Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Jasiu, zostaw kobiety, a weź się do matematyki.”
Słowa Zulietty, XVIII-wiecznej kurtyzany weneckiej, skierowane do Jana Jakuba Rousseau.

3 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ – METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW.
Z tej lekcji dowiesz się jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników. Każdy układ równań da się rozwiązać metodą podstawiania, czasem jednak zajmuje ona sporo czasu. Często się zdarza, że metoda przeciwnych współczynników jest mniej pracochłonna.

4 METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników polega na takim przekształcaniu obu równań, ab przy jednej z niewiadomych uzyskać te same współczynniki liczbowe ale o przeciwnych znakach. Dzięki takiemu zabiegowi, po dodaniu do siebie obu równań stronami, jedna z niewiadomych „znika” i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.

5 WSPÓŁCZYNNIKI Czym są współczynniki liczbowe w układzie równań? To liczby stojące przed niewiadomymi. Przykłady: Współczynniki przy x to: 3 w pierwszym równaniu i 5 w drugim równaniu. Współczynniki przy y to: 4 w pierwszym równaniu i -7 w drugim. Współczynniki przy x to: 1 w pierwszym równaniu i 3 w drugim równaniu. Współczynniki przy y to: -1 w pierwszym równaniu i 2 w drugim.

6 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. 5x = 10 |: 5 x = 2 2 ∙ 2 + 5y = 19 4 + 5y = 19
Tego układu równań nie musimy przekształcać gdyż współczynniki przy y są liczbami przeciwnymi: 5 i -5. Dodajemy do siebie prawe i lewe strony obu równań. Dzięki temu otrzymamy równanie z jedną niewiadomą: 5y + (-5y) = 0 Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną niewiadomą (x). Obliczoną niewiadomą x = 2 wstawiamy do jednego (dowolnego) równania układu i obliczamy drugą niewiadomą

7 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. 5y = 19 – 4 5y = 15 | : 5 y = 3 Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2 i y = 3.

8 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. -7y = 35 | : (-7) y = -5
W tym układzie przy żadnej niewiadomej nie występują przeciwne współczynniki, musimy więc odpowiednio przekształcić równania. Obie strony drugiego równania mnożymy przez 5, dzięki temu uzyskamy przeciwne współczynniki przy x: 5 i -5. Obie strony równań dodajemy do siebie. Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną niewiadomą (y).

9 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy. -x – 2 ∙ (-5) = 7 - x + 10 = 7 - x = -3 | : (-1) x = 3 Obliczoną niewiadomą y = -5 wstawiamy do jednego (dowolnego) równania układu i obliczamy drugą niewiadomą Rozwiązanie układu równań.

10 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. -x = 2 |: (-1) x = -2
W tym układzie także przy żadnej niewiadomej nie występują przeciwne współczynniki, przekształcamy równania tak, aby je uzyskać. Obie strony pierwszego równania mnożymy przez -2, dzięki temu uzyskamy przeciwne współczynniki przy y: -4 i 4. Obie strony równań dodajemy do siebie. Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną niewiadomą x.

11 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy. 3 ∙ (-2) + 2y = 2 -6 + 2y = 2
Obliczoną niewiadomą x = -2 wstawiamy do jednego (dowolnego) równania układu i obliczamy drugą niewiadomą Rozwiązanie układu równań.

12 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. -31y = 93 | : (-31) y = -3
Aby rozwiązać ten przykład musimy przekształcić oba równania. Wybierzmy najpierw niewiadomą, przy której chcemy uzyskać przeciwne współczynniki. Niech to będzie x. Pierwsze równanie mnożymy przez współczynnik stojący przy x w drugim równaniu: 3. Drugie równanie mnożymy przez współczynnik stojący przy x w pierwszym równaniu, ale zmieniamy jego znak na przeciwny: -5. Dzięki powyższej operacji otrzymaliśmy przeciwne współczynniki przy x. Dodajemy do siebie obie strony równań układu.

13 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4 – ciąg dalszy. y = -3 5x – 2 ∙ (-3) = 21
Obliczoną niewiadomą y = -3 wstawiamy do jednego (dowolnego) równania układu i obliczamy drugą niewiadomą Rozwiązanie układu równań.

14 PRZYKŁAD 4. Metoda przedstawiona w przykładzie 4 jest uniwersalna i pozwala uzyskać przeciwne współczynniki przy wybranej niewiadomej w każdym układzie równań. Oczywiście pamiętajmy, że nie można mnożyć równania przez 0.