Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 POSTAĆ OGÓLNA FUNKCJI KWADRATOWEJ

3 g(x)=-2x2-10 h(x)=x2-x f(x)=4x2+5x p(x)=7x2 g(x)=-2x2-2x-2 h(x)=x2-8
Jeżeli a ≠ 0 to funkcję f(x)=ax2+bx+c nazywamy funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym). Jest to postać ogólna funkcji. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykresem funkcji jest parabola. PRZYKŁADY FUNKCJI: f(x)=6x2-4x+10 g(x)=-2x2-10 h(x)=x2-x f(x)=4x2+5x p(x)=7x2 g(x)=-2x2-2x-2 h(x)=x2-8

4 f(x)=x2-8x-16- postać ogólna funkcji kwadratowej
Zadanie1: Przedstaw funkcję w postaci ogólnej: f(x)=x(x-10)+2(x-8) f(x)=x2-10x+2x-16 f(x)=x2-8x-16- postać ogólna funkcji kwadratowej a=1 b=-8 c=-16 b) f(x)=2(x+4)(x-3) f(x)=2(x2-3x+4x-12) f(x)=2x2-6x+8x-24 f(x)=2x2+2x postać ogólna funkcji kwadratowej a=2 b=2 c=-24

5 f(x)=2x2-8x+8- postać ogólna funkcji kwadratowej d) f(x)=-3(x+4)2
c) f(x)=2(x-2)2 f(x)=2(x2-4x+4) f(x)=2x2-8x+8- postać ogólna funkcji kwadratowej a=2 b=-8 c=8 d) f(x)=-3(x+4)2 f(x)=-3(x2+8x+16) f(x)=-3x2-24x-48 - postać ogólna funkcji kwadratowej a=-3 b=-24 c=-48 e) f(x)=-x(x+4)-4x(x+1) f(x)=-x2-4x-4x2-4x f(x)=-5x2-8x - postać ogólna funkcji kwadratowej a=-5 b=-8 c=0

6 A: f(x)=3x2-x-2 4=3·02-0-2 4=-2 - fałsz A∉f B: f(x)=3x2-x-2 0=3·12-1-2
Zadanie2: Sprawdź nie rysując, czy do wykresu funkcji f(x)=3x2-x-2 należą punkty: A=(0,4) B=(1,0) C=(-2,3). A: f(x)=3x2-x-2 4=3·02-0-2 4=-2 - fałsz A∉f B: f(x)=3x2-x-2 0=3·12-1-2 0= Bϵf C: f(x)=3x2-x-2 3=3·(-2)2-(-2)-2 3=3·4+2-2 3=12 - fałsz C∉f Do wykresu funkcji należy punkt B.

7 Zadanie3: Funkcję zapisaną w postaci ogólnej, przedstaw
w postaci kanonicznej i iloczynowej: f(x)=x2-6x+5 a=1 b=-6 c=5 Δ = b2- 4ac Δ = (-6)2 - 4·1·5 = 36 – 20 = 16 Przypominamy postać kanoniczną: f(x)=a(x-p)2+q f(x)=(x-3)2-4

8 Przypominamy postać iloczynową: f(x)=a(x-x1)(x-x2)
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe f(x)=(x-1)(x-5) Wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry, ponieważ współczynnik a jest dodatni. (a=1)

9 f(x)=-(x-2)2 – postać kanoniczna
b) f(x)=-x2+4x-4 a=-1 b=4 c=-4 Δ = b2- 4ac Δ = ·(-1)·(-4) = 16 – 16 = 0 f(x)=a(x-p)2+q f(x)=-(x-2)2 – postać kanoniczna

10 Przypominamy postać iloczynową: f(x)=a(x-x0)2
Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe f(x)=-(x-2)2 Wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami w dół, ponieważ współczynnik a jest ujemny. (a=-1)

11 c) g(x)=4x2+x+8 a=4 b=1 c=8 Δ = b2- 4ac
Δ = ·4·8 = = -127 Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych; nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej - postać kanoniczna

12 Zadanie4: Funkcję zapisaną w postaci kanonicznej zapisz
w postaci ogólnej. Odczytaj współrzędne wierzchołka paraboli. f(x)=-2(x+2)2+4 f(x)=-2(x2+4x+4) W=(-2,4) f(x)=-2x2-8x-8+4 f(x)=-2x2-8x-4 g(x)=4(x-7)2 g(x)=4(x2-14x+49) W=(7,0) g(x)=4x2-56x+196 c) h(x)=(x+5)2-5 h(x)=(x2+10x+25) W=(-5,-5) h(x)=x2+10x+20

13 Zadanie5: Funkcję zapisaną w postaci iloczynowej przedstaw w postaci ogólnej.
h(x)=-3(x+4)(x-5) h(x)=-3(x2+4x-5x-20) h(x)=-3(x2-x-20) h(x)=-3x2+3x a=-3 b=3 c=60 b) p(x)=-4(x-1)x p(x)=-4(x2-x) p(x)=-4x2+4x a=-4 b=4 c=0 c) f(x)=6(x+3)2 f(x)=6(x2+6x+9) f(x)=6x2+36x a=6 b=36 c=54

14 Zadanie6: Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji: f(x)=2(x+1)(x-4) w przedziale
Najpierw przekształcimy funkcję do postaci kanonicznej f(x)=2(x2-4x+x-4) f(x)=2(x2-3x-4) f(x)=2x2-6x-8 a=2 b=-6 c=-8 Δ = b2- 4ac Δ = (-6)2 - 4·2·(-8) = = 100 Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli, aby sprawdzić czy odcięta wierzchołka należy do przedziału.

15 Odcięta wierzchołka należy do przedziału
Obliczamy wartości funkcji f na końcach przedziału: f(0)=2·02-6·0-8 = -8 f(6)=2·62-6·6-8 = = 28 Najmniejszą wartością funkcji f w podanym przedziale jest wartość rzędna wierzchołka paraboli, największą wartością funkcji jest 28 dla argumentu 6 będącego końcem podanego przedziału.

16 Wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami w
Zadanie7: Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, wyznacz wartość najmniejszą oraz zbiór wartości funkcji: y=2x2+10x+8 a=2 b=10 c=8 Δ = b2- 4ac Δ = ·2·8 = = 36 Wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami w górę. Wartość najmniejsza jest równa dla x=