Ekonometria – plan zajęć

Ekonometria – plan zajęć
Ekonometria – przedmiot Ekonometryczny model opisowy : Definicja, składniki Klasyfikacja Etapy budowy modelu ekonometrycznego Przykłady modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny – definicja

Ekonometria – plan zajęć
Etapy budowy modelu jednorównaniowego Specyfikacja modelu i zebranie danych statystycznych Ustalenie zmiennej endogenicznej Dobór zmiennych objaśniających Dobór postaci analitycznej Estymacja Weryfikacja Analiza w oparciu o model Wnioskowanie o zależnościach m/y zmiennymi z przeszłości Wnioskowanie w przyszłość (predykcja ekonometryczna) Podejmowanie optymalnych decyzji Wybrane modele nieliniowe i ich estymacja

Przedmiot ekonometrii
Ekonometria zajmuje się „ustalaniem za pomocą metod matematycznych i statystycznych konkretnych ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu gospodarczym” (O. Lange). O. Lange jest autorem pierwszego podręcznika w języku polskim „Wstęp do ekonometrii”. Za ojców ekonometrii uważa się laureatów pierwszej w historii Nagrody Banku Szwecji im. Alfreda Nobla w dziedzinie ekonomii przyznanej w 1969 r. Ragnara Frischa oraz Jana Tinbergena. Otrzymali tę nagrodę za wkład w rozwój ekonometrii – metody mierzenia zależności gospodarczych przy zastosowaniu modeli matematycznych i technik statystycznych (za rozwój i zastosowanie modeli dynamicznych do analizy procesów ekonomicznych). R. Frisch (ekonomista norweski) w pracy naukowej koncentrował się na problematyce statystyki matematycznej oraz teorii i metodologii ekonomii, prowadził badania z zakresu teorii produkcji i teorii popytu a także programowania liniowego. To R. Frisch wprowadził do literatury ekonomicznej w 1926 roku termin ekonometria.

Przedmiot ekonometrii
J. Tinbergen (ekonomista holenderski) zajmował się teoriami cykli koniunkturalnych i ich zastosowaniem w odbudowujących się po wojnie gospodarkach europejskich. Tinbergen był pionierem w zakresie budowy skomplikowanych modeli opisujących gospodarki narodowe (modeli wielorównaniowych). Stworzył między innymi składający się z 27 równań model opisujący zależności w gospodarce holenderskiej, a w wydanej w 1939 roku książce „Business Cycles in the United States, 1919–1932” zaprezentował model gospodarki amerykańskiej składający się z 48 równań. W Polsce terminu ekonometria użył po raz pierwszy (w nieco innym znaczeniu) ekonomista Paweł Ciompa w pracy „Zarys ekonometryi i teoria buchalteryi” opublikowanej w 1910 r. we Lwowie. Ekonometria w jego rozumieniu dawała narzędzia nadające się do wykorzystywania w buchalterii (księgowości) poprzez zastosowanie języka matematycznego. Pierwsze polskie podręczniki ekonometrii były autorstwa Prof. Z. Pawłowskiego (WSE Katowice).

Ekonometryczny model opisowy
Narzędziem analizy j ekonometrycznej jest model. Ekonometryczny model opisowy to równanie stochastyczne, lub układ równań stochastycznych przedstawiające zasadnicze zależności m/y zmiennymi (wielkościami) ekonomicznymi (a niekiedy też pewnymi zmiennymi pozaekonomicznymi; np. demograficznymi, społecznymi). Model ekonometryczny jest sformalizowanym opisem badanego fragmentu rzeczywistości ekonomicznej, uwzględniającym tylko istotne jej elementy i pomijającym mniej istotne. Najogólniej model jednorównaniowy można zapisać następująco:

Składnikami modelu są:
Składniki modelu Składnikami modelu są: Zmienne: objaśniana (endogeniczna) – Y objaśniające: Parametry: a) strukturalne b1, b2,…,bK – określają strukturę powiązań pomiędzy zmienną endogeniczną i zmiennymi objaśniającymi (inaczej – określają wpływ zmiennych objaśniających na zmienną endogeniczną) b) struktury stochastycznej, czyli parametry rozkładu składnika losowego e (takie jak wartość oczekiwana i wariancja) oraz inne miary dopasowania modelu do obserwacji Zakłócenie losowe e, które uwzględniany w modelu z kilku powodów:

Składniki modelu Zakłócenie losowe  uwzględniany w modelu gdyż : 1) prawidłowości ekonomiczne mają charakter stochastyczny (losowy - na każde zjawisko działają przyczyny główne powodujące ujawnianie się pewnych prawidłowości oraz przyczyny uboczne, które te prawidłowości zakłócają) 2) nie jesteśmy w stanie uwzględnić w modelu (jako zmienne objaśniające) wszystkich czynników wpływających na badane zjawisko, wpływ niektórych jest niewielki i przypadkowy – te czynniki ujmuje łącznie zakłócenie losowe 3) dane statystyczne (wykorzystywane do estymacji modelu) mogą być obarczone błędami, tzw. błędami pomiaru 4) przyjęta postać analityczna modelu zwykle nie odzwierciedla dokładnie rzeczywistą zależność pomiędzy zmiennymi ( endogeniczną i objaśniającymi).

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych
Wartości poznawcze º przyczynowo opisowe º symptomatyczne º autoregresyjne º tendencji rozwojowej Postać analityczną º liniowe º nieliniowe : linearyzowalne nielinearyzowalne Uwzględnienie czynnika czasu º statyczne º dynamiczne Liczbę równań º jednorównaniowe º wielorównaniowe W modelu przyczynowo – opisowym pomiędzy zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi zachodzą zależności przyczynowo- skutkowe, w modelu symptomatycznym zmiennymi objaśniającymi są zmienne jedynie silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, ale nie pozostające z nią w związku przyczynowo skutkowym (wykorzystywane do prognozowania), w modelu autoregresyjnym – rolę zmiennych objaśniających pełni opóźniona w czasie zmienna objaśniana, modele tendencji rozwojowej – opisują zmiany zjawisk w czasie; zmienną objaśniającą jest w nich zmienna czasowa t = 1, 2, …,T (przyjmująca zwykle wartości liczb naturalnych odpowiadających kolejnym okresom), a przyjęta postać analityczna funkcji jest niezmienna w czasie.

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych
Modele statyczne opisują zależności między zmiennymi występujące w jednym okresie; szacowane w oparciu o dane przekrojowe), a modele dynamiczne uwzględniają czynnik czasu (szacowane na podstawie danych w postaci szeregów czasowych) Przykłady modeli: Liniowy model regresji Yt = –1,2+1,5xt1+1,8xt2 yt – wysokość kredytu udzielonego przez bank kredytobiorcy indywidualnemu (tys. zł); xt1 przeciętny miesięczny dochód na 1 osobę w rodzinie (tys. zł) xt2 – czas posiadania ROR w banku (lata)

Przykłady modeli ekonometrycznych
Model regresji (nieliniowy – potęgowy) yt= 1,2 xt10,7xt2-0,6 yt – popyt na wodę mineralną (sprzedaż wody – tys. litrów) ; xt1 – przeciętne miesięczne wynagrodzenie (tys. zł); xt2 – cena wody (zł) 3. Modele tendencji rozwojowej (trendu) a) yt=24,2+0,8t yt – miesięczne zyski pewnego biura nieruchomości w latach (tys. zł) t – zmienna czasowa (t=1,2,…,36) b) yt=295+45,7t–2,4t2 yt – studenci szkół wyższych na 10 tys. mieszkańców w latach 1999/ /17; t – zmienna czasowa (t=1,2,…,18)

4. Model autoregresyjny yt=1,1+0,8yt-1–0,1yt-2 yt – sprzedaż pieczywa produkowanego przez pewną piekarnię w tygodniu (tony) yt-1 – sprzedaż w tygodniu poprzednim; yt-2 – sprzedaż 2 tygodnie wcześniej (zmienne opóźnione w czasie) 5. Makroekonomiczny model gospodarki: Ct – konsumpcja globalna, It – inwestycje, Dt – popyt globalny, Rt – stopa %, Gt – wydatki rządowe Ct = 0,5Dt+0,2Dt-1+1,5+t1 It = –0,4Rt+0,1Dt-1+0,8+ t2 Dt = Ct + It + Gt

(508,986) (44,641) yt – PKB na 1 mieszkańca Polski w latach (zł) t – zmienna czasowa (t=1,2,…,19)

Etapy badania ekonometrycznego
I. Specyfikacja modelu i zebranie danych statystycznych (realizacji wyróżnionych zmiennych modelu): 1. Określenie celu budowy modelu – ustalenie zmiennej endogenicznej 2. Dobór zmiennych objaśniających – 3. Dobór postaci analitycznej modelu Efektem specyfikacji jest hipoteza modelowa, która w dalszych etapach będzie podlegała weryfikacji. Jest ona wyrazem określenia generalnych zależności pomiędzy badanymi zmiennymi. Dane statystyczne wykorzystywane w modelowaniu ekonometrycznym mogą mieć charakter: Szeregów czasowych Danych przekrojowych Danych panelowych (przekrojowo-czasowych)

II. Estymacja parametrów na przykładzie Klasycznego Modelu (Normalnej) Regresji Liniowej - w oparciu o próbę statystyczną (zebrane dane) za pomocą odpowiednich metod III. Weryfikacja oszacowanego modelu 1) ocena czy model dostatecznie dokładnie opisuje badane zależności 2) weryfikacja statystycznej istotności ocen parametrów strukturalnych IV. Analiza w oparciu o model, czyli: 1) wnioskowanie o przeszłych zależnościach między zmiennymi 2) wnioskowanie w przyszłość (wyznaczanie prognoz), 3) podejmowanie optymalnych decyzji lub symulacja.

Jednorównaniowy model liniowy (liniowy model regresji liniowej)
Jest podstawowym modelem opisującym zależności m/y zmiennymi: Yt = 0 + 1 Xt1 + 2 Xt2 +… + k Xtk + t (1) przy czym zazwyczaj jedna ze zmiennych objaśniających (np. tak jak w powyższym modelu pierwsza – X0 lub ostatnia) jest definiowana jako tożsamościowo równa 1, tzn. X0  1. 0 nazywamy wyrazem wolnym lub stałą regresji. W notacji macierzowej (jeśli uwzględnimy wszystkie obserwacje zmiennych) model przyjmuje postać: y=X  +  (2)

Jednorównaniowy model liniowy (Model regresji liniowej)
Elementy zapisu macierzowego: y – wektor obserwacji zmiennej endogenicznej X – macierz obserwacji zmiennych objaśniających b – wektor parametrów strukturalnych e – wektor składników losowych (które w przeciwieństwie do zmiennych są nieobserwowalne

I. Specyfikacja modelu Ad I.2. Dobór zmiennych objaśniających – zmienne objaśniające do modelu można dobrać: a priori (przed estymacją), zwykle stosując statystyczne metody dobory zmiennych – jedną z takich metod jest metoda Hellwiga – badania pojemności informacyjnej nośników informacji (zmiennych objaśniających) a posteriori (po estymacji) – można oszacować parametry modelu z wszystkimi zmiennymi które zgodnie z merytoryczną wiedzą o badanych zależnościach mogą wyjaśniać zmienną endogeniczną (i dysponujemy odpowiednimi danymi), a na etapie weryfikacji modelu ocenić trafność doboru i ewentualnie dokonać korekty modelu Coraz częściej do budowy modelu wykorzystuje się metodę regresji krokowej (postępującej lub wstecznej), która pozwala dobrać w kolejnych iteracjach (krokach) zmienne istotnie oddziałujące na badaną zmienną endogeniczną. Zmienne objaśniające modelu powinny być możliwie silnie skorelowane ze zmienną endogeniczną Y i jednocześnie nieskorelowane (możliwie słabo skorelowane) z pozostałymi zmiennymi objaśniającymi uwzględnionymi w modelu.

Ad I.3. Ustalenie postaci analitycznej modelu (funkcji matematycznej najlepiej przedstawiającej zależności m/y wyróżnionymi zmiennymi). Postać analityczną modelu można dobrać m.in. : a) W przypadku modelu z jedną zmienną objaśniającą – najłatwiej jest zastosować analizę graficzną rozrzutu punktów empirycznych na układzie współrzędnych (taki wykres może być łatwo wykonany w Excelu). b) Korzystając z apriorycznej wiedzy o typie związku, który może podpowiadać bądź teoria ekonomii, bądź tez dogłębna znajomość prawidłowości kształtujących badane związki. Wykorzystanie tej znajomości (wiedzy) oczywiście nie zwalnia badacza z obowiązku sprawdzenia, czy w tym przypadku wiedza ta znajduje potwierdzenie. c) Metodą prób i błędów polegającą na tym, że do zebranych danych empirycznych dopasowuje się kilka funkcji o różnych postaciach analitycznych, a następnie wybiera najlepszą w oparciu o wnioski z weryfikacji wszystkich modeli. d) W przypadku modeli tendencji rozwojowej (trendu) do wyboru postaci analitycznej można wykorzystać analizę przyrostów Często na początek przyjmuje się, że zależność między zmiennymi ma charakter liniowy.

Etapy badania ekonometrycznego – Estymacja KM(N)RL
Ad II. Estymacja modelu – na przykładzie Klasycznego Modelu (Normalnej) Regresji Liniowej w oparciu o zebrane dane (obserwacje zmiennych) Estymacja czyli nadanie konkretnych wartości liczbowych parametrom strukturalnym (0, 1, … , k) i obliczenie parametrów struktury stochastycznej. Zwykle liniowy model regresji uzupełnia się założeniami (klasycznymi) Założenia Klasycznego Modelu Regresji Liniowej: 1) y=X+ tzn. model, którego parametry szacujemy jest modelem liniowym (lub sprowadzonym do postaci liniowej) 2) Zmienne objaśniające modelu są zmiennymi nielosowymi, składnik losowy nie jest skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi, pomiędzy zmiennymi objaśniającymi nie ma ścisłej liniowej zależności (nie występuje współliniowość zmiennych objaśniających); liczba zmiennych objaśniających jest mniejsza od liczby obserwacji (K<T) 3) Wartość oczekiwana (średnia) składnika losowego jest równa zero: E()=0 (odchylenia losowe in plus i in minus znoszą się),

4) Macierz wariancji i kowariancji składników losowych V(t)=E( T) jest równa: V(t)= s2 IT z czego wynika, że: a) Wariancja składnika losowego 2 jest stała (taka sama) dla wszystkich obserwacji, a ponadto: b) Obserwacje są niezależne – kowariancje składników losowych cov(t, s) są równe zero czyli składniki losowe poszczególnych obserwacji nie są skorelowane (nie występuje autokorelacja składników losowych), Zwykle przyjmuje się jeszcze założenie 5) Składnik losowy ma T– wymiarowy rozkład normalny o średniej zero i stałej wariancji 2 (  N(0; 2)), założenie to umożliwia testowanie hipotez formułowanych w modelu; model nazywany jest wówczas Klasycznym Modelem Normalnej Regresji Liniowej (KMNRL)

W odniesieniu do KMNRL właściwą metodą estymacji jest Klasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów (KMNK). Estymacja modelu (1) lub (2) klasyczną MNK – w oparciu o zebrane dane (próbę statystyczną) – polega na wyznaczeniu ocen b0, b1, … ,bK parametrów strukturalnych b0, b1, … ,bK takich, które minimalizują sumę kwadratów reszt. (Oceny parametrów b0,…,bk oznaczane także są ). Wartości, w których nieznane parametry zastąpiono ich ocenami to wartości teoretyczne a reszty et (oznaczane też ) to odchylenia wartości teoretycznych od wartości empirycznych(zaobserwowanych

