Twierdzenie Pitagorasa

Prezentacja na temat: "Twierdzenie Pitagorasa"— Zapis prezentacji:

1 Twierdzenie Pitagorasa
Anna Jaworska, Katarzyna Jaworska, Magdalena Wróblewska Publiczne Gimnazjum nr 3 w Białymstoku, ul. Spacerowa 4

2 Pitagoras Pitagoras (ok p.n.e), filozof grecki. Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu), odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom. Wydaje się, że Pitagoras przekazywał swe nauki w postaci maksym, np. Zły język zdradza złe serce. Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie.

3 Pitagoras

4 Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

5 Twierdzenie Pitagorasa
Dowód: Założenie: ∆ABC jest prostokątny Teza: a2+b2=c2 Dowód:   Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech przystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać: 

6 Twierdzenie Pitagorasa
Dowód c.d.: Porównując ze sobą oba pola otrzymamy: a2+2ab+b2= c2+2ab a2+b2= c2+2ab-2ab Ostatecznie otrzymamy: a2+b2= c2

7 Twierdzenie Pitagorasa
Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

8 Twierdzenie Pitagorasa

9 Twierdzenie Pitagorasa
Dowód Garfilda: Autorem sprytnego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku i przebiega jak następuje:

10 Twierdzenie Pitagorasa
Dowód Garfielda: na przyprostokątnej | BC | = a danego trójkąta prostokątnego ΔABC odkładamy | CD | = | AB | = b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy | BC | = a. Trójkąt ΔACE jest prostokątny (<ACE=180o - < ACB - < ECD= =180o - < ACB - < CAB= < ABC=90o) i równoramienny, a jego pole wynosi pola trójkątów ΔABC i ΔCDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu (b + a)(a + b) / 2.

11 Twierdzenie Pitagorasa
Dowód Garfielda c.d.: Stąd równości: (b+a)(a+b)=c2+2 a2+2ab+b2=c2+2 a2+b2=c2

12 Twierdzenie odwrotne Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.

13 Twierdzenie odwrotne Dowód: Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów. My to udowodnimy następująco: Weźmy dowolny trójkąt ABC o bokach odpowiednio: |BC|=a, |AC|=b, |AB|= c spełniający warunek: a2+b2=c2

14 Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt KLM taki, że: |KL|=a, |KM|=b oraz < LKM= 90o Trójkąt KLM jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia pitagorasa i obliczyć bok LM : |LM| 2 = a2 + b2 z trójkąta ABC mamy: |LM| 2 = a2 + b2 = c2

15 Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: zatem: | LM | = c Okazało się, że:
| BC | = a = | KL | , | AC | = b = | KM | , | AB | = c = | LM | Z cechy przystawania trójkątów (bbb) wnioskujemy, że trójkąty ABC i KLM są przystające. Z faktu, iż trójkąt KLM jest prostokątny wynika, że trójkąt ABC jest prostokątny.

16 Ślimak Teodorasa Ślimak Teodorasa — konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z liczby naturalnej. Pomysł konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny.

17 Ślimak Teodorosa

18 Ciekawostki Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość: 3,4,5 nazywamy trójkątem pitagorejskim. Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. Prostokąt, którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim. Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim.

19 Twierdzenie Pitagorasa
Dziękujemy za uwagę