Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

Prezentacja na temat: "Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK"— Zapis prezentacji:

1 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Wykład 6 Rachunek Zdań 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

2 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Zdania Przedmiotem badań rachunku zdań są "zdania”. Niezbyt precyzyjnie można powiedzieć, że są to zdania w języku naturalnym, którym można przypisać wartość prawdy lub fałszu. To nie są zdania rachunku zdań Przykłady (1) Dziś jest środa. (2) W naszej strefie klimatycznej są cztery pory roku. (3) Każdy miesiąc ma tyle samo dni. Jaka dziś pogoda? Mam ochotę wyjechać do ciepłych krajów. Sądzę, że będzie ładna pogoda. Oznaczenie w(a)=1, tzn a jest zdaniem prawdziwym w(a)=0, tzn. a jest zdaniem fałszywym 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

3 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Zdania złożone Definicja Niech V będzie zbiorem zdań elementarnych (nazywać je będziemy zmiennymi zdaniowymi). Zbiór poprawnych wyrażeń (formuł) Rachunku Zdań jest to najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wyrażeń zawierający V i taki, że jeśli p i q są zdaniami, to wyrażenia  p, (p  q), (p  q), (p  q), (p  q) są zdaniami. Przykłady ( p  (p  q)) ( (p  q)  (p  q))   p (2+2=5  Warszawa jest stolicą Polski) ( (p  q)   q ) - nie jest formułą poprawną Symbole ,  ,  ,  ,  nazywamy funktorami zdaniotwórczymi lub spójnikami logicznymi. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

4 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Tablice logiczne p  p    negacja implikacja koniunkcja alternatywa   ,  ,  ,  funktory 2 argumentowe  funktor 1 argumentowy Zbiór {0,1} z operacjami  ,  ,  ,  nazywamy dwuelementową algebrą Boole’a . rownoważność 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

5 Semantyka zdań złożonych
Mając wartości zdań prostych i znając tablice logiczne dla funktorów można określić wartość logiczną zdań złożonych. w(a o b)= w(a) o w(b), w( a)=  w(a), gdzie o oznacza dowolny dwuargumentowy funktor oraz a,b są dowolnymi zdaniami Policzmy wartość formuły  a  (a ) wiedząc, że w(a)=1 w()=0. w( a  (a ) )=w( a ) w(a ) = 0  w(a )= 0 (w(a) w( )) = 0 (1  0) = 0  0 = 1 Funktory  ,  ,  ,  , mają wspólną własność : wartość logiczna zdań utworzonych przy ich pomocy zależy jedynie od wartości logicznej zdań, z których powstało wyrażenie a nie od sensu tych zdań. Taką własność funktorów nazywamy ekstensjonalnością. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

6 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Przykład Wartość zdania : ’wszyscy na tej sali żywo interesują się logiką lub na tej sali wszyscy śpią’ zależy tylko od tego jaka jest wartość zdań: ‘wszyscy na tej sali żywo interesują się logiką ‘ i ’na tej sali wszyscy śpią’. Wartość logiczna zdania ‘Myślę, że wszyscy na sali żywo interesują się logiką lub na tej sali wszyscy śpią’ zależy nie od zdań składowych ale od tego co ja o tym myślę. "Myślę, że”, "Sądze, że " można uznać za operatory zdaniotwórczye ale nie mają one własności ekstensjonalności. Rachunek zdań nie zajmuje się takimi funktorami. Pytanie: Ile istnieje funktorów 1-argumentowych ekstensjonalnych? A ile 2 argumentowych? 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

7 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Tautologie Definicja Formułę rachunku zdań, której wartością jest prawda, niezależnie od wartości zmiennych zdaniowych w niej występujących, nazywamy tautologią lub prawem rachunku zdań. Matryca logiczna (tablica wartości logicznych) tautologii ma kolumnę wartości wypełnioną tylko jedynkami. Definicja Formuła, której wartością jest fałsz, niezależnie od wartości zmiennych zdaniowych w niej występujących, nazywamy sprzeczną. Matryca logiczna formuły sprzecznej ma kolumnę wartości wypełnioną tylko zerami. Formuła a rachunku zdań jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy a jest zdaniem sprzecznym. Lemat 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

