Wstęp do optyki współczesnej

Wstęp do optyki współczesnej
Krystyna Kolwas Instytut Fizyki PAN, ON2.2 Budynek VIII, pokój 4.

Wstęp do optyki współczesnej
Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona-Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa, korpuskularno-falowa teoria światła

Fale Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna
Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaska Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne Fotony Spin Ciśnienie światła; wiatr słoneczny Chłodzenie atomów Zadania

Fale podłużne a fale poprzeczne
zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. Fala powierzchniowa na wodzie kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) poprzeczne : drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia się (np. fala dźwiękowa, fale trzęsień Ziemi, fale p) podłużne : Poprzeczna podłużna

zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) poprzeczne : drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia się (np. fala dźwiękowa, fale trzęsień Ziemi, fale p) podłużne : Poprzeczna podłużna

zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) poprzeczne : drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p) podłużne : Poprzeczna podłużna

Przykłady fal (modelowanie)
na siatce 2D: fale podłużna: fala poprzeczna fala płaska: fala kołowa

Przykłady fal (modelowanie)
Impuls wędrujący wzdłuż struny zamocowanej z dwóch stron Fala stojąca Paczka falowa (suma wielu fal) (mechanika kwantowa!)

Przykłady fal: * Fale morskie czy oceaniczne: zaburzenie propagujace się w wodzie * Fale elektromagnetyczne: mogą propagować się w próżni (c= m/s) * Fale dźwiękowe — fale mechaniczne propagujace się w gazach, cieczach i ciałach stałych * Fale sejsmiczne (3 typy: S, P i L) * Fale grawitacyjne – nieliniowe fluktuacje w krzywiźnie czasoprzestrzeni, przewidziane w Ogólnej Teorii Względności, nie wykryte w doświadczeniach * Wewnętrzne fale w wirujących cieczach (efekt Coriolisa)

Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe funkcji f :
Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal wody, wibracje struny). Zastosowania: akustyka, elektromagnetyzm, dynamika cieczy… The wave equation is an important second-order linear partial differential equation that describes the propagation of a variety of waves, such as sound waves, light waves and water waves. It arises in fields such as acoustics, electromagnetics, and fluid dynamics. Historically, the problem of a vibrating string such as that of a musical instrument was studied by Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, and Joseph-Louis Lagrange. Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej) są rozwiązaniem równania falowego z v = c. Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiązanie:
gdzie f (u) może być dowolną funkcją podwójnie różniczkowalną.

Fale: parametryzacja A
Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe: A E(x,t) = E0 cos[(k x – w t ) – q ] A - amplituda q - faza początkowa (faza absolutna)  = 0  = 3/2 p

Fale: parametryzacja A
Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe: A E(x,t) = E0 cos[(k x – w t ) – q ] A - amplituda q - faza początkowa Oscylacje w czasie i przestrzeni p

Zmiana  w ośrodku niejednorodnym
Długość fali E(x,t) = A cos[(k x – w t ) – q ] Fala harmoniczna: długość fali wektor falowy: k = 2/ liczba falowa: 1/ częstość kołowa: =2/ częstość: =1/ okres fali Amplituda  ulega skróceniu w ośrodku o wyższym n Amplituda  w pewnym momencie czasu A, k, omega są stałe w czasie i przestrzeni Zmiana  w ośrodku niejednorodnym z tłumieniem

Fala harmoniczna E(x,t) = A cos[(k x – w t ) – q ]
długość fali wektor falowy: k = 2/ liczba falowa: 1/ częstość kołowa: =2/ częstość: =1/ okres fali Amplituda wielkości przestrzenne: Relacja dyspersji: w próżni: A, k, omega są stałe w czasie i przestrzeni wielkości czasowe:

Prędkość fazowa fali Prędkość fazowa:
długość fali Z jaką prędkością przemieszcza się fala? Prędkość fazowa: prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie: vp =  / T , lub: vp =  / k W ośrodkach prędkość fazowa fali może być różna dla różnych częstotliwości. Mówi się wówczas, że dla tych fal zachodzi dyspersja; wówczas:  = (k). Wówczas przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych  opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa

Prędkość fazowa fali harmonicznej
długość fali Z jaką prędkością przemieszcza się fala? Prędkość fazowa: prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie : vp =  / T , lub: vp =  / k W ośrodkach prędkość fazowa fali może być różna dla różnych częstotliwości. Mówi się wówczas, że dla tych fal zachodzi dyspersja; wówczas:  = (k). Wówczas przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych  opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa This is the speed at which the phase of any one frequency component of the wave travels. Nie wystarczy, by opisać fale bardziej złożone!

