przyjmujące odpowiednio n i m wartości, nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, gdy spełniony jest warunek

21 Niezależność zmiennych losowych
Twierdzenie 2. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(XY) = E(X) E(Y) Dowód.

22 Kowariancja zmiennych losowych Miara współzależności
Def. 9. Kowariancją zmiennych losowych X, Y przyjmujących odpowiednio n i m różnych wartości nazywamy liczbę

23 Kowariancja zmiennych losowych
Stwierdzenie. Kowariancję zmiennych losowych X, Y można przedstawić w postaci

24 Kowariancja zmiennych losowych
Dowód E[(X-EX)(Y-EY)] = E[(XY - X EY – Y EX + EX EY)] = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) + E(EX EY) = E(XY) – EY EX – EX EY + EX EY = E(XY) – EY EX.

25 Kowariancja zmiennych losowych
Def. Jeśli Cov (X,Y) = 0, to zmienne X,Y nazywamy nieskorelowanymi, w przeciwnym wypadku mówimy, że zmienne są skorelowane. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane. Dowód wynika z ostatniego stwierdzenia oraz wzoru dla niezależnych zmiennych losowych E(XY) = E(X) E(Y)

26 Własności kowariancji
a - dowolna liczba rzeczywista (i) Cov(X,Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X,X) = Var X (iii) Cov(aX,Y) = a Cov(X,Y) (iv)      Cov(a+X,Y) = Cov(X,Y) (v)     Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) Wniosek Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

27 Kowariancja. Szczególny przypadek
Jeżeli każda ze zmiennych losowych X,Y przyjmuje n wartości oraz

28 Kowariancja papierów wartościowych Prognozowanie ekspertowe

29 Kowariancja papierów wartościowych Prognozowanie ekspertowe

30 Kowariancja papierów wartościowych dla historycznych stóp zwrotu z n okresów

31 Kowariancja papierów wartościowych dla historycznych stóp zwrotu
Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych Drugi wzór – dla małej liczby danych

32 Kowariancja papierów wartościowych dla historycznych stóp zwrotu
Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych Drugi wzór – dla małej liczby danych

33 Korelacja Współczynnik korelacji
Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbę

34 Współczynnik korelacji
Współczynnik korelacji będziemy oznaczać także symbolem Cor(X,Y)

35 Korelacja, własności zakładamy dodatnie odchyl. standardowe
Cor (X,X) = 1,              Cor (X,Y) = Cor (Y,X)           Cor (aX,X) = 1, gdy a > 0 Cor (aX,X) = -1, gdy a < 0         Cor (aX,Y) = Cor (X,Y), gdy a > 0 Cor (aX,Y) = - Cor (X,Y), gdy a < 0       Cor (a + X,Y) = Cor (X,Y)     gdy a różne od zera Cor (aX,aY) = Cor (X,Y),

36 Korelacja papierów wartościowych
Współczynnik korelacji stóp zwrotu papierów wartościowych to liczba

37 Korelacja papierów wartościowych
Mówimy, że stopy zwrotu akcji A i akcji B są dodatnio skorelowane, gdy Cor (A,B ) > 0 ujemnie skorelowane , gdy Cor(A,B ) < 0, nieskorelowane , gdy Cor (A,B ) = 0, doskonale skorelowane, gdy Cor(A,B )= 1, doskonale ujemnie skorelowane , gdy Cor (A,B ) = - 1

38 Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych
Twierdzenie Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń, to Var (X + Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y) Wniosek Dla kombinacji liniowej dwóch zmiennych losowych prawdziwy jest wzór Var (aX + bY) = a2 Var X + b2 Var Y+ 2ab Cov (X,Y)

39 Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych
Dowód twierdzenia Var (X + Y) = E(X + Y)2 – [E(X + Y)]2 = E(X2 + 2XY + Y2) – [E(X) + E(Y)]2 = E(X2) + E(2XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = (E(X2) – [E(X)]2 ) + (E(Y2) – [E(Y)]2 )+ +2[E(XY)- E(X)E(Y)] = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)

40 Wariancja sumy trzech zmiennych losowych
Wniosek . Dla sumy trzech zmiennych losowych mamy Var (X +Y+Z) = Var X + Var Y+ VarZ + 2 Cov (X,Y) + 2 Cov (X,Z) + 2 Cov (Y,Z) (wynika z tw. o wariancji sumy oraz własności (v) dla kowariancji). Wniosek. Dla kombinacji liniowej trzech zmiennych losowych mamy Var (aX + bY + cZ) = a2 Var X + b2 Var Y + c2 VarZ + +2abCov (X,Y) + 2ac Cov (X,Z) + + 2bc Cov (Y,Z)