Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 JEDNOMIANY

3 Funkcje, o których będziemy mówić to jednomiany-funkcje postaci y=ax2 a≠0.
Przykłady jednomianów: f(x)=-4x g(x)=8x2 h(x)=-7x f(x)=x2 h(x)=-9x g(x)=10x2 Wykresem jednomianu jest parabola skierowana ramionami do góry (jeżeli współczynnik a jest dodatni) lub w dół (jeżeli współczynnik a jest ujemny). Na podstawie wykresu jednomianu można omówić różne własności funkcji.

4 PRZYKŁAD 1: Naszkicuj wykres i na podstawie wykresu omów własności funkcji: f(x)=2x2 x -2 -1 1 2 3 y 8 18 y -2 x

5 Własności funkcji f(x)=2x2
D=R Zw=<0, +∞) f↘ dla xϵ(-∞, 0 > f↗ dla xϵ<0, +∞) x0 = 0 ymax - nie istnieje ymin = 0 y > 0 ⇔ xϵ R\{0} wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry, jej wierzchołek znajduje się w punkcie W=(0,0) funkcja nie jest różnowartościowa.

6 b) f(x)=-2x2 x -2 -1 1 2 3 y -8 -18 y -2 x

7 Własności funkcji f(x)=-2x2
D=R Zw= (-∞, 0 > f↘ dla xϵ <0, +∞) f↗ dla xϵ (-∞, 0 > x0 = 0 ymax = 0 ymin - nie istnieje y < 0 ⇔ xϵ R\{0} wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami w dół, jej wierzchołek znajduje się w punkcie W=(0,0) funkcja nie jest różnowartościowa.

8 PRZYKŁAD 2: Sprawdź, czy podane niżej punkty należą do wykresu funkcji f(x)=-4x2 A=(-2,4) B=(1,4) C=(-1,-4) A=(-2,4) B=(1,4) C=(-1,-4) f(x)=-4x2 4=-4·(-2)2 4=-4·4 4=-16 L ≠ P A ∉ f Spośród podanych punktów do wykresu funkcji f należy punkt C. f(x)=-4x2 -4=-4·(-1)2 -4=-4·1 -4=-4 L = P C ϵ f f(x)=-4x2 4=-4·12 4=-4·1 4=-4 L ≠ P B ∉ f

9 PRZYKŁAD 3: Do paraboli która jest wykresem funkcji f(x)=ax2 należy punkt A=(-3,18). Wyznacz współczynnik a tej funkcji. A=(-3,18) f(x)=ax2 W miejsce niewiadomych x i f(x) podstawiam liczby -3 i 18. 18=a·(-3)2 18=9a 2=a f(x)=2x2 Szukanym wzorem funkcji jest: f(x)=2x2

10 PRZYKŁAD 4: Dla funkcji f(x)=-3x2 uzupełnij tabelkę: f(-1)=-3·(-1)2=-3·1= f(x)=27 ⇔ -3x2=27 ⇔ x2=-9 ⇔ xϵ∅ f(0)=-3·02= f(x)=0 ⇔ -3x2=0 ⇔ x2=0 ⇔ x=0 f(√2)=-3·(√2 )2=-3·2=-6 x -1 √2 y 27 x -1 -- √2 y -3 27 -6

11 x -2 -1 1 2 3 y 4 9 PRZYKŁAD 5: Dana jest funkcja: f(x)=x2
naszkicuj wykres i omów własności funkcji, rozwiąż równania: f(x)=x+2, f(x)=-4 rozwiąż nierówności: f(x)< x2+2x f(x)≥-x Ad.a) f(x)=x2 Własności funkcji f(x)=x2 D=R Zw=<0, +∞) f↘ dla xϵ(-∞, 0 > f↗ dla xϵ<0, +∞) x0 = 0 ymax - nie istnieje ymin = 0 y > 0 ⇔ xϵ R\{0} wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry, jej wierzchołek znajduje się w punkcie W=(0,0) funkcja nie jest różnowartościowa. x -2 -1 1 2 3 y 4 9 y -2 1

12 f(x)=x+2 x2=x+2 f(x)=-4 x2-x-2=0 a=1 b=-1 c=-2 x2=-4 x2+4=0
Ad.b) f(x)=x+2 x2=x+2 x2-x-2=0 a=1 b=-1 c=-2 Δ=b2-4ac Δ=(-1)2-4·1·(-2) Δ=1+8 Δ=9 Δ>0 - równanie posiada dwa rozwiązania f(x)=-4 x2=-4 x2+4=0 a=1 b=0 c=4 Δ=b2-4ac Δ=0-4·1·4 Δ=-16 Δ<0 - równanie nie posiada rozwiązań xϵ∅ ZR=∅

13 . . f(x) < x2+2x+4 o x2<x2+2x+4 x2-x2-2x-4<0 -2x-4<0
Ad.c) f(x) < x2+2x+4 x2<x2+2x+4 x2-x2-2x-4<0 -2x-4<0 -2x<4 x>-2 rozwiązania przedstawimy na osi liczbowej xϵ(-2,+∞) ZR= (-2,+∞) f(x) ≥ -x x2≥-x x2+x≥0 x(x+1)≥0 x1=0 lub x2=-1 xϵ(-∞, -1 > ∪ <0, +∞) ZR= (-∞, -1 > ∪ <0, +∞) . -1 . o -2 x x

14 PRZYKŁAD 6: Dane są funkcje: f(x)=x2+1 g(x)=-x2+9 naszkicuj wykresy i omów własności funkcji, rozwiąż równanie: f(x)=g(x) wyznacz zbiór argumentów x, dla których wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g. Ad.a) f(x)=x g(x)=-x2+9 x -2 -1 1 2 3 y 5 10 x -2 -1 1 2 3 y 5 8 9 y 9 A 5 B -2 2 x

15 Własności funkcji: f(x)=x2+1
D=R Zw=<1, +∞) f↘ dla xϵ(-∞, 0 > f↗ dla xϵ<0, +∞) x0 - nie istnieje ymax - nie istnieje ymin = 1 y > 0 ⇔ xϵ R wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry, jej wierzchołek znajduje się w punkcie W=(0,1) funkcja nie jest różnowartościowa.

16 Własności funkcji: g(x)=-x2+9
D=R Zw= (-∞, 9 > f↘ dla xϵ <0, +∞) f↗ dla xϵ (-∞, 0 > x0 ϵ {-3,3} ymax = 9 ymin - nie istnieje y > 0 ⇔ xϵ (-3,3) wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami w dół, jej wierzchołek znajduje się w punkcie W=(0,9) funkcja nie jest różnowartościowa.

17 f(x)=g(x) x2+1=-x2+9 x2+x2=9-1 2x2=8 x2=4 x=-2 lub x=2 x ϵ {-2,2}
Ad.b) f(x)=g(x) x2+1=-x2+9 x2+x2=9-1 2x2=8 x2=4 x=-2 lub x= x ϵ {-2,2} f(-2)=g(-2)=5 f(2)=g(2)=5 Wykresy funkcji przecinają się w dwóch punktach: A i B o współrzędnych: A=(-2,5) B=(2,5)

18 f(x)>g(x) x2+1>-x2+9 o + + - x2+x2>9-1 2x2>8 x2>4
Ad.c) f(x)>g(x) x2+1>-x2+9 x2+x2>9-1 2x2>8 x2>4 x1=-2 lub x2=2 x ϵ (-∞,-2) ∪ ( 2 ,+∞) ZR = (-∞,-2) ∪ ( 2 ,+∞) Wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g dla: + + o -2 o 2 - x