Dwie podstawowe klasy systemów, jakie interesują nas

Prezentacja na temat: "Dwie podstawowe klasy systemów, jakie interesują nas"— Zapis prezentacji:

1 Dwie podstawowe klasy systemów, jakie interesują nas
w inżynierii sterowania Sygnał Systemy sterowania: składają się z dwóch (pod)systemów – sterującego i sterowanego; system sterujący oddziałuje na system sterowany tak, aby osiągnięty został postawiony cel działania systemu sterowanego Sygnał Zadana trajektoria sterowania Zakłócenia System System Sygnał Sterownik Sygnał Obserwacje Sterowania System Proces Zakłócenia Sygnał

2 System Sygnał Sygnał Przetwarzanie
Systemy przetwarzania sygnałów: przetwarzają sygnały pojawiające się na ich wejściu w celu wytworzenia na wyjściu sygnału o pożądanych cechach Sygnał Sygnał System Przetwarzanie Wejście Wyjście

3 Systemy sterowania Pralka Silnik samochodowy i układ hamulcowy Roboty
Rafineria nafty

4 Systemy przetwarzania sygnałów
Studio nagrań cyfrowych Komunikacja satelitarna Kompresja obrazów video Rozpoznawanie obrazów Animacje filmowe

5 Modele… W inżynierii sterowania, pracujemy najczęściej z modelami , które pozbawione są nieistotnych, z punktu widzenia rozwiązywanego problemu, szczegółów i można z nich „korzystać” w sposób w jaki nie można tego robić z obiektami rzeczywistymi

6 Sygnał – definicja szeroka
Sygnał jest funkcją, która reprezentuje informację Informacja w formie Rzeczywistość wielkości fizycznej (prąd, napięcie, … wielkości audio-wizualne ……. “Sygnał” MODEL Funkcja matematyczna Abstrakcja

7 Skupimy się na sygnałach, które są funkcjami czasu
Sygnał – definicja wąska Sygnał jest funkcją czasu Np.:  f – siła działająca na pewna masę vwy – napięcie wyjściowe pewnego obwodu  p – ciśnienie akustyczne w pewnym punkcie Notacje:  f , vwy, p lub f(), vwy(), p() – sygnał jako całość, funkcja f(t), vwy(1.2), p(t+2) – wartość sygnału w chwili t, 1.2, t+2 odpowiednio Dla czasu będziemy zwykle używali symboli: t, , t1, . . .

8 Sygnał – określony na dziedzinie
Dziedzina sygnału w szerokim sensie: zbiór na którym określony jest sygnał – zbiór zmiennych niezależnych Dziedzina sygnału w wąskim sensie: zbiór chwil czasowych na którym określony jest sygnał – zbiór zmiennych niezależnych Dziedzina sygnału może być:  ciągła – sygnał ciągły w czasie dyskretna – sygnał dyskretny w czasie Powszechne dziedziny:  wszystkie t tzn. tR  nieujemne t: t0 (t = 0, oznacza zwykle początkowy punkt obserwacji  t w pewnym przedziale: a  t  b  t w równomiernie rozłożonych punktach: t = kh + t0, k = 0, 1, 2, …

9 Napięcie mikrofonu [mV]
Sygnały - przykłady Przykład 1 – napięcie na wyjściu mikrofonu dla słowa „car”: Napięcie mikrofonu [mV] Czas [ms]  Sygnał – ciągły w czasie, ciągły w wartości (napięcie mikrofonu)  Czas – zmienna niezależna  Napięcie mikrofonu – zmienna zależna

10 Zmiana temperatury [K]
Przykład 2 – zmiana temperatury ściany budynku o grubości 15 [cm] przy skokowej zmianie temperatury zewnętrznej o 10[K]: Zmiana temperatury [K] Położenie [m] Powierzchnia zewnętrzna Powierzchnia wewnętrzna  Sygnał - ciągły w czasie i położeniu, ciągły w wartości (temperatura)  Położenie w ścianie, czas – zmienne niezależne  Temperatura ściany – zmienna zależna

11 Przykład 3 – wartość indeksu giełdowego w pewnym okresie
Czas [tygodnie]  Sygnał - dyskretny w czasie, ciągły w wartości (wartość indeksu)  Czas – zmienna niezależna  Wartość indeksu – zmienna zależna

