Przykład 1: obiekt - czwórnik RC

Prezentacja na temat: "Przykład 1: obiekt - czwórnik RC"— Zapis prezentacji:

1 Przykład 1: obiekt - czwórnik RC
Wróćmy do Przykładu 1 (przedstawiony na poprzednim wykładzie) Przykład 1: obiekt - czwórnik RC Cel budowy modelu: ustalenie zależności wiążących napięcie wejściowe czwórnika z napięciem wyjściowym, przy nie obciążonym prądowo wyjściu czwórnika

2 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

3 Prawo przekształcenia u(t) w y(t)
Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 1: Struktura modelu - parametr modelu, wzmocnienie sygnału wyjścia

4 Mogliśmy tak postąpić, bo …….
Powody zmian sygnału wyjściowego (odpowiedzi) obiektu: 1. Niezerowy warunek początkowy 2. Niezerowy przebieg sygnału wejściowego Poszukiwana była odpowiedź obiektu przy działaniu każdego z tych powodów ruchu obiektu oddzielnie Mogliśmy tak postąpić, bo …….

5 I. Ogólne spojrzenie na model matematyczny systemu dynamicznego
 Każdy system dynamiczny realizuje pewne przekształcenie na sygnale, który pojawia się na jego wejściu tzn. pojawiająca się na jego wejściu funkcja czasu (sygnał wejściowy u(t)) przekształcana jest w określoną funkcję na jego wyjściu (sygnał wyjściowy y(t) ) Z matematycznego punktu widzenia, zasada według której danej funkcji przyporządkowywana jest inna funkcja nazywana się operatorem W modelach matematycznych ten operator określany jest równaniami modelu i warunkami początkowymi  Zatem, możemy powiedzieć: każdemu systemowi dynamicznemu odpowiada operator nazywany operatorem systemu A

6 II. System liniowy - spełnia zasadę superpozycji i tylko on
Możemy zasadę superpozycji podać w postaci: System jest liniowy wtedy i tylko wtedy, kiedy spełnia dwa następujące warunki: 1. odpowiedź na sumę dwóch dowolnych wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na każde z nich 2. odpowiedź na dowolnie wzmocnione wymuszenie jest równa tak samo wzmocnionej odpowiedzi na to wymuszenie

7 lub w postaci: System jest liniowy wtedy i tylko wtedy, kiedy spełnia następujący warunek: - odpowiedź na dowolną kombinację liniową dwóch dowolnych wymuszeń jest równa takiej samej kombinacji liniowej odpowiedzi na każde z nich

8

9 Przykład 1 – test liniowości
System odpowiada na wymuszenie sygnałem przedstawionym na rys.1 a na wymuszenie sygnałem przedstawionym na rys. 2. Odpowiedź systemu na wymuszenie przedstawiona jest jest na rys. 3. Czy jest to system liniowy ze względu na wejścia? System liniowy

10 Przykład 2 – test liniowości
System odpowiada na wymuszenie sygnałem przedstawionym na rys.1 a na wymuszenie sygnałem przedstawionym na rys. 2. Odpowiedź systemu na wymuszenie przedstawiona jest jest na rys. 3. Czy jest to system liniowy ze względu na wejścia? System nieliniowy

11 III. System stacjonarny
System jest stacjonarny wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiedź na dowolnie przesunięte w czasie wymuszenie jest równa tak samo przesuniętej odpowiedzi

12 Przykład 3 – test stacjonarności
System stacjonarny

13 System niestacjonarny
Przykład 4 – test stacjonarności System niestacjonarny

14 IV. Wykorzystane zostało z pojęcie jednostkowej funkcji impulsowej zwanej też funkcją delta Diraca lub krótko funkcją delta Definicja: 1. amplituda 2. pole powierzchni pod grafikiem funkcji Powyższą definicję można traktować jako określającą funkcje delta jako różną zeru wszędzie poza chwilą t = 0. Można oczywiście wybrać dowolną chwilę t = t0, 1. amplituda 2. pole powierzchni pod grafikiem funkcji

15 Aproksymacyjna intuicja jednostkowej funkcji impulsowej:

16 Inne definicje i właściwości:
1. Jeżeli jest funkcją ciągłą w lub, jeżeli jest funkcją ciągłą w 2. Jeżeli jest funkcją ciągłą w lub, jeżeli jest funkcją ciągłą w

17 3. Funkcja impulsowa jest funkcją parzystą
4. Dowolną funkcję ciągłą można przedstawić jako czyli , że dowolną funkcję u(t) można przedstawić w postaci sumy nieskończonej składowych o postaci u()(t- )d

18 Wróćmy do Przykładu 1 i poszukiwania odpowiedzi układu RC
1. Niezerowy warunek początkowy, zerowy przebieg sygnału wejściowego a. - chwila początkowa obserwacji obiektu b. - zerowy przebieg sygnału wejściowego dla chwil późniejszych od rozpoczęcia obserwacji c. - niezerowy warunek początkowy

19 Wizualizacja : Poszukujemy: - odpowiedzi obiektu przy zerowym wejściu (ZI – Zero Input) Model obiektu (przypomnienie ogólnej postaci), dla czwórnika RC, miał postać,

20 (równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach (stacjonarne))
Przy zerowym wejściu (ZI – Zero Input) model przyjmuje postać (równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach (stacjonarne)) dla czwórnika RC, Rozwiązanie: 1. Postulujemy rozwiązanie o postaci: 2. Podstawiając postulowaną postać do rozwiązywanego równania:

