Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 Wzory Viète’a

3 Jeżeli w równaniu kwadratowym wyróżnik delta jest większy od zera (>0) to równanie ma dwa pierwiastki x1 oraz x2, których można wyznaczyć sumę i iloczyn.

4

5 Jeżeli w równaniu kwadratowym wyróżnik delta jest równy zero (=0) to równanie ma jeden pierwiastek x0, wtedy możemy wyznaczyć sumę i iloczyn.

6 Wzory Viète’a Równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki x1 oraz x2 albo jeden pierwiastek x0 – wtedy prawdziwe są następujące wzory:

7 TABELA ZNAKÓW PIERWIASTKÓW, ICH SUMY I ILOCZYNU
iloczyn suma pierwiastków pierwiastków pierwiastki są jednakowych znaków pierwiastki są różnych Z tabelki wnioskujemy, że jeżeli: - iloczyn jest dodatni to pierwiastki są jednakowych znaków (obydwa dodatnie albo obydwa ujemne) - iloczyn jest ujemny to pierwiastki są różnych znaków (jeden dodatni drugi ujemny) - iloczyn dodatni i suma dodatnia to pierwiastki są dodatnie - iloczyn dodatni i suma ujemna to pierwiastki są ujemne x1 x2 x1 x2 x1+x2 + - + -

8 ZASTOSOWANIE WZORÓW: I. Obliczanie sumy i iloczynu pierwiastków bez obliczania samych pierwiastków 4x2+10x+2= b) -x2+x+6=0 =b2-4ac =b2-4ac =100-32= =1+24=25

9 c) 2x2+10x+6= d) -x2+7x+8=0 =b2-4ac =b2-4ac =100-48= =49+32=81

10 II. Określanie znaków miejsc zerowych równania kwadratowego bez ich obliczania
-2x2+3x+1= b) x2+6x+5=0 =b2-4ac =b2-4ac =9+8= =36-20=16 Iloczyn ujemny, więc pierwiastki są różnych znaków. Iloczyn pierwiastków dodatni, a suma ujemna, więc pierwiastki są ujemne.

11 c) 3x2+6x-12=0 d) x2-6x+1=0 =b2-4ac =b2-4ac =36+144=180 =36-4=32
=36+144= =36-4=32 Iloczyn i suma pierwiastków są ujemne, więc pierwiastki są różnych znaków. Iloczyn pierwiastków dodatni i suma dodatnia, więc pierwiastki są dodatnie.

12 e) x2-25=0 f) x2+5x+4=0 =b2-4ac =b2-4ac =100 =25-16=9
= =25-16=9 Iloczyn pierwiastków jest ujemny, więc pierwiastki są różnych znaków. Iloczyn pierwiastków dodatni, suma ujemna, więc pierwiastki są ujemne.

13 III. Wykorzystanie wzorów do obliczania wartości wyrażeń
np.: x2+5x+4=0 =b2-4ac =25-16=9 a) wykorzystujemy wzory skróconego mnożenia, odpowiednio je przekształcamy: c)

14 d) e)

15 np.: 2x2-6x+1=0 a=2 b=-6 c=1 =b2-4ac =36-8=28 a) b) c) d)

16 IV. Wykorzystanie wzorów do rozwiązywania zadań dotyczących funkcji kwadratowych z parametrem
np.: Dla jakiej wartości parametru m funkcja kwadratowa f(x)=x2+6x+(m+5) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków? a=1 b=6 c=m+5 =b2-4ac =36-4(m+5)=36-4m-20=16-4m Aby funkcja kwadratowa miała dwa miejsca zerowe różnych znaków muszą być spełnione warunki: (które trzeba rozwiązać) 1) >0 2) x1·x2<0 Ad 1) >0 ⇔ 16-4m>0 -4m>-16 m<4 mϵ(-∞,4)

17 Ad 2) x1·x2<0 m+5<0 m<-5 mϵ(-∞,-5) Biorąc pod uwagę jeden i drugi warunek wyznaczamy część wspólną: Odp.: Częścią wspólną warunków jest zbiór (-∞,-5). Dla parametru mϵ (-∞,-5) funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe różnych znaków. m ϵ (-∞,4) ∧ m ϵ (-∞,-5) ⇒ m ϵ (-∞,-5)