Prędkość fazowa fali harmonicznej
-nie wystarczy, by opisać fale bardziej złożone! długość fali prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie: vp =  / T , lub: vp =  / k Na przykład: W ośrodkach dyspersyjnych fale o różnych różnych częstotliwościach rozchodzą się z różnymi:  = (k). Przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych  opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa

Taka definicja jest przydatna dla naprawdę skomplikowanych fal.
Prędkość grupowa wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych. Np. E(t) = A cos(j), j = k x – w t – q gdzie faza fali: j = j(x,y,z,t) (w przeciwieństwie do fazy początkowej ), zmienia się się w czasie i przestrzeni. Zmiany fazy w czasie: w = – ¶j /¶t Zmiany fazy w przestrzeni: k = ¶j /¶x W języku fazy prędkość grupowa: W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła. Prędkość fazowa światła (fali elektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni. W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. W szczególności predkośc grupowa może być większa od prędkości światła w próżni (osrodek o anomalnej dyspersji). Większa wartość prędkości fazowej od prędkości światła nie stoi w sprzeczności z szczególną teorią względności gdyż faza fali nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali a tym samym i przenoszenia sygnałów. Taka definicja jest przydatna dla naprawdę skomplikowanych fal. Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa.

Prędkość grupowa vg vp vg º dw /dk
Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa jest prędkością obwiedni fali nośnej. Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową. vg vp vg º dw /dk

vp = 2vg Czerwone punkty poruszają się z prędkością fazową fali vp ,
Zielone – z predkością grupową vg vp = 2vg

Prędkość grupowa fal w ośrodkach z dyspersją: n()
vg º dw /dk Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w ośrodku, jak i poza nim, ale: k = k0 n = k0 jest wektorem falowym w próżni, n() jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej niezależnej: Mamy więc: k = w n(w) / c0, pochodna k: dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0 vg = c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw ) v =  / k = c0 /n, Ostatecznie: Jeśli n rośnie wraz z w, dn/dw > 0: vg < vf vg = c0 / (n + w dn/dw)

Prędkość grupowa fal w ośrodkach z dyspersją: n()
vg º dw /dk Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w ośrodku, jak i poza nim, ale: k = k0 n = k0 jest wektorem falowym w próżni, n() jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej niezależnej: Mamy więc: k = w n(w) / c0, pochodna k: dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0 vg = c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw ) v =  / k = c0 /n, Ostatecznie: Jeśli n rośnie wraz z w, dn/dw > 0: vg < vf - prędkość światła w próżni zmniejszona przez wsp. załamania vg = c0 / (n + w dn/dw)

Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka: n()
vg º dw /dk Częstość fali harmonicznej w jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i poza nim, ale k = k0 n, gdzie k0 jest wektorem falowym w próżni i n jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o w jako o zmiennej niezależnej: Ponieważ: k = w n(w) / c0, pochodna k: dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0 vg = c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw ) v =  / k = c0 /n, Ostatecznie: vg = c0 / (n + w dn/dw) vg = v Jeśli n rośnie wraz z w, dn/dw > 0: vg < vf Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, gdy dn/dw = 0, (brak dyspersji, tak jak np. w próżni).

W ośrodku dyspersyjnym:
fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. Każda ze składowych harmonicznych rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową (falową): vp =  / k, natomiast paczka fal jako całość przesuwa się z prędkością vg vp. Falę taką opisać możemy jako falę harmoniczną o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie; prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji to prędkość grupowa: vg = d/dk . W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła. Prędkość fazowa światła (fali elektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni. W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. W szczególności predkośc grupowa może być większa od prędkości światła w próżni (osrodek o anomalnej dyspersji). Większa wartość prędkości fazowej od prędkości światła nie stoi w sprzeczności z szczególną teorią względności gdyż faza fali nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali a tym samym i przenoszenia sygnałów. Fala będąca paczką fal zawierających częstości z pewnego przedziału będzie więc zmieniać swój kształt. Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa.

W ośrodku dyspersyjnym:
fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. Fala będąca paczką fal zawierajacych częstości z pewnego przedziału będzie więc zmieniać swój kształt. Każda ze składowych harmonicznych rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową (falową): vp =  / k, natomiast paczka fal jako całość przesuwa się z prędkością vg vp. Falę taką opisać możemy jako falę harmoniczną o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie; prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji to prędkość grupowa: vg = d/dk . W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła. Prędkość fazowa światła (fali elektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni. W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. W szczególności predkośc grupowa może być większa od prędkości światła w próżni (osrodek o anomalnej dyspersji). Większa wartość prędkości fazowej od prędkości światła nie stoi w sprzeczności z szczególną teorią względności gdyż faza fali nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali a tym samym i przenoszenia sygnałów. Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa.

Dyspersja prędkości grupowej a impulsy światła
Impuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości). Prędkość grupowa będzie różna dla różnych długości światła. vgr(żółta) < vgr(czerwona) czasowy początek impulsu czasowy koniec impulsu Ponieważ ultrakrótkie impulsy laserowe zawierają szeroki zakres długości fal, dyspersja prędkości grupowej stanowi poważne wyzwanie, które nie istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW).

Dyspersja prędkości grupowej jest szkodliwa w układach telekomunikacyjnych:
Ciąg impulsów wchodzących Dyspersja sprawia, że impulsy rozciągają się w czasie. Wiele kilometrów światłowodu Dyspersja narzuca długości fal, dla których transmisja systemów telekomunikacyjnych jest możliwa oraz stawia wysokie wymagania na parametry światłowodów (kompensacja dyspersji). Ciąg impulsów wychodzących

Czy można: zatrzymać światło? przyspieszyć światło?!?

Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka
Prędkość grupowa jest mniejsza niż prędkość fazowa w obszarach częstości, dla których dany ośrodek nie absorbuje światła. W szkle światło porusza się z prędkościa ok. 60% predkości c0. vg = c0 / (n + w dn/dw) W obszarach „normalnej” dyspersji ośrodka, dn/dw jest dodatnie. Tak więc vg < c0 dla tych częstości. W szkle światło porusza się z prędkościa ok.60% predkości c0. Dyspersja normalna Obszary dyspersji anomalnej Współczynnik załamania n The speed limit for light is 186,000 miles per second, but that doesn't mean it can't travel slower than that. Light moves through glass at about 60 percent of its maximum.

Obszary dyspersji anomalnej
Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji? vg = c0 / (n + w dn/dw) dn/dw jest ujemn. Tak więc vg może przewyższy c0 dla tych częstości! Prędkość grupowa może przekroczyć c w ośrodku w obszarze anomalnej dyspersji !!! Dyspersja normalna Obszary dyspersji anomalnej Współczynnik załamania n vg < c0 Light in a vacuum travels at approximately 186,000 miles per second, but a popular misconception is that, according to Einstein's special theory of relativity, nothing in the universe can travel faster than this speed. This seeming paradox can be resolved because a pulse of light is actually made up of many separate frequency components, each of which moves at their own velocities. This is known as the pulse's phase velocity. If all the frequency components have the same phase velocity, then the overall pulse will also appear to move at that velocity. However, if the components have different phase velocities, then the pulse's overall velocity will depend on the relationships between the velocities of the separate components. If the velocities differ, the pulse is said to be moving at the group velocity. By tweaking the relationship between phase velocities, it's possible to adjust the group velocity and create the illusion that parts of the pulse are traveling faster than the speed of light. One area where such an advance could be enormously beneficial is in the telecommunications industry. Although information can be channeled through fiber optics at the speed of light, it can't be processed at this speed because with current technologies, light signals must be transformed into much slower electrical signals before they are useful. Ale w rejonach tych absorpcja jest duża, a dn/dw < 0 w wąskich przedziałach częstości (schodek), tak wiec osiągniecie vg > c0 nie jest trywialne (np. w doświadczeniach z impulsami, które zawierają szerokie spektrum częstości)