8 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Przykłady (1) (a  (b  a)) prawo symplifikacji (2) (a  a) prawo wyłączonego środka (3) (a  a) prawo wyłączonej sprzeczności (4) ( a)  a prawo podwójnego przeczenia (5)  a  (a ) prawo Dunsa Scotusa (6) ( a a)  a prawo Claviusa (7) (a  (b c))  ((a )  (a c) prawo Fregego Tablice logiczne Ad (3) Jeśli w() = 0, to w((a  a)) =  w(a  a) =  (w(a)  w( a)) =  (0   w(a)) =  (0  1) =  0 = 1 Jeśli w() = 1, to w((a  a)) =  w(a  a) =  (w(a)  w( a)) =  (1   w(a)) =  (1  0) =  0 = 1 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

9 Przykłady A ile to kosztuje?
Tak, to jest prawo RZ Sprawdźmy, czy formuła (a  )  ( ) jest prawem (prawo de Morgana)Rachunku Zdań. a  a   (a  )     formuła Metoda tu zaprezentowana nosi nazwę metody zero-jedynkowej. Polega ona na rozważeniu wszystkich możliwych przypadków wartości zdań składowych i policzeniu w każdym przypadku wartości formuły. A ile to kosztuje? 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

10 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Obserwacja Jeżeli formuła zależna od zmiennych zdaniowych p1,..., pn jest tautologią, to wstawiając na miejsce zmiennych dowolne zdania otrzymamy zdanie prawdziwe. Co więcej, jeśli na miejsce zmiennych wstawimy dowolne schematy zdań (dowolne formuły), to otrzymany schemat będzie również tautologią. Przykład Formuła (a  )  (   a) jest tautologią. Zatem następujące zdania są prawdziwe: (1) ’x jest elementem A’ implikuje, że ‘x jest elementem B’ wtedy i tylko wtedy, gdy ‘x nie jest elementem B’ implikuje, że ‘x nie jest elementem A’. (2) ((a  )  (a ) )  ( (a )   (a  ) ) 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

11 Reguły wnioskowania a1, a2, ... , an b
Reguły dowodzenia (reguły wnioskowania) są to przekształcenia postaci przesłanki a1, a2, ... , an b wniosek b jest logiczną konsekwencją a1, a2, ... , an które pewnemu skończonemu zbiorowi schematów (formuł) 1,..., n, przyporządkowują schemat , w taki sposób, że przy dowolnie wybranych wartościach zmiennych występujących w schematach 1,..., n,  , jeśli przesłanki są zdaniami prawdziwymi, to wniosek też jest zdaniem prawdziwym. Czyli musi być spełniony warunek: Jeśli tylko w(a1)=1, w( a2)= , w(an)=1, to w(b)=1. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

12 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Przykłady reguł ,     Reguła odrywania modus ponens (  ) , (b  g ) (  g ) Reguły sylogizmu warunkowego (  ) (b  g)  (  g ) Czy te reguły są poprawne? 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

13 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Zastosowanie reguł To jest poprawna reguła dowodzenia d  (s s) d Dowody tego typu nazywamy dowodami apagogicznymi Przykład Chcemy udowodnić, że formuła (())(()) (tzw. Prawo eksportacji) jest prawem rachunku zdań. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. przypuśćmy, że są takie wartości zdań składowych, że w((() )(( ))) = 0. Zatem musiałoby być (1) w((() ))=1 oraz (2) w(( ))=0. Znów korzystamy z własności implikacji i z (2) mamy (3) w()=1 oraz (4) w( )= 0. Z (4) wynika że w()=1 oraz w()= 0. Stąd na mocy (3) mamy w()=1 , a zatem w(())=0 (wbrew (1)!). Korzystając z powyższej reguły wnioskujemy, że w((())(()))=1. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

14 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Przypominam, że funkcję g: Y X nazywamy odwrotną do f : X Y jeśli Y=f(X) i X=g(Y) oraz g(f(x))=x dla wszystkich x X Dowody nie wprost Przykład Jeżeli funkcja g : Y X jest funkcją odwrotną do funkcji f: X Y, to g jest różnowartościowa. Gdyby g nie była funkcją różnowartościową zatem musiałyby istnieć w Y elementy y1y2 takie, że g(y1)=g(y2). Wówczas mamy (*) f (g(y1))=f(g(y2)). Ponieważ g jest funkcją odwrotną do f, zatem Y=f(X) czyli y1, y2 f(X) Stąd istnieją takie elementy x1,x2X, że f(x1)=y1 oraz f(x2)=y Wstawiając do równości (*) otrzymujemy f(g(f(x1)) ) = f(g(f(x2)) ). Stąd i z definicji funkcji odwrotnej mamy f(x1)=f(x2), a zatem y1=y2 . Sprzeczność. Zatem, jeśli tylko y1y2, to g(y1)g(y2). Czyli funkcja g też jest funkcją różnowatościową c.b.d.o. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

15 Sprowadzanie do sprzeczności
Przykład Udowodnimy, że 2 jest liczbą niewymierną. Chcemy pokazać, że jeśli x jest liczbą rzeczywistą taką, że x2=2, to x jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy przeciwnie, że (1) x2=2 oraz (2) x jest liczbą wymierną. Na mocy (2) x= n/m dla pewnych liczb całkowitych n,m i m 0. Możemy założyć, że n i m nie mają wspólnych dzielników. Mamy n2/m2 = 2, czyli n2= 2m2 . Wynika stąd, że n2 jest liczbą parzystą. W konsekwencji n też musi być liczbą parzystą (bo gdyby n było nieparzyste, np. n=2k+1, n2= 4k2+ 4k+1 byłoby też liczbą nieparzystą). Niech n = 2k . Wtedy mamy n2 = 4k2= 2m2. Stąd 2k2=m2 , tzn. m też jest liczbą parzystą. Sprzeczność z założeniem, że n i m nie mają wspólnych dzielników. Zatem 2 jest liczbą niewymierną. c.b.d.o. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

16 Własności Reguły wnioskowania pozwalają na
wydedukowanie z już istniejących nowych tautologii Własności Twierdzenie 1 Jeśli wszystkie przesłanki reguły wnioskowania są tautologiami, to wniosek w tej regule też jest tautologią. Twierdzenie 2 Niech 1,..., n,  będą formułami rachunku zdań. Formuła (1... n)  jest tautologią, wtedy i tylko wtedy, gdy 1, 2, ..., n  jest poprawną regułą wnioskowania. Tautologie są źródłem nowych reguł wnioskowania 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

17 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK
Logika a informatyka while (p  (p  q)) do x := x+1 od Jaka jest wartość x po wykonaniu tej pętli? If a then I1 else if b then I2 else I3 fi fi Załóżmy, że (a  b) jest prawdą ilekroć wykonujemy powyższą instrukcję warunkową. Czy instrukcja I3 będzie kiedykolwiek wykonana? 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

18 Pojęcie dowodu Aksjomaty + Reguły wnioskowania = system dedukcyjny
Np.: reguła modus ponens Np. tautologie (1,5,6,7) Ciąg formuł 1,..., n nazywamy formalnym dowodem formuły  wtedy i tylko wtedy, gdy każda z formuł i jest albo aksjomatem albo została już wcześniej udowodniona albo jest wnioskiem w pewnej regule dowodzenia, w której przesłankami są formuły występujące wcześniej niż i w tym ciągu. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK

19 Przykład dowodu formalnego
Następujący ciąg formuł jest dowodem formalnym formuły (AA). (1) (A ((A  A) A)) (2) (A (A A)) (3) ((A ((A  A) A))  ((A (A  A)) (AA))) (4) ((A (A  A)) (AA)) (5) (AA) tautologia postaci (a (ba)) (prawo symplifikacji) Prawo symplifikacji prawo Fregego ((a(bc)) ((ab) (ac))) z (1) i (3) i reguły m.p. z (4) i (2) i reguły m.p. 7 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK