Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Matematyka wyposaża nas w coś jakby nowy zmysł.”
Charles Robert Darwin

3 LICZBY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA
Liczby spełniające równanie to po prostu rozwiązania tego równania. Każde równanie ma określoną liczbę rozwiązań, czasem tą liczbą jest 0, czasem jest to nieskończona ilość.

4 LICZBY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA.
Liczba spełnia równanie (jest rozwiązaniem równania; pierwiastkiem równania) jeśli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej otrzymujemy równość prawdziwą. PRZYKŁAD: Liczbą spełniającą równanie 3x + 5 = 32 jest 9 ponieważ po podstawieniu 9 za x otrzymamy równość prawdziwą: 3 ∙ = 32 Prawa i lewa strona równania są równe 32.

5 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. 4x – 6 = 14
Liczbą spełniającą to równanie jest 5 ponieważ 4 ∙ 5 – 6 = 14 PRZYKŁAD 2. x2 = 16 Liczbami spełniającymi to równanie są 4 i -4 ponieważ 42 = 16; (-4)2 = 16 PRZYKŁAD 3. x(x - 2)(x + 1) = 0 Liczbami spełniającymi to równanie są 0, 2 i -1 ponieważ 0(0 – 2)(0 + 1) = 0; 2(2 – 2)(2 + 1) = 0; -1((-1) – 2)((-1) + 1) = 0

6 PRZYKŁADY PRZYKŁAD 4. 5x = 3x + 2x
Każda liczba spełnia to równanie, inaczej mówiąc ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. PRZYKŁAD 5. x = x -1 Tego równania nie spełnia żadna liczba czyli nie ma ono rozwiązań.

7 RÓWNANIA TOŻSAMOŚCIOWE I RÓWNANIA SPRZECZNE.
Równaniem sprzecznym nazywamy równanie, którego nie spełnia żadna liczba (które nie ma rozwiązań). PRZYKŁADY RÓWNAŃ SPRZECZNYCH: x = 2x; x2 = -4; |x| = -2; 2x +2 = 2x + 3 Równaniem tożsamościowym nazywamy równanie, które spełnia każda liczba (które ma nieskończenie wiele rozwiązań). PRZYKŁADY RÓWNAŃ TOŻSAMOŚCIOWYCH: x + x = 2x; 3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x = 0; x + 1 = 1 + x

8 ZBIÓR ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA.
Zbiorem rozwiązań równania nazywamy zbiór wszystkich liczb spełniających to równanie. PRZYKŁADY: x + 5 = 12 Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór jedno elementowy {6}; x2 = 25 Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór dwuelementowy {-5; 5}; x2 = -1 Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór pusty Ø.

9 RÓWNANIA RÓWNOWAŻNE. Równania nazywamy równaniami równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań. PRZYKŁADY: Równania: x – 2 = 3; 6x = 30; 2x + 4 = 14 są równaniami równoważnymi, ponieważ ich zbiór rozwiązań to {5}. Równania: x = 2x; x2 = -4; |x| = -2; są równaniami równoważnymi, ponieważ są to równania sprzeczne (ich zbiór rozwiązań jest pusty). Równania: x + x = 2x; 3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x = 0; są równaniami równoważnymi, ponieważ są to równania tożsamościowe (spełnia je każda liczba)

10 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE1. Sprawdź, czy któraś z liczb -2 lub 3 jest rozwiązaniem podanego równania. 5(x + 1) – 10 = 3x + 1 Rozważamy osobno lewą (L) i prawą (P) stronę równania. Podstawiamy kolejno sprawdzane liczby. Dla x = -2 mamy: L = 5(-2 + 1) – 10 = 5 ∙ (-1) – 10 = -5 – 10 = -15 P = 3 ∙ (-2) + 1 = = -5 L ≠ P, a więc -2 nie spełnia naszego równania

11 PRZYKŁADOWE ZADANIA. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. Dla x = 3 mamy: L = 5(3 + 1) – 10 = 5 ∙ 4 – 10 = 20 – 10 = 10 P = 3 ∙ = = 10 L = P, a więc 3 spełnia nasze równanie.

12 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Jaką liczbę należy wstawić zamiast litery a, aby otrzymać równanie, którego rozwiązaniem jest liczba 10? 3x – 6 = x + a Rozpiszmy obie strony równania dla x = 10 L = 3 ∙ 10 – 6 = 30 – 6 = 24 P = 10 + a Aby rozwiązaniem równania była liczba 10, dla x = 10 obie strony równania muszą być sobie równe (L = P). Żeby P = 24 zamiast litery a należy wstawić 14. 3x – 6 = x + 14

13 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3.
Zastąp literę a w równaniu takim wyrażeniem, aby otrzymać równanie: sprzeczne tożsamościowe 2x + 3 = x + a Aby otrzymać równanie sprzeczne, po prawej stronie musi stać 2x i liczba inna niż 3. Np. a = x, mamy wtedy: 2x + 3 = x + x Aby otrzymać równanie tożsamościowe, prawa i lewa strona równania muszą być takie same. Np. a = x + 3, mamy wtedy 2x + 3 = x + x + 3

14 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Do podanego równania dopisz dwa równania równoważne. x – 3 = 5 Rozwiązaniem tego równania jest liczba 8. Równania równoważne danemu to takie, których rozwiązaniem jest również liczba 8. Np. 2x = 16 3x – 5 = 19