Czy można pokonać prędkość światła?
Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c0, musimy dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersji dn/dw w dostatecznie dużym obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome, a absorpcja powinna być jak najmniejsza. Trick: przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie impulsem światła laserowego. Impuls świetlny „napompuje” układ stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji; odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu: Obszar przydatny Nachylenie zbyt małe zbyt duże Współczynnik załamania Współczynnik absorpcji Further Readings: 2000. Faster than a speeding light wave. Physical Review Focus (May 19). Available at Ball, P Physics: Faster than light. Nature Science Update (May 30). Available at Cowen, R Grand illusion: Moving faster than light. Science News 146(Sept. 3):150. Glanz, J Faster than light, maybe, but not back to the future. New York Times (May 30):D1. The scientific statement "nothing with mass can travel faster than the speed of light" is an entirely different belief, one that has yet to be proven wrong. The NEC experiment caused a pulse of light, a group of waves with no mass, to go faster than light. Peterson, I Faster-than-light time tunnels for photons. Science News 146(July 2):6. Light pulses flout sacrosanct speed limit Peter Weiss Five years ago, a wave of discontent swept away the 55-mile-per-hour U.S. speed limit. Nowadays, some physicists are taking a hard look at the 670-million-miles-per-hour speed limit of light in a vacuum, or c. Albert Einstein posted this limit in his 1905 theory of special relativity. Although popular lore and some physics textbooks still contend that nothing races faster than c, experiments going back decades have repeatedly shown that light can beat that speed under certain conditions. A few scientists argue that those experiments hint that Einstein was wrong. Two new experiments reveal dramatic additional evidence of superluminal velocity but make no clear case for repealing Einstein's law, scientists say. In one study, conducted in Italy, scientists propagated superluminal microwaves through air by bouncing them off a mirror. In the other, led by a New Jersey researcher, a laser pulse approaching a gas-filled cell's entry window materialized at the cell's exit glass before even reaching the cell. Although superluminal phenomena might someday help speed up computers�an avenue being explored by Raymond Y. Chiao of the University of California, Berkeley�the main excitement around these experiments stems from basic physics implications. At stake is the idea that a cause must precede an effect. If experimenters found that information can go somewhere faster than c, "you would get into nonsensical types of predictions, like going back in time and shooting your grandmother," explains Peter W. Milonni of Los Alamos (N.M.) National Laboratory. Günter Nimtz of the University of Cologne in Germany contends that information can indeed travel faster than c, casting doubts on both causality and special relativity. In 1995, for example, his research team encoded Mozart's 40th symphony in a microwave beam traveling at 4.7 times c to a receiver. However, Aephraim M. Steinberg of the University of Toronto argues that aside from Nimtz and a few other "vocal dissenters," mainstream physicists agree that such experiments "do not support any idea of causality violation." One challenge, however, is to exactly define information, or a signal. Experiments dating back to the early 1990s by Nimtz, Steinberg, Chiao, and others have shown superluminal tunneling of optical photons through mirrors (SN: 7/2/94, p. 6) and of microwaves through so-called forbidden zones of waveguides. The Italian scientists, led by Anedio Ranfagni of the Italian National Research Council in Florence, devised their experiment so that reflected microwaves in open air overlap and interfere as the waves speed away from the mirror. Constructive interference creates a moving pulse along the axis of the apparatus whose speed varies according to the configuration of the experiment. The researchers report in the May 22 Physical Review Letters that within 1.4 meters of the mirror, they clocked such pulses at up to 125 percent of c. Beyond that distance, the effect dies out. Because electromagnetic waves radiate through air much as they do in a vacuum, Chiao says, the "spectacular work" by the Italians demonstrates that even in a vacuum, light could outpace c. In the laser experiment by Lijun Wang of NEC Research Institute in Princeton, N.J., and his colleagues, the superluminal pulse, which was preceded by a "pump" pulse to excite the amplifier, has a negative velocity. That means that it "arrives at a distant point 'earlier' than it even arrives at the input," explains Steinberg, who is acquainted with the unpublished study but is not a coauthor. This isn't magic, he says. Rather, amplifiers, like the cell in the experiment, respond to certain frequencies by building a replica of the incoming pulse at the output. In this case, the time a pulse with speed c would take to cross the cell, multiplied by 300, is the head start the outgoing pulse gains over the incoming one. What's more, any rounded pulse contains a central peak and tapering wings extending far out behind and ahead. The wings contain all the information needed to reconstruct the peak, so as soon as the forward wing of the incoming laser pulse arrives, the cell spits out a full-scale version of the peak. Although Wang declined to discuss the study, which was submitted to Nature, some of its results were described May 30 in The New York Times. References: Mugnai, D., A. Ranfagni, and R. Ruggeri Observation of superliminal behaviors in wave propagation. Physical Review Letters 84(May 22): Abstract available at L. J. Wang, A. Kuzmich, and A. Dogariu Gain-assisted superluminal light propagation. Nature 406(July 20): Abstract. 2