Etapy … Estymacja - Klasyczna MNK
Zatem funkcję kryterium MNK można zapisać skalarnie: Po obliczeniu pochodnych cząstkowych funkcji S(b0, b1,…) względem szukanych ocen parametrów, przyrównaniu tych pochodnych do zera (warunek konieczny istnienia ekstremum) i pewnych przekształceniach otrzymamy (znany ze statystyki) układ równań normalnych, którego rozwiązaniem są oceny parametrów.

Etapy … Estymacja - Klasyczna MNK
W notacji macierzowej: model wektor wartości teoretycznych wektor reszt b (lub ) to wektor ocen parametrów strukturalnych (szukany) Kryterium MNK – minimalizację sumy kwadratów reszt można zapisać: 𝑆 𝐛 = min 𝐛 𝑒 𝑇 𝑒= min 𝐛 𝐲−𝐗𝐛 𝑇 (𝐲−𝐗𝐛) W wyniku obliczenia pochodnej funkcji S(b) względem szukanego wektora b, przyrównaniu tej pochodnej do zera otrzymujemy także układ równań normalnych: XTX b=XTy Po jego przekształceniu otrzymujemy wektor ocen parametrów strukturalnych dany wzorem 𝒚=𝑿𝜷+𝜺 𝐲 𝐭 =𝐗𝐛 𝐞 𝐭 = 𝐲 𝐭 − 𝐲 𝐭 = 𝐲 𝐭 −𝐗𝐛

Etapy … Estymacja KMNK – Twierdzenie Gaussa - Markowa
W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym, nieobciążonym estymatorem liniowym wektora parametrów b jest wektor b otrzymany KMNK o macierzy wariancji i kowariancji V(b) = s2(XTX)-1 (s2 to wariancja składnika losowego e). Statystyka matematyczna (wnioskowanie statystyczne) zajmuje się wnioskowaniem o populacji generalnej na podstawie próby losowej pochodzącej z tej populacji. Estymator to funkcja, która służy do oszacowania nieznanego parametru populacji w oparciu o dane z próby statystycznej. Wartość jaką estymator przyjmuje to ocena parametru. Po oszacowaniu wektora b oblicza się wartości parametrów struktury stochastycznej, czyli parametrów rozkładu składnika losowego, (reszty et traktowane są jako przybliżone realizacje składnika losowego) oraz innych miar dopasowania:

Etapy… Estymacja – KMNK - Parametry struktury stochastycznej
Estymatorem wariancji składnika losowego s2 jest wariancja resztowa Se2 gdzie T - liczba obserwacji; k=K+1 – liczba parametrów strukturalnych w modelu Lub macierzowo gdzie Odchylenie standardowe resztowe nazywane też średnim błędem szacunku modelu. Informuje o ile średnio wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej (obliczone z modelu) różnią się In plus lub In minus od jej wartości empirycznych (zaobserwowanych); wyrażone jest w takich jednostkach jak zmienna endogeniczna.

Współczynnik zmienności resztowej Informuje jaką część (jaki procent) wartości średniej zmiennej endogenicznej stanowią odchylenia losowe wyrażone odchyleniem standardowym. Współczynnik zbieżności lub lub i informuje jaka część całkowitej zaobserwowanej zmienności zmiennej endogenicznej (Y) jest wynikiem działania czynników przypadkowych, nie uwzględnionych w modelu, czyli jaka część tej zmienności nie została wyjaśniona przez model.

Współczynnik determinacji R2 =1–f2 jest miarą alternatywną dla f2 i informuje jaka część całkowitej zaobserwowanej zmienności zmiennej endogenicznej jest wyjaśniona przez model (przez uwzględnione w nim zmienne objaśniające) Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów (estymator macierzy V(b) ) Pierwiastki kwadratowe z elementów diagonalnych (leżących na głównej przekątnej) tej macierzy to błędy średnie szacunku ocen parametrów.

Etapy… Weryfikacja modelu ekonometrycznego
Ad III. Weryfikacja Rozróżniamy: Weryfikację merytoryczną – ocenę czy uzyskane wyniki (oceny parametrów) są zgodne z dotychczasową wiedzą ekonomiczną, doświadczeniem czy zdrowym rozsądkiem – chodzi tu w szczegól-ności o rząd wielkości oraz znaki (±) ocen parametrów strukturalnych (zwykle przeprowadza się ją po oszacowaniu parametrów strukturalnych). Weryfikację statystyczną (formalną) modelu która obejmuje zwykle przynajmniej: Ocenę stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi Badanie statystycznej istotności poszczególnych ocen parametrów strukturalnych

Ocena stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi – wykorzystuje się oceny parametrów struktury stochastycznej, takich jak współczynnik zmienności resztowej Ve i współczynnika zbieżności f2 lub współczynnika determinacji R2 . Ocena jest subiektywna (zależy od dokładności założonej przez budującego model); zwykle przyjmuje się, że model dostatecznie dokładnie opisuje badaną zależność gdy Ve <10% i f2 <0,10 (R2 > 0,90), ale przyjmuje się także gorsze wartości tych parametrów (Ve <20% i f2 <0,20 (R2 > 0,80) ). Weryfikacja statystycznej istotności ocen parametrów strukturalnych – ma na celu sprawdzenie czy parametry strukturalne b1, b2,...,bk zostały oszacowane z dostateczną precyzją (czy błędy średnie ich szacunku nie są zbyt duże) oraz czy zmienne objaśniające przy których te parametry stoją, istotnie oddziałują na zmienną endogeniczną.

Etapy… Weryfikacja hipotez - wprowadzenie
Weryfikacja hipotez statystycznych – jest jednym z działów statystyki matematycznej. Hipoteza to sąd (przypuszczenie) dotyczące populacji, którego prawdziwość chcemy sprawdzić w oparciu o dane z próby. Formułuje się dwie hipotezy: hipotezę zerową oznaczaną H0 oraz hipotezę do niej alternatywną (konkurencyjną) H1, taką którą jesteśmy skłonni przyjąć jeśli H0 okaże się nieprawdziwa. H0 ma zawsze postać równości: 𝐻 0 :𝛽= 𝛽 ∗ . Hipoteza alternatywna może być dwustronna gdy ma postać 𝐻 1 :𝛽≠ 𝛽 ∗ , (lewostronna 𝐻 1 :𝛽< 𝛽 ∗ lub prawostronna 𝐻 1 :𝛽> 𝛽 ∗ ), 𝛽 to parametr; 𝛽 ∗ -założona (sprawdzana) jego wartość. Do weryfikacji hipotez służą testy statystyczne – statystyki testu. Obliczoną wartość statystyki testu porównuje się z tzw. wartością krytyczną, odczytaną z tablic odpowiedniego rozkładu dla przyjętego poziomu istotności – dopuszczalnego przez nas błędu przy wnioskowaniu. W przypadku hipotez dwustronnych, jeśli wartość bezwzględna statystyki testu jest > od wartości krytycznej – H0 odrzucamy na korzyść H1; jeżeli natomiast wartość bezwzględna statystyki testu jest < od wartości krytycznej, stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia H0 przy przyjętym poziomie istotności. Jako poziom istotności a zwykle przyjmuje się 0,05 lub 0,10.

Wracając do weryfikacji statystycznej istotności parametrów strukturalnych. Dla każdego z parametrów weryfikuje się hipotezę: H0: bj=0 j = 0,1,2,...,K parametr bj statystycznie nieistotnie różni się od zera (jest statystycznie nieistotny) wobec hipotezy alternatywnej H1: bj ≠ 0 parametr bj jest statystycznie istotny (statystycznie istotnie różni się od zera). Sprawdzianem H0 jest statystyka: j = 0,1,2,...,K bj – obliczona ocena parametru; bj* – jego prawdziwa (sprawdzana) wartość D(bj) – średni błąd szacunku parametru; Ponieważ zgodnie z H0 – prawdziwa (sprawdzana) wartość parametru bj* =0 praktycznie

Obliczoną wartość statystyki t(bj) porównuje się z wartością krytyczną ta odczytaną z tablic rozkładu t–Studenta dla przyjętego poziomu istotności a oraz T– k stopni swobody (zwykle a=0,05 lub a=0,10 – jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu przy wnioskowaniu – błędu polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej mimo, że była ona prawdziwa). Jeżeli: – H0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H1 (przyjmujemy, że parametr jest statystycznie istotny). – nie ma podstaw o odrzucenia H0 (co oznacza, że parametr jest statystycznie nieistotny ) Nieistotność parametru stojącego przy zmiennej objaśniającej zwykle oznacza, że zmienna ta nieistotnie wpływa na zmienną endogeniczną (nie powinna być zmienną objaśniającą) i powinno się ją z modelu usunąć.

Oceny parametrów strukturalnych otrzymane w postaci wektora b to tzw. oceny punktowe. Rozkład statystyki t można wykorzystać do budowy przedziału ufności dla parametru bj : Przedział ufności to przedział liczbowy, który z prawdopodobieństwem 1-a zawiera prawdziwą wartość parametru

Etapy… Praktyczne wykorzystanie modelu
IV.1. Wnioskowanie w oparciu o model o zależnościach m/y zmiennymi z przeszłości – polega m.in. na: Interpretacji parametrów strukturalnych Testowaniu innych hipotez dotyczących parametrów strukturalnych modelu Ad I. interpretacja parametrów – w modelu liniowym Ocena wyrazu wolnego b0 interpretowana jest jako teoretyczny (wynikający z modelu) poziom zmiennej endogenicznej Y gdy wszystkie zmienne objaśniające są równe zero (jeżeli jest ujemna, co często jest uzasadnione) – jej interpretację się pomija.

Etapy… Praktyczne wykorzystanie modelu Interpretacja
W modelu: Ocena parametru bj (odpowiadającego zmiennej Xj ; j=1,2,...,K) informuje jak średnio zmieni się wartość zmiennej endogenicznej Y, gdy wartość j-tej zmiennej objaśniającej (Xj) wzrośnie o jednostkę, przy niezmienionych pozostałych zmiennych (czyli np. gdy wartość X1 wzrośnie o 1 (jednostkę) – Y zmieni się o b1, przy założeniu że pozostałe zmienne nie zmienią się).

Etapy… Praktyczne wykorzystanie modelu hipotezy
Ad Testowanie innych hipotez dot. parametrów strukturalnych A. Weryfikacja hipotezy, że wybrany parametr bj przyjmuje pewną konkretną wartość bj*, czyli hipotezy: H0: bj = bj* wobec H1: bj  bj* (lub bj> bj* lub bj< bj*) Statystyka testu ma w tym przypadku postać: i podobnie jak w przypadku badania statystycznej istotności ocen parametrów: jeżeli – nie ma podstaw do odrzucenia H0, natomiast wartości sugerują odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść H1 (ta jest wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta dla przyjętego poziomu istotności a oraz T–k stopni swobody – tą samą którą wykorzystujemy przy badaniu statystycznej istotności ocen parametrów strukturalnych).

Etapy… Praktyczne wykorzystanie modelu – hipotezy
B. Wnioskowanie o liniowej funkcji wektora parametrów b Załóżmy, że pewien parametr g (gamma) jest liniową kombinacją elementów wektora b, co można zapisać: g = cTb = Scjbj gdzie c jest wektorem współczynników kombinacji liniowej W modelu regresji liniowej estymatorem funkcji parametrów g=cTb, jest estymator MNK: czyli o wariancji równej a błąd średni szacunku jest pierwiastkiem z tej wariancji.

Etapy… Praktyczne wykorzystanie modelu – hipotezy
Można weryfikować hipotezę dotyczącą omówionej kombinacji liniowej wektora parametrów. Hipoteza zerowa ma w tym przypadku postać: Ho:: g= c0 a hipoteza alternatywna H1:: g  c0 (c0 wyrazem wolnym tej kombinacji. Przy prawdziwości H0 statystyka ma rozkład Studenta o T-k stopniach swobody. Zatem obliczoną wartość statystyki należy porównać z wartością krytyczną ta, H0 odrzuca się jeżeli w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Etapy… Praktyczne wykorzystanie modelu – predykcja
IV.2. Predykcja ekonometryczna – czyli wnioskowanie w przyszłość na podstawie modelu ekonometrycznego. Konkretny, liczbowy wynik tego procesu nosi nazwę prognozy, która wyznaczana jest dla konkretnego okresu prognozowanego (T) Prognoza punktowa i przedziałowa Prognoza może być dana jedną liczbą, stanowiącą możliwe dobre przybliżenie przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej – jest to prognoza punktowa, lub też wynikiem procesu predykcji może być przedział liczbowy zawierający z określonym, bliskim 1 prawdopodobieństwem przyszłą realizację zmiennej prognozowanej – prognoza przedziałowa.

Założenia predykcji ekonometrycznej: Dysponujemy oszacowanym „dobrym” (zweryfikowanym) modelem ekonometrycznym opisującym badane zjawisko, Znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie na który wyznaczamy prognozę (np. wielkości założone czy wynikające z analizy trendów tych zmiennych); Model jest stabilny tzn. nie zmieniają się: postać analityczna i oceny parametrów strukturalnych modelu (co oznacza że model jest nadal aktualny, zależność w przyszłości będzie mieć taki sam charakter), oceny parametrów struktury stochastycznej modelu (co oznacza, że nie pogorszy się dopasowanie modelu do obserwacji) Dopuszczalna jest ekstrapolacja poza występujący w próbie, na podstawie której oszacowano model obszar zmienności zmiennych objaśniających (tzn. musimy mieć pewność, że dla innych niż występowały w próbie wartości zmiennych objaśniających zależność między zmiennymi ma taki sam charakter).

Prognozę punktową wyznacza się wstawiając do oszacowanego modelu założone na okres prognozowany wartości zmiennych objaśniających lub ze wzoru macierzowego: gdzie x* jest wektorem założonych wartości zmiennych objaśniających (przy których wyznacza się prognozę) Ponieważ oszacowany model jest obarczony błędem, również prognozy obarczone są błędem, dlatego każdą prognozę należy uzupełnić wartością miernika dokładności predykcji.

= = Mierniki rzędu dokładności predykcji : wariancja predykcji I ostatecznie błąd średni predykcji wyrażony jest w takich jednostkach jak Y i informuje o ile średnio (przy wielokrotnym powtarzaniu prognoz) rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej (wartości jakie przyjmie) mogą różnić się in plus lub in minus od wyznaczonych prognoz.

względny błąd predykcji pozwala ocenić jaki procent wyznaczonej prognozy stanowi błąd średni predykcji. Zwykle prognozę uważa się za dopuszczalną, jeżeli błąd względny nie przekracza 10% (dokładną gdy VP≤3%, dobrą – gdy 3%<VP<5%). Mierniki te nazywane są miernikami dokładności predykcji ex ante – pozwalają wnioskować o dokładności predykcji z góry – w momencie wyznaczania prognozy (zanim znana jest rzeczywista realizacja zmiennej prognozowanej). Gdy znane są rzeczywiste realizacje zmiennych prognozowanych można obliczyć wartości mierników dokładności wyznaczonych prognoz ex post.

Przykład Przykład 1. Przedmