Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl.

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl."— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Z TRZEMA NIEWIADOMYMI

3 DEFINICJE: Układ równań liniowych z trzema niewiadomymi można rozwiązać stosując metodę wyznaczników: W= Wy= Wx= Wz= Zajmiemy się rozwiązaniem układu równań z trzema niewiadomymi.

4 Pod wyznacznikiem dopisujemy pierwszy wiersz, pod nim drugi wiersz, tworzymy sześć iloczynów. W= = Wx= =

5 Wy= = Wz= =

6 Jeżeli: a)W ≠ 0 to trójka liczb (x,y,z) jest jedynym rozwiązaniem układu równań (równania układu są niezależne) b) W = 0 to układ może nie mieć rozwiązań (równania układu są sprzeczne) albo może mieć nieskończenie wiele rozwiązań zależnych albo od jednego parametru albo od dwóch parametrów (równania układu są zależne).

7 Przykład 1. Rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W, wyznaczniki Wx, Wy, Wz. Tworzymy kolumny z liczb znajdujących się przed odpowiedniki niewiadomymi.

8 Dopisujemy dwa pierwsze wiersze i obliczamy wyznacznik mnożąc odpowiednie liczby po przekątnej – najpierw wg bordowych linii, potem wg czarnych linii zmieniając znak na przeciwny. W = W = 5·(-2)·(-2)+3·(-3)·4+2·3·2-4·(-2)·2-2·(-3)·5-(-2)·3·3= = 20-36+12+16+30+18=60

9 Obliczamy wyznacznik Wx – tworzymy kolumnę liczb wolnych oraz kolumny liczb znajdujących się przed niewiadomą y i z. Wx= Wx = (-1)·(-2)·(-2)+1·(-3)·4+5·3·2-4·(-2)·5-2·(-3)·(-1)-(-2)·3·1= = -4-12+30+40-6+6=54

10 Obliczamy wyznacznik Wy – tworzymy kolumnę liczb wolnych oraz kolumny liczb znajdujących się przed niewiadomą x i z. Wy= Wy = 5·1·(-2)+3·5·4+2·(-1)·2-4·1·2-2·5·5-(-2)·(-1)·3= = -10+60-4-8-50-6=-18

11 Obliczamy wyznacznik Wz – tworzymy kolumnę liczb znajdujących się przed niewiadomą x i y oraz kolumnę liczb wolnych. Wz= Wz = 5·(-2)·5+3·(-3)·(-1)+2·3·1-(-1)·(-2)·2-1·(-3)·5-5·3·3= = -50+9+6-4+15-45=-69

12 Wyznacznik główny W jest różny od zera, dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru: Zbiorem rozwiązań układu równań jest trójka liczb:

13 Przykład 2. Metodą wyznacznikową rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz W= W = -52+45+20-24+50-39 = 0

14 Wx = -182+60+10-12+175-52=-1 Wx = Wy = Wy = -104+18-140-48+20+273=19

15 Wz = 8+105-16-56-40+6=7 Wz = Wyznacznik W ma wartość 0, wyznaczniki Wx, Wy, Wz są różne od 0. Układ równań nie posiada żadnych rozwiązań, jest sprzeczny.

16 Przykład 3 Rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz

17 Wyznacznik W jest różny od 0, więc układ ma jedno rozwiązanie postaci:

18 Przykład 4. Rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz

19 Wyznacznik W jest różny od 0, więc układ ma jedno rozwiązanie postaci: Zr={ }