Prędkość grupowa (vg) a prędkość fazowa (v)

Slow light http://en.wikipedia.org/wiki/Slow_light
By bundling up light waves into special packets, physicists have proposed a stable way to slow light signals to one-millionth of the speed limit, which is about as fast as a jet aircraft. Light has been made to go slower than this, even made to stand still. But most light packets will lose their shape when their speed is decreased -- a fact that hurts their application in the telecommunication industry. The new packets, however, belong to a type of wave pattern, called a soliton, which has a robust shape that does not easily decay. Currently, when an optical signal traveling down a fiber needs to be routed, it is converted to an electrical signal, so that it can be stored in a buffer, while the address is read. Once its destination is known, the signal is converted from electrical back to optical and sent on its way.

Zadania: Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie falowe. Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową: Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość  zależy od długości fali ). Znajdź związek między prędkością fazową i prędkością grupową (Wikipedia.pl, „prędkość grupowa”). Przeanalizuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość  zależy od długości fali ). ******

Opis fal przy pomocy liczb zespolonych
Pole elektryczne fali świetlnej o częstości  : E(x,t) = A cos(kx – wt – q) Ponieważ exp(ij) = cos(j) + i sin(j) (formuła Eulera ): E(x,t) = Re { A exp[i(kx – wt – q)] } lub E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – wt – q)] + c.c. gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem. Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx): Często wyrażenia te są zapisywane bez ½, Re, or +c.c.

Opis fal przy pomocy liczb zespolonych
Pole elektryczne fali świetlnej o częstości  można opisać: E(x,t) = A cos(kx – wt – q) Ponieważ exp(ij) = cos(j) + i sin(j) (formuła Eulera ): E(x,t) = Re { A exp[i(kx – wt – q)] } lub E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – wt – q)] + c.c. gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem. Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx):

Przypomnienie: liczby zespolone
Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać: z = Re{ z } + i Im{ z } Tak więc: Re{ z } = 1/2 ( z + z* ) i Im{ z } = 1/2i ( z – z* ) gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i ® –i ) Wielkość | z | (moduł), liczby zespolonej: | z |2 = z z* = Re{ z }2 + Im{ z }2 Liczbęz zapisać można w postaci polarnej: A exp(ij). gdzie: A2 = Re{ z }2 + Im{ z }2 tan(j) = Im{ z } / Re{ z }

Przypomnienie: liczby zespolone
Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać: z = Re{ z } + i Im{ z } Tak więc: Re{ z } = 1/2 ( z + z* ) i Im{ z } = 1/2i ( z – z* ) gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i ® –i ) Wielkość | z | (moduł), liczby zespolonej: | z |2 = z z* = Re{ z }2 + Im{ z }2 Liczbę z zapisać można w postaci polarnej: A exp(ij). A2 = Re{ z }2 + Im{ z }2 tan(j) = Im{ z } / Re{ z } z

Fale zapisane przy pomocy zespolonych amplitud
W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy: Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie. W wyniku otrzymujemy „zespolone amplitudy": Tak więc: uwaga na Pole tak zapisane jest całkowicie zespolone! Jak odróżnić, E0 jest rzeczywiste, czy zespolone? Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona.

Liczby zespolone w optyce ułatwiają życie
Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach początkowych daje falę o tej samej częstości. Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów: gdzie wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E1, E2, i E3.

Na oznaczenie fali płaskiej zazwyczaj rysujemy linie.
Fala płaska: Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń. Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła. W optyce fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego (równania Maxwella) W mechanice kwantowej fala płaska (funkcja falowa) jest rozwiązaniem równania Schrödingera dla cząstki swobodnej. Na oznaczenie fali płaskiej zazwyczaj rysujemy linie. Płaszczyzny frontów falowych są odległe o długość fali. Są one prostopadłe do kierunku propagacji.

Wiązka laserowa a fala płaska
Płaszczyźniane fronty falowe fali płaskiej wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie! Wiązka lasera jest przestrzennie zlokalizowana. Można ją przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego. Zlokalizowane fronty falowe z Plamka wiązki laserowej na ścianie w x y

Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ], e0 - przenikalność elektryczna, m0 - przenikalność magnetyczna,  - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej.

Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: sformułowanie „makroskopowe” - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2], - indukcja elektryczna, [ C / m2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - przenikalność elektryczna ośrodka, mr - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m2],  - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]  - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. W sformułoaniu makroskopowym j i  to zmienne w czasie gęstość prądu i ładunków swobodnych (zewnetrznych, które mogą stac się żódłem fali elektromagnetycznej, ale może też nim być harmonicznie zmienna w czasie polaryzacja ośrodka, w którym fala się propaguje.

Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu)
Pola elektryczne i magnetyczne oscylują w tej samej fazie. Migawka w czasie t: Kierunek pola elektrycznego, magnetycznego i wektora falowego są wzajemnie prostopadłe:

Światło jest nie tylko falą, ale i cząstką.
Fotografie wykonane przy przyciemnianym świetle są bardziej ziarniste. Jeśli badamy światło bardzo słabe, możemy się przekonać, że składa się ono z cząstek zwanych fotonami.

Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi: , gdzie:
h jest stałą Plancka, k jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2 /, ),   jest częstością kołową. Wektor k wskazuje kierunek propagacji.

Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi: , gdzie:
W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c i jego energia E i pęd p powiązane są relacją: E=cp. Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu dla cząstki posiadającej masę byłby: E2= (cp)2+(mc2)2 (szczególna teoria względności).

Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi: , gdzie: 
W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c i jego energia E i pęd p powiązane są relacją: E=cp. Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu dla cząstki posiadającej masę byłby: E2= (cp)2+(mc2)2 (szczególna teoria względności).

Fotony Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od częstości.

Fotony Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od częstości. Długość momentu pędu wynosi , tak więc jego składowe mierzone wzdłuż kierunku ruchu (jego skrętności) wynoszą odpowiednio Wartości te odpowiadają dwóm możliwym stanom polaryzacji kołowej (lewo- i prawo-skrętnej). Polaryzacja liniowa to superpozycja tych polaryzacji. Foton posiada więc spin całkowity (jest bozonem), podlega więc statystyce Bosego–Einsteina. Dowolna liczba bozonów może dzielić ten sam stan kwantowy.

Doświadczenia ze zliczaniem fotonów informują nas o charakterze źródła światła.
Przypadkowe (niespójne) źródła światła takie jak gwiazdy (Słońce) i żarówki, emitują fotony przypadkowo rozłożone w czasie i statystyce Bosego-Einsteina. Laserowe (spójne) źródła światła, posiadają bardziej jednorodne (choć nadal przypadkowe) rozkłady czasowe o poissonowskim rozkładzie prawdopodobieństwa. Bose-Einstein Poisson

Pęd fotonów w oddziaływaniu z atomami
Jeśli atom emituje foton, podlega odrzutowi w przeciwnym kierunku, zgodnie z zasada zachowania pędu. Jeśli atomy zostaną wzbudzone, a następnie emitują światło, wiązka atomowa stanie się bardziej rozbieżna, niż wiązka atomów przed wzbudzeniem światłem.

Fotony – ciśnienie światła
Fotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd. Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370 W/m2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi: Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia promieniowania Słońca jako siłę napędową. Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne: Odchylanie warkoczy komet (pozostałe siły są mniejsze) Statek kosmiczny Viking (minąłby Marsa o 15,000 km) Wnętrz gwiazd P= S/c P  (1400 W/m2)/(3x108 m/s) 5x10-6 Pa << Patm= 105 Pa Comet image from

Fotony – ciśnienie światła
Fotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd. Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370 W/m2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi: Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia promieniowania Słońca jako siłę napędową. Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne: Odchylanie warkoczy komet (pozostałe siły są mniejsze) Statek kosmiczny Viking (minąłby Marsa o 15,000 km) Wnętrza gwiazd P= S/c P  (1400 W/m2)/(3x108 m/s) 5x10-6 Pa << Patm= 105 Pa Comet image from

Spowalnianie atomów światłem lasera
Podstawy chłodzenia i pułapkowania atomów światłem laserowym – Nobel  S.Chu, C.Cohen-Tannoudji, W.Phillips atomy sodu: M=23,  = 590 nm v = 600 m/s 400 K) CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI: po zabsorb. 1 fotonu: vR = ħk/M = 3 cm/s wiązka lasera wiązka atomów  fotonów do zatrzymania Idea chłodzenia atomów za pomoca swiatła laserowego opiera sie na wykorzystaniu cisnienia swiatła Wyobrazmy sobie, ze na skolimowana wiazke atomów rozchodzacych sie w prózni w okreslonym kierunku swiecimy równiez skolimowana, przeciwbiezna wiazka promieniowania laserowego (rys. 2a). Jezeli czestosc swiatła lasera jest dostrojona do róznic atomowych poziomów energetycznych, fotony tego swiatła beda przez atom pochłaniane, z czym zwiazane jest przekazywanie nie tylko energii (prowadzace do wzbudzenia atomu), ale równiez pedu. Po kazdym akcie absorpcji atom powraca do stanu podstawowego przez proces reemisji. Dla cisnienia swiatła istotna jest jedynie emisja spontaniczna, która moze zachodzic w prawie dowolnym kierunku. Dzieki przypadkowosci kierunku tej emisji sredni ped, uzyskiwany przez atom w wyniku odrzutu emitowanego fotonu, wynosi zero.Wrezultacie po wielu aktach absorpcji i emisji spontanicznej bilans pedu przekazanego miedzy atomem a pochłanianymi i reemitowanymi fotonami jest niezerowy: p = P¯hkabs − P¯hkem = P¯hkL − 0 = N¯hkL, gdzie ¯h = h/2, h to stała Plancka, a kabs i kem to odpowiednio wektory falowe fotonów pochłonietych i emitowanych spontanicznie, zas kL oznacza wektor falowy fotonów w wiazce laserowej (emisja wymuszona nie ma znaczenia dla zmiany pedu, poniewaz zachodzi zawsze w kierunku rozchodzenia sie wiazki wymuszajacej, kabs = kem = kL, i całkowicie kompensuje ped przekazany przez fotony pochłoniete, p = P¯hkL−P¯hkL = 0). Siła wynikajaca z takiego przekazu pedu jest znana jako cisnienie swiatła i, jak wiadomo, odgrywa swiatła działa nie tylko dla ukierunkowanych wiazek atomowych, ale tez dla atomów poruszajacych sie we wszystkich kierunkach w fazie gazowej. @ I = 6 mW/cm2 czas zatrzymania: 1 ms droga hamowania: 0,5 m przyspieszenie: 106 m/s2 1 atom p =  ħ kabs -  ħ kem = N ħ kL – 0

Pułapki magneto-optyczne umożliwiają ochłodzenie chmury (gazu) neutralnych atomów do temperatur rzędu 100µK PUŁAPKA MOT IF PAN IF PAN (M. Głóź) IF UW (W. Gawlik) Laboratorium FAMO (Toruń) Chmura zimnych atomów Rb w centrum pułapki

Photons "What is known of [photons] comes from observing the
results of their being created or annihilated." Eugene Hecht Można powiedzieć, że zdanie to jest słuszne nie tylko dla fotonów, ale dla wszystkiego, co jesteśmy w stanie zaobserwować. Nasz ogląd świata jest wynikiem kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z materią.

Fale Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna
Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaska Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne Fotony Spin Ciśnienie światła; wiatr słoneczny Chłodzenie atomów Zadania

Indeks haseł dotychczas omówionych:
doświadczenie Michelsona-Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa Chłodzenie atomów światłem laserowym Ciśnienie światła Dyspersja (czasowa) Dyspersja prędkości grupowej Fala elektromagnetyczna Fale podłużne Fale poprzeczne Prędkość fazowa Prędkość grupowa Równania Maxwella w próżni Równania Maxwella w ośrodkach materialnych Równanie falowe skalarne Spin fotonu Światło jako fala elektromagnetyczna Światło jako strumień fotonów

Dziękuję za uwagę

Zadania: Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie falowe. Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową: Znajdź związek między prędkością fazową i prędkością grupową (Wikipedia.pl, „prędkość grupowa”). Przeanalizuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość  zależy od długości fali ). ******

1. Proof that f (x ± vt) solves the wave equation
Write f (x ± vt) as f (u), where u = x ± vt. So and Now, use the chain rule: So Þ and Þ Substituting into the wave equation:

Wstęp do optyki współczesnej

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Wstęp do optyki współczesnej"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres

Wejść

Zaloguj się poprzez sieć społeczną:

Wstęp do optyki współczesnej

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Wstęp do optyki współczesnej"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres