WYKŁAD 3 Temat: Arytmetyka binarna 1. Arytmetyka binarna 1.1. Nadmiar

Prezentacja na temat: "WYKŁAD 3 Temat: Arytmetyka binarna 1. Arytmetyka binarna 1.1. Nadmiar"— Zapis prezentacji:

1 WYKŁAD 3 Temat: Arytmetyka binarna 1. Arytmetyka binarna 1.1. Nadmiar
1.2. Arytmetyka w systemie uzupełnień do dwóch 1.3. Mnożenie i dzielenie przez dwa 1.4. Binarne mnożenie i dzielenie 2. Liczby zmiennopozycyjne 2.1. Zapis zmiennopozycyjny 2.2. Standardy zapisu

2 1. Arytmetyka binarna przeniesienie 0 + 0 0 + 1 1 + 0 1 + 1
Reguły dodawania Np. dodajmy liczby binarne 1 przeniesienia Dodawane bity  przeniesienie 0 + 0 0 + 1 1 1 + 0 1 + 1

3 1.1. Nadmiar (overflow) Projektując układy realizujące operacje arytmetyczne należy uwzględniać zakres argumentów tych operacji oraz zakres wyniku. Np. błąd ! 1 ZM bitów bitów  wyszło – 6 !

4 1.2. Arytmetyka w systemie uzupełnień do dwóch
Liczby w systemie uzupełnień do dwóch dodaje się w taki sposób jak liczby binarne bez znaku, np. =    Liczby ujemne -1 + (- 2) =    1 pomijamy przeniesienie  Mnożenie robi się przez wielokrotne dodawanie

5 1.3. Mnożenie i dzielenie przez dwa
Wykonuje się przez przesuwanie liczb     na tzw. rejestrach

6 1.4. Binarne mnożenie i dzielenie
Ponieważ w urządzeniach cyfrowych stosuje się sumatory dwuargumentowe, to algorytm mnożenia i dzielenia musi być do tego przystosowany. Nie może być sumowania wielu składników jak to ma miejsce w klasycznym sposobie postępowania. Dlatego też np. w każdym kroku algorytmu mnożenia liczb dwójkowych wykonywane są dwie operacje:  dodawania i przesunięcia iloczynu cząstkowego o jedną pozycje w prawo. Jednym ze składników dodawania jest zawsze iloczyn cząstkowy, a drugi zależy od aktualnej wartości najmniej znaczącego bitu (LSB) mnożnika.

7 2. Liczby zmiennopozycyjne
W dziesiętnym systemie liczbowym do oznaczania bardzo dużych i bardzo małych liczb stosuje się często notację wykładniczą np.:  2,948*10+8 0,  1,704*10-6 wykładnik potęgi lub 1,602* pozycja przecinka dziesiętnego mantysa

8 2.1. Zapis zmiennopozycyjny
Zapis formalny L = M x N E • M - mantysa, liczba mniejsza od jedności; mantysa znormalizowana należy do przedziału < 0.1; 1),  pierwszy znak po przecinku musi być różny od zera; • N - podstawa systemu zgodnie z zapisem pozycyjnym wagowym; • E - cecha, czyli wykładnik potęgi, dzięki któremu przecinek w liczbie zostaje przesunięty tak, aby utworzyć mantysę w zgodzie z powyższą definicją.

9 Zastępując podstawę potęgi 10 podstawą 2, możemy użyć podobnej adnotacji do zapisywania liczb rzeczywistych w komputerze np. 5, może być zapisana jako ,01101*22 lub ,01*2-1  Położenie przecinka może być dynamicznie składane poprzez zmianę wartości wykładnika  zmiennopozycyjna forma zapisu

10 Aby zapisać liczbę zmiennopozycyjną musimy zapisać informację o:
 znaku  mantysie  wykładniku Liczba słów, których do tego celu użyjemy, wraz z metodą kodowania tej informacji nosi nazwę formatu zmiennopozycyjnego np.: +0,101101*23 Liczba binarna zapisana w postaci cecha-mantysa na dwóch bajtach. znak cecha mantysa 1

11 W praktyce zwykle na cechę przeznaczamy jeden bajt, na mantysę minimum trzy bajty.
 ilość bajtów przeznaczonych na cechę decyduje o zakresie  ilość bajtów przeznaczonych na mantysę decyduje o błędzie  Gdy chcemy poprawić dokładność, musimy dodać bajt do mantysy. Gdy chcemy powiększyć zakres reprezentowanych liczb, dodajemy bajt do cechy. Przy jednym bajcie przeznaczonym na mantysę błąd względny nie przekracza 0.8% błąd bezwzględny * 100% wartość liczby Arytmetyka zmiennoprzecinkowa jest bardziej złożona niż arytmetyka liczb całkowitych. Operacje mogą być wykonywane programowo lub sprzętowo przez tzw. koprocesor zmiennopozycyjny (numeryczny).

12 Zakres liczb, który można zapisać używając 8 bitowego wykładnika to w przybliżeniu
od do a precyzja osiągana przy 7 bitowej mantysie to w przybliżeniu od 1 do 103. Dokładność można zwiększyć, używając większej liczby bitów do zapisu mantysy. Stąd ustalono w postaci standardu 2 tryby precyzji:  a/ pojedyncza (4 bajty) b/ podwójna (8 bajtów)

13 2.2. Standardy zapisu Standard IEEE 754 dla liczby rzeczywistej: (4 bajty) Standard IEEE dla liczby podwójnej precyzji: (8 bajtów) Kolejne bity (od lewej) Znaczenie 1 (jeden) znak mantysy 2-9 (osiem) cecha 10-32 (dwadzieścia trzy) mantysa Kolejne bity (od lewej) Znaczenie 1 (jeden) Znak mantysy 2-12 (jedenaście) cecha 13-64 (pięćdziesiąt dwa) mantysa

14 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych IEEE 754 w pojedynczej precyzji
Z(IEEE 754) = - 3,4 • ,4 • 1038 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych IEEE 754 w podwójnej precyzji Z(IEEE 754) = - 1,8 • ,8 • 10308