Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Matematyka to gra rozgrywana według pewnych prostych reguł z nic nie znaczącymi znakami na papierze.” David Hilbert

3 WZÓR FUNKCJI A WYKRES. Funkcję można przedstawiać na wiele sposobów jednak wszystkie te sposoby są ze sobą ściśle powiązane. Kiedy weźmiemy do ręki przepis na ciasto, nie widzimy co nam z niego wyjdzie, ale jeśli będziemy postępowali zgodnie z podaną procedurą, upieczemy smakowity deser. Wzór funkcji możemy traktować jako przepis na jej wykres, jeśli będziemy się go trzymać zobaczymy jak wygląda nasza funkcja.

4 JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU? Przyjrzyjmy się funkcji określonej wzorem:
y = 2x - 2 Zauważmy, że nie podano dziedziny tej funkcji, przyjmujemy więc, że do jej dziedziny należą wszystkie liczby, dla których da się obliczyć wartość tej funkcji – czyli w tym przypadku są to wszystkie liczby rzeczywiste. Korzystając ze wzoru funkcji możemy obliczać jej wartość dla różnych argumentów (wyliczać y dla różnych x). Argumenty wybieramy my, wstawiamy do wzoru i obliczamy wartość funkcji, np.: dla argumentu x = 0 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· 0 – 2 = -2 dla argumentu x = 1 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· 1 – 2 = 0 dla argumentu x = -1 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· (-1) – 2 = -4 itd.

5 JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU? UWAGA
Po obliczeniu kilku, jeśli trzeba nawet kilkunastu wartości dla wybranych przez nas argumentów, możemy sporządzić tabelkę, która ułatwi zaznaczanie punktów na wykresie: Współrzędne odczytujemy parami góra – dół, w tej tabelce mamy punkty o współrzędnych: (-2, -6); (-1, -4); (0, -2); (1, 0); (2, 2); (3, 4); (4, 6) y = 2x - 2 x -2 -1 1 2 3 4 y -6 -4 6 UWAGA Argumenty należy dobierać tak, aby punkty zmieściły się na wykresie i aby łatwo było je zaznaczyć.

6 JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU? Punkty z tabeli zaznaczamy w układzie współrzędnych y = 2x - 2 x -2 -1 1 2 3 4 y -6 -4 6 Zauważmy, że zaznaczone punkty układają się w linie prostą. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, możemy więc połączyć nasze punkty.

7 JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU? A oto wykres naszej funkcji: y = 2x - 2

8 FUNKCJE LINIOWE. Funkcje których wykresem jest linia prosta nazywamy funkcjami liniowymi, do ich narysowania wystarczą nam dwa punkty. Funkcję liniową można rozpoznać po wzorze, ma on zawszę postać: y = ax + b gdzie a i b to liczby rzeczywiste. Oto przykłady innych funkcji liniowych i ich wykresów:

9 FUNKCJE KWADRATOWE. Nie, wykresem takich funkcji nie jest kwadrat, ale jeśli spotasz wzór funkcji w którym najwyższa potęga argumentu to dwa (czyli kwadrat) np. y = 2x2 + 2, to możesz się spodziewać, że wykresem tej funkcji będzie parabola. Najprostsza parabola to wykres funkcji y = x2

10 FUNKCJE KWADRATOWE. Oto przykłady funkcji kwadratowych i ich wykresów:

11 PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA
Proporcjonalność odwrotna to każda funkcja opisana równaniem , gdzie a jest ustaloną liczbą różną od 0 i oczywiście x ≠ 0 – pamiętajmy, nie można dzielić przez 0. Jeśli nie ma podanej dziedziny tej funkcji to przyjmujemy, że jest ona określona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, wtedy wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola.

12 HIPERBOLA. Oto przykład wykresu proporcjonalności odwrotnej dla a = 1:

13 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1.
Jaką wartość przyjmuje dana funkcja dla argumentu x = 0, oraz dla argumentu x = 1. Zamiast zapisywać ciągle „dla argumentu x = … fukcja przyjmuje wartość y = …” łatwiej jest używać zapisu f(x), który oznacza „wartość funkcji f dla argumentu x”. f(x) = x3

14 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. a) f(x) = x3
b) c) ,

15 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2.
Punkty A, B i C należą do wykresu podanej funkcji. Jakie są drugie współrzędne tych punktów? f(x) = 4x(x – 2) A = (-2, _), B = (0, _), C = (-1, _) Pierwsza współrzędna każdego punktu to x czyli nasz argument, aby znaleźć drugą współrzędną wystarczy obliczyć wartość funkcji dla podanych argumentów. f(-2) = 4 · (-2) · (-2 – 2) = -8 · (-4) = 32 f(0) = 4 · 0 · (0 – 2) = 0 f(-1) = 4 · (-1) · (-1 – 2) = -4 · (-3) = 12 Nasze punkty to: A = (-2, 32), B = (0, 0), C = (-1, 12)

16 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Sprawdź, które z podanych w nawiasie są miejscem zerowym funkcji określonej wzorem f(x) = 1 – x3 (1, -1, 0). Wystarczy sprawdzić dla której z tych liczb funkcja przyjmuje wartość 0: f(1) = 1 – 13 = 1 – 1 = 0 f(-1) = 1 – (-1)3 = 1 – (-1) = 2 f(0) = 1 – 03 = 1 – 0 = 1 Miejscem zerowym tej funkcji jest 1.

17 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Uzupełnij tabelkę: W pierwszych dwóch kolumnach wystarczy podstawić podane argumenty do wzoru funkcji: f(2) = 8 – 2 · 2 = 8 – 4 = 4 f(3) = 8 – 2 · 3 = 8 – 6 = 2 y = 8 – 2x x 2 3 y 5

18 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. W dwóch ostatnich kolumnach mamy podaną wartość funkcji, musimy więc wpisać ją do wzoru zamiast y i rozwiązać równanie: Nasza tabelka po uzupełnieniu powinna wyglądać tak: 5 = 8 – 2x 5 – 8 = - 2x -3 = -2x /: (-2) 1,5 = x 0 = 8 – 2x -8 = -2x / : (-2) 4 = x y = 8 – 2x x 2 3 1,5 4 y 5

19 PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 5. Dla jakiego argumentu funkcja o podanym wzorze przyjmuje wartość 5? y = 0,2x – 1 Wystarczy wpisać 5 zamiast y we wzorze i rozwiązać równanie: 5 = 0,2x – = 0,2x 6 = 0,2x / : 0,2 30 = x

20 PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 6. Znajdź miejsce zerowe funkcji y = 0,5x + 5. Zamiast y we wzorze wstawiamy 0 i rozwiązujemy równanie: 0 = 0,5x = 0,5x / : 0,5 -10 = x Miejscem zerowym funkcji y = 0,5x + 5 jest x = -10