Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Jak ty rodzicom, tak dzieci tobie.”
Tales z Miletu

3 TWIERDZENIE TALESA. Tales z Miletu to jeden z najwybitniejszych mędrców starożytności. Zasłynął nie tylko jako filozof ale także jako matematyk i astronom. Potrafił przewidywać zaćmienia słońca, czym prawdopodobnie przyczynił się do wyniku bitwy nad rzeką Halys. Twierdzenie Talesa przedstawione w tej lekcji to potężne narzędzie w geometrii. Tales dzięki swojej wiedzy już w VI w p. n. e. potrafił obliczać wysokość m. in. piramid tylko w oparciu o pomiar długości ich cienia…

4 TALES Z MILETU

5 ODCINKI PROPORCJONALNE.
Co to oznacza, że dane odcinki są proporcjonalne? Oznacza to, że jeśli podzielimy przez siebie ich długości, to otrzymamy tę samą liczbę. PRZYKŁAD: |AB|= 0,9 |BC| = 0,4 |AD| = 1,8 |DE| = 0,8

6 ODCINKI PROPORCJONALNE.
Jeżeli zachodzi powyższa proporcja, to o odcinkach AD I DE mówimy, że są proporcjonalne do odcinków AB i BC.

7 TWIERDZENIE TALESA. Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. m || n

8 PROPORCJE WYNIKAJĄCE Z TWIERDZENIA TALESA.

9 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą x.
Rozwiązujemy proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: 2,4 ∙ 3,5 = 1 ∙ x x = 8,4

10 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą a.
Rozwiązujemy proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: 2 ∙ (2 + 6) = 2a 16 = 2a a = 8

11 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą y. 25 ∙ (y + 30) = 30 ∙ 70 25y = y = 1350 | : 25 y = 54

12 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą b. W tym przypadku także „działa” twierdzenie Talesa. Układamy proporcję dla odpowiednich odcinków. 12 ∙ 7 = b ∙ 6 6b = 84 | : 6 b = 14

13 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 5. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą z. 8 ∙ (13 + z) = (9 + z) ∙ z = z 8z – 10z = 90 – z = -14 | : (-2) z = 7

14 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.
Dowód tego twierdzenia jest dość prosty. Opiera się na dwóch faktach: Pola trójkątów, które mają wspólną podstawę i równe wysokości, są takie same. 2. Stosunek pól trójkątów, które mają taką samą wysokość, jest równy stosunkowi ich podstaw.

15 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.
Trójkąty ADB i DEB mają wspólną wysokość h1. Zgodnie z podanymi powyżej faktami zachodzi: k || l PΔADB PΔDEB b d =

16 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.
Trójkąty ADB i DCB mają wspólną wysokość h2. Analogicznie: k || l PΔADB PΔDCB a c =

17 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.
Godnie z pierwszym faktem zachodzi: k || l PΔDEB = PΔDCB Mamy zatem: PΔADB PΔDEB = b d PΔADB PΔDCB = a c PΔDEB = PΔDCB

18 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.
Po uporządkowaniu dostajemy: , zachodzi więc równość: co kończy dowód. PΔADB PΔDCB = a c PΔADB PΔDEB = b d = a c = b d

19 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1.
Maszt rzuca cień długości 164 m. Na maszcie umieszczono anteny stacji nadawczych telefonii komórkowej. Najniżej umieszczona antena jest na wysokości 15m nad ziemią. Cień anteny zaczyna się w odległości 12m od masztu. Jak wysoki jest maszt? Rozwiązanie najlepiej zacząć od wykonania rysunku pomocniczego

20 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Zgodnie z twierdzeniem Talesa zachodzi równość: Rozwiązujemy proporcje: 15 ∙ 164 = x ∙ 12 12x = 2460 |: 12 x = 205 (m) Odpowiedź: Maszt ma 205 m wysokości.

21 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2.
Przy drodze rosło samotne drzewo. Aby poznać jego wysokość, uczniowie dokonali odpowiednich pomiarów. Następnie, korzystając ze schematu, obliczyli jego wysokość. Przedstaw ich obliczenia. Uzyskane przez gimnazjalistów pomiary: długość cienia drzewa – 5,6 m długość cienia Basi – 1,4 m wzrost Basi – 1,7 m

22 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Zgodnie z twierdzeniem Talesa zachodzi proporcja: Po podstawieniu danych otrzymujemy: 1,7 ∙ 5,6 = x ∙ 1,4 1,4x = 9,52 |: 1,4 x = 6,8 Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 6,8 m.