Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Bóg jest matematykiem.”
Jan Kepler

3 TRÓJKĄTY PODOBNE. Trójkąty mają wiele ciekawych własności i już od starożytności uważane są za niezwykłe figury. Trójkąty zasługują na szczególną uwagę także przy rozpatrywaniu ich podobieństwa, wystarczy bowiem sprawdzić jedną z trzech cech podobieństwa trójkątów, aby stwierdzić czy dane dwa są do siebie podobne, czy też nie.

4 TRÓJKĄTY PODOBNE. Aby stwierdzić, czy trójkąty są do siebie podobne wystarczy sprawdzić: czy odpowiednie boki są proporcjonalne czy dwa kąty w jednym trójkącie mają takie same miary jak dwa kąty w drugim trójkącie czy oba trójkąty mają chociaż jeden kąt o takiej samej mierze i czy boki tworzące ramiona tego kąta są proporcjonalne. Podpunkty te nazywamy cechami podobieństwa trójkątów.

5 CECHA BBB (BOK – BOK – BOK).
Jeśli długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

6 CECHA KK (KĄT- KĄT). Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

7 CECHA BKB (BOK – KĄT – BOK).
Jeśli kąt w jednym trójkącie jest równy pewnemu kątowi w drugim trójkącie, a ponadto długości odpowiednich boków leżących przy tych kątach są proporcjonalne, to trójkąty są podobne.

8 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Czy narysowane poniżej trójkąty są podobne?
Korzystamy z cechy bbb, czyli sprawdzamy stosunek odpowiednich boków (najdłuższy do najdłuższego, najkrótszy do najkrótszego…): Te trójkąty są podobne na mocy cechy bbb.

9 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Które z narysowanych poniżej trójkątów są podobne? Skorzystamy z cechy kk, w tym celu obliczymy brakujące miary kątów: I: 180° - 110° - 50° = 20° II: 180 – 110° - 20° = 50° III = 180° - 50° - 30° = 100° Trójkątami podobnymi są I i II na mocy cechy kk (mają takie same kąty).

10 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Czy narysowane poniżej trójkąty są podobne?
Skorzystamy z cechy bkb. Łatwo można zauważyć, że kąt między bokami o długości 3 i 2 w trójkącie II ma miarę 70° więc pierwszy warunek cechy jest spełniony. Sprawdzamy stosunek boków: Trójkąty te są podobne na mocy cechy bkb.

11 FAKT 1. Aby stwierdzić, czy dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy znaleźć kąt ostry w jednym trójkącie, który ma taką samą miarę jak kąt ostry w drugim trójkącie.

12 FAKT 2. Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego.

13 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Trójkąty na rysunkach są podobne. Oblicz pole każdego z nich. Do obliczenia pól powierzchni tych trójkątów potrzebujemy wysokości w trójkącie ABC i brakującej części podstawy w trójkącie DEF.

14 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Trójkąt prostokątny K jest podobny do trójkąta N (na podstawie faktu 1), zachodzi więc proporcja: 6h = 16 |: 6 h =

15 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Podobnie trójkąt L jest podobny do trójkąta N, a zatem:

16 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Po zamienieniu pierwszego licznika na ułamek niewłaściwy i wymnożeniu „na krzyż” otrzymujemy równość: x = 12 Mamy już wszystkie niezbędne do policzenia pól dane.

17 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

18 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2.
Czy trójkąty prostokątne LIS i MIŚ są podobne? Uzasadnij odpowiedź. Kąty MIŚ i LIS mają równe miary jako kąty wierzchołkowe, a więc w oparciu o fakt 1 te trójkąty są podobne.

19 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3.
2500 lat temu Tales z Miletu zadziwiał współtowarzyszy tym, że potrafił obliczyć odległość statku od brzegu. Dziś Jaś zadziwił kolegów tym, że obliczył szerokość rzeki. Poniższy rysunek przedstawia jego pomiary. Jak szeroka jest rzeka?

20 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Widoczne na rysunku trójkąty są podobne (tak samo jak te z zadania 2). Jeśli oznaczymy szerokość rzeki przez x dostaniemy proporcje: Odpowiedź: Rzeka ma szerokość metra.

21 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4.
Cień drzewa ma długość 7,2 m, a cień człowieka o wzroście 160 cm ma długość 0,96 m. Jaka jest wysokość drzewa? Naszkicujmy rysunek pomocniczy: Promienie słońca padają pod tym samym kątem do podłoża, więc narysowane trójkąty są podobne. Aby obliczyć wysokość układamy i rozwiązujemy proporcje.

22 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. 0,96x = 11,52 |: 0,96
x = 12 (m) Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 12 m.