21 3. Ogólna postać rozwiązania:
- stała zależna od warunku początkowego 4. Rozwiązanie spełnia równanie dla wszystkich t, w szczególności zatem dla t=t0: 5. Końcowa postać rozwiązania: Dla czwórnika RC, Fakt znany z fizyki – rozładowywanie się kondensatora o pojemności C przez rezystor o oporności R między okładkami którego panowało początkowo napięcie UC,0 (ładunek zgromadzony w kondensatorze UC,0C)

22 Wizualizacja :

23 2. Zerowy warunek początkowy, niezerowy przebieg sygnału wejściowego
Jako niezerowy sygnał wejściowy wybrany został sygnał impulsowy o intensywności S

24 Mamy zatem: a. - chwila początkowa obserwacji obiektu b. - niezerowy przebieg sygnału wejściowego c. - zerowy warunek początkowy

25 Wizualizacja : Poszukujemy: - odpowiedzi obiektu przy zerowym warunku początkowym (ZS – Zero State) Model obiektu (przypomnienie ogólnej postaci), dla czwórnika RC, miał postać,

26 (równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach)
Przy zerowym warunku początkowym (ZS – Zero State) model przyjmuje postać (równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach) dla czwórnika RC,

27 Schemat analogowy równania
Etap 1: chwila to Zmiana wartości y(t) z wartości y(t0) =0 do wartości y(t0) = bS Etap 2: chwile t > to Dla chwil t > to układ staje się układem z zerowym wejściem i warunkiem początkowym y(t0) = bS, zatem ostatecznie,

28 Odpowiedź układu na impuls Diraca o intensywności S, przy zerowym warunku początkowym nazywamy, odpowiedzią na impuls Diraca lub krótko odpowiedzią impulsową Odpowiedź układu na impuls Diraca o intensywności S = 1, przy zerowym warunku początkowym nazywamy, odpowiedzią na jednostkowy impuls Diraca lub krótko jednostkową odpowiedzią impulsową W rozważanym przypadku: Dla S = 1, jednostkowa odpowiedź impulsowa Dla czwórnika RC, Dla S=1, jednostkowa odpowiedź impulsowa czwórnika RC,

29 Wizualizacja (dla S=1):

30 Zależności dla momentu przyłożenia impulsu:
Interpretacja fizykalna dla czwórnika RC: I. Impuls napięcia podany na wejście czwórnika II. Impuls prądu dopływający do kondensatora Zależności dla momentu przyłożenia impulsu: III. Napięcie na kondensatorze po zaniku impulsu IV. Rozładowanie kondensatora po zaniku impulsu

31 Składowa swobodna odpowiedzi – zależy tylko od warunku początkowego
Znajdziemy pełną odpowiedź obiektu: 1. Niezerowy warunek początkowy 2. Niezerowy przebieg sygnału wejściowego Skorzystamy z zasady superpozycji (patrz II) Składowa swobodna odpowiedzi – zależy tylko od warunku początkowego Składowa wymuszona odpowiedzi – zależy tylko od sygnału wejściowego obiektu - wymuszenia Dla S = 1,

32 Dla czwórnika RC, Dla S = 1,

33 Wizualizacja (dla S=1):

34 Dyskusja idealizacji – odpowiedź wymuszona, impuls o intensywności 1
Odpowiedź impulsowa Aproksymacja dla impulsu o szerokości 1s Aproksymacja dla impulsu o szerokości 0.01s Czas, s

35 Odpowiedź wymuszona, sytuacja ogólna
Zakładamy: - zerowy warunek początkowy

36 Sposób postępowania: Impuls w chwili o intensywności Aproksymacja sygnału wejściowego sygnałem w przedziale czasu

37 Odpowiedź układu wymuszona przez wejście u(t)
Znamy odpowiedź układu w chwili t, y(t) na sygnał impulsowy pojawiający się na wejściu w chwili ,  o intensywności u Skorzystamy z zasady superpozycji: Ponieważ, to W granicy,  0 Odpowiedź układu wymuszona przez wejście u(t)

38 Odpowiedź układu w chwili t jest ważoną „sumą” (całką) wartości sygnału wejściowego w kolejnych chwilach , u z przedziału t0,t, a wagami są wartości odpowiedzi impulsowej obiektu w przesuniętych t- chwilach czasu Z matematyki: Splot dwóch funkcji f1(t) i f2(t) Zatem: Odpowiedź wymuszona obiektu dynamicznego y(t) przez wejście u(t) jest splotem sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej tego obiektu

39 Przykład – czwórnik RC Przyjmijmy wartości parametrów: R = 10 i C = 0.1F Zatem: Część 1: W chwili t0 = 2s na kondensatorze występuje napięcie początkowe u0 = 2V. W chwili t0 = 2s na wejście układu zostaje podane napięcie stałe u(t) = 4V Wyznacz odpowiedź układu dla t  t0 = 2s

40 Rozwiązanie: a. Składowa swobodna odpowiedzi dla

41 b. Składowa wymuszona odpowiedzi dla

42 c. Pełna odpowiedź dla

43 Część 2: Wyznacz odpowiedź obiektu na sygnał wejściowy przedstawiony na rysunku poniżej Obiekt w chwili t0 = 2s znajduje się w stanie (warunek początkowy wyjścia)

44 Rozwiązanie: Zauważamy, że warunek początkowy i sygnał wejściowy na przedziale czasu są takie same jak w części 1 a. Pełna odpowiedź obiektu dla będzie taka sama jak dla części 1 b. Dla zachodzi - wkład pełnej odpowiedzi obiektu dla - wkład impulsu - nowy stan w chwili

45 Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi
c. Pełna odpowiedź obiektu dla wyznaczamy jako odpowiedź obiektu znajdującego się w chwili w stanie i na wymuszenie (sygnał sterujący) stałe o wartości 1V Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi

46