12 Przykład 4 – oceny z teorii systemów w pewnym uniwersytecie
Liczba ocen [-] Ocena[-]  Sygnał - dyskretny w skali ocen, dyskretny w wartości (liczba ocen)  Skala ocen – zmienna niezależna  Liczba ocen – zmienna zależna

13 Przykład 5 – stopnie szarości obrazu
 Sygnał – ciągły w klatce obrazu (współrzędne), ciągły w skali szarości  Współrzędne klatki obrazu – zmienne niezależne  Stopień szarości – zmienna zależna

14 Przykład 6 – zmienność stopni szarości obrazu w czasie
Czas[s] Sygnał – ciągły w klatce obrazu (współrzędne), ciągły w skali szarości i dyskretny w czasie,  Współrzędne klatki obrazu, czas – zmienne niezależne  Stopień szarości – zmienna zależna

15 Sygnały - klasyfikacje  ciągłe w czasie – dyskretne w czasie
t  R, x(t) = sin(2440t) t x Dziedzina sygnału: zbiór liczb rzeczywistych Sygnał ciągły w czasie - analogowy n  N, x(n) = sin(2n  440T) n x T Dziedzina sygnału: zbiór liczb naturalnych Sygnał dyskretny w czasie - próbkowany

16 Sygnał – ma określony wymiar i jednostki miary
Wyróżniamy:  sygnały skalarne: u(t) jest liczbą rzeczywistą  sygnały wektorowe: u(t) jest wektorem o pewnym wymiarze Skupimy się na sygnałach skalarnych Jednostki miary to jednostki fizyczne sygnału Np.:  V, mA, m/s, …  czasem jednostka miary jest 1 (sygnał bezmiarowy) lub nie jest on specyfikowany

17 Sygnał – przyjmuje określone wartości
Wartości sygnału: zbiór z którego wybierane są wartości sygnału Sygnał może przyjmować wartości:  ciągłe – sygnał ciągły co do wartości dyskretne – sygnał dyskretny co do wartości – sygnał skwantowany Powszechne dziedziny: wszystkie wartości rzeczywiste tzn. uR  wartości rzeczywiste z pewnego przedziału: a  u  b  wartości wymierne wynikające z kwantyzacji sygnału tzn. uQ

18 Sygnał ciągły w czasie i ciągły co do wartości – sygnał analogowy
Głos Amplituda Czas A/D x y Sygnał dyskretny w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał cyfrowy Indeks Amplituda (I16) Głos komputerowy

19 Cztery najbardziej nas interesujące kategorie sygnałów:
Sygnał ciągły w czasie i ciągły co do wartości – sygnał analogowy Amplituda Czas Sygnał ciągły w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał ciągły skwantowany Amplituda Czas Sygnał dyskretny w czasie i ciągły co do wartości – sygnał próbkowany Amplituda Czas Sygnał dyskretny w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał cyfrowy Amplituda Czas

20 Układ sterowania cyfrowego
Zatrzask i przetwornik A/D Zegar Komputer cyfrowy Przetwornik D/A Aproksymator Element wykonawczy Obiekt sterowany Czujnik i przekształtnik Układ przetwarzania cyfrowego sygnałów Przekształtnik sygnału Filtr dolnoprzep. Zatrzask i przetwornik A/D Monitor Klawiatura Przetwornik A/D i aproksym. Procesor Pamięć programu Pamięć danych Modem Do innego układu cyfrowego przetwarzania sygnałów

21 Stosowane oznaczenia:
Sygnał – niosąc informację o stanie lub zachowaniu systemu fizycznego, jest reprezentowany matematycznie jako funkcja jednej lub wielu zmiennych niezależnych Stosowane oznaczenia:  Sygnał ciągły w czasie  Sygnał dyskretny w czasie  Sygnał ciągły w wartości  Sygnał dyskretny w wartości Przykładowe połączenia: Próbkowanie w t = nT T: okres próbkowania Przetwarzanie D/A Zatrzaskiwanie Przetwarzanie A/D

22 ! Będziemy pomijać efekt kwantyzacji przetwarzania analogowo – cyfrowego i stosowali zamiennie określenia sygnał/system dyskretny i sygnał system cyfrowy

23 Elementarne sygnały analogowe i cyfrowe
Funkcja skoku jednostkowego Sekwencja skoku jednostkowego także: Funkcja skoku opóźnionego i skalowanego Sekwencja skoku opóźnionego i skalowanego

24 Funkcja impulsu jednostkowego Sekwencja impulsu jednostkowego
także: Funkcja impulsu opóźnionego i skalowanego Sekwencja impulsu opóźnionego i skalowanego

25 Zależności: - pomiędzy (t) i uS(t) - pomiędzy [n] i uS[n]

26 Funkcja impulsu prostokątnego
Sekwencja impulsu prostokątnego

27 Funkcja impulsu trójkątnego
Sekwencja impulsu trójkątnego

28 Funkcja eksponencjalna rzeczywista
Sekwencja eksponencjalna rzeczywista

29 Funkcja sinusoidalna rzeczywista
Sekwencja sinusoidalna rzeczywista

30 Będziemy rozróżniali:
System jest obiektem lub procesem, który przetwarza sygnały, czyli wytwarza odpowiedź nazywaną wyjściem w odpowiedzi na wymuszenie nazywane wejściem Najbardziej ogólnie: System może być opisany za pomocą pewnego operatora skalarnego O lub wektorowego O, który wiąże wektor sygnału wejściowego u(t) z wektorem sygnału wyjściowego y(t) Będziemy rozróżniali: System ciągły System dyskretny Wejście Wyjście O

31 Systemy liniowe i nieliniowe (Linear and Nonlinear systems)
Mówimy, że system jest liniowy jeżeli spełnia on zasadę superpozycji, to znaczy, że posiada on następujące właściwości: Jednorodność: Wyjście systemu pobudzanego pojedynczym wejściem u(t) wzmocnionym w stopniu a jest takie same, jak wzmocnione w takim samym stopniu wyjście systemu odpowiadające wejściu u(t)

32 Addytywność: Wyjście systemu pobudzanego przez sumę wejść jest takie same, jak suma jego wyjść obserwowanych dla każdego z tych wejść oddzielnie

33 Graficzna ilustracja warunku addytywności

34 Praktyczne wskazówki:
Na nieliniowość wskazują  jakiekolwiek niezerowe stałe w opisie systemu  jakiekolwiek nieliniowe wyrażenia związane z sygnałami takie np. jak x2(t) x(t)y(t) i pochodnymi sygnałów ciągłych czasu w równaniu różniczkowym lub różnicowym Przykłady: Systemy ciągłe: Systemy dyskretne: Liniowe Nieliniowe

35 Łącznie zasada superpozycji
Systemy ciągłe: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu wyjście systemu jest to znaczy

36 Systemy dyskretne: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu wyjście systemu jest to znaczy

37 Przykład - system ciągły dynamiczny
Mając system dynamiczny opisany równaniem różniczkowym określić, czy jest on liniowy dla zerowych warunków początkowych

38 a) Niech: y1(t) wyjście systemu dla wejścia u1(t), a y2(t) wyjście systemu dla wejścia u2(t) Zatem: oraz

39 Dla systemu liniowego, dla wejścia
wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy System jest liniowy

40 b) Niech: y1(t) wyjście systemu dla wejścia u1(t), a y2(t) wyjście systemu dla wejścia u2(t) Zatem: oraz

41 System jest nieliniowy
Dla systemu liniowego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy System jest nieliniowy

42 Systemy dyskretne dynamiczne:
Mając system dynamiczny opisany równaniem różnicowym określić, czy jest on liniowy Sprawdzić osąd dla wejść oraz obliczając cztery pierwsze wartości wyjść Przyjąć warunek początkowy

43 a) Niezerowy składnik stały sugeruje nieliniowość – można zastosować metodę kontrprzykładu, tzn. pokazać jeden przykład, kiedy zasada superpozycji nie jest spełniona dla systemu Spróbujemy pokazać najpierw ogólnie, że system jest nieliniowy Niech: y1[n] wyjście systemu dla wejścia u1[n], a y2[n] wyjście systemu dla wejścia u2[n] Zatem dla wejścia Dla wejścia wyjście wyjście Kombinacja liniowa wyjść y1[n] i y2[n] dla wejść u1[n] i u2[n] wyniesie

44 System jest nieliniowy
Dla systemu liniowego, dla kombinacji liniowej wejść u1[n] i u2[n] wyjście powinno wynosić zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest nieliniowy

45 Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie
Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u1[n] Dla sygnału u2[n] czyli czyli Kombinacja liniowa sygnałów wyjścia

46 System jest nieliniowy
Odpowiedź systemu na podaną kombinację liniową sygnałów wejściowych wyniesie czyli zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest nieliniowy

47 b) Dla wejścia Dla wejścia wyjście będzie wynosić wyjście będzie wynosić zatem Dla wejścia wyjście powinno wynosić zatem System jest liniowy

48 Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie
Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u1[n] Dla sygnału u2[n] czyli czyli Kombinacja liniowa sygnałów wyjścia

49 Odpowiedź systemu na podaną kombinację liniową sygnałów wejściowych
czyli zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest liniowy

50 Systemy stacjonarne i niestacjonarne (Time-invariant and Time-varing systems)
Mówimy, że system jest stacjonarny, jeżeli dowolne przesunięcie czasu  dla sygnału wejścia u(t+) powoduje takie samo przesunięcie czasu dla sygnału wyjścia, to znaczy przy założeniu, że wyjście dla wejścia u(t) wynosi y(t) i warunki początkowe są identyczne

51 Praktyczne wskazówki:
Na niestacjonarność wskazują  jakiekolwiek niejednostkowe stałe związane z argumentem czasu np. u(2t), u(-t), u[2n], u[-n]  jakiekolwiek współczynniki będące funkcjami czasu w równaniu różniczkowym lub różnicowym Systemy dyskretne: Systemy ciągłe: Stacjonarne Niestacjonarne Przykłady:

52 Graficzna ilustracja warunku stacjonarności
System stacjonarny System niestacjonarny

53 Wyrazimy wprost warunek stacjonarności dla systemów ciągłych i dyskretnych
Systemy dyskretne: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu to znaczy Systemy ciągłe: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu to znaczy

54 Przykład - system ciągły dynamiczny
Mając system dynamiczny opisany równaniem różniczkowym określić, czy jest on stacjonarny dla zerowych warunków początkowych a) Niech: y(t) wyjście systemu dla wejścia u(t) Zastępując w równaniu systemu t przez tt1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu

55 System jest niestacjonarny
otrzymamy otrzymaliśmy poprzednio Zatem System jest niestacjonarny

56 System jest stacjonarny
b) Niech: y(t) wyjście systemu dla wejścia u(t) Zastępując w równaniu systemu t przez tt1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy Zatem System jest stacjonarny

57 Przykład - system dyskretny dynamiczny
Mając system dynamiczny opisany równaniem różnicowym określić, czy jest on stacjonarny Sprawdzić osąd dla wejść obliczając cztery pierwsze wartości wyjść Przyjąć warunek początkowy

58 System jest niestacjonarny
Niech: y[n] wyjście systemu dla wejścia u[n] Zastępując w równaniu systemu n przez nn1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu System jest niestacjonarny

59 System jest niestacjonarny
Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u[n] Dla sygnału u[n-2] wyjście systemu wyjście systemu wynosi wynosi czyli czyli System jest niestacjonarny

60 System jest stacjonarny
b) Niech: y[n] wyjście systemu dla wejścia u[n] Zastępując w równaniu systemu n przez nn1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu System jest stacjonarny

61 System jest stacjonarny
Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u[n] Dla sygnału u[n-2] wyjście systemu wyjście systemu wynosi wynosi czyli czyli System jest stacjonarny

62 Inne klasyfikacje systemów dynamicznych
 systemy przyczynowe i nieprzyczynowe  systemy odwracalne i nieodwracalne Rożne kategorie systemów związane z liniowością i stacjonarnością  Liniowe stacjonarne (Linear Time-invariant (LTI)) Systemy liniowe stacjonarne to systemy, które są liniowe i stacjonarne (wszystkie ich współczynniki są stałe w czasie); piszemy

63  Liniowe niestacjonarne (Linear Time-varying (LTV))
Systemy liniowe niestacjonarne to systemy, które są liniowe i w których co najmniej jeden współczynnik jest zmienny w czasie a zatem i operator O jest zmienny w czasie; piszemy  Nieliniowe stacjonarne (Nonlinear Time-invariant (NTI)) Systemy nieliniowe stacjonarne to systemy, których operator jest stacjonarny, ale zależy od wejścia; piszemy

64  Nieliniowe niestacjonarne (Nonlinear Time-varying (NTV))
Systemy nieliniowe niestacjonarne to systemy nieliniowe, w których co najmniej jeden współczynnik jest zmienny w czasie, a zatem i operator O jest zmienny w czasie; piszemy

65 – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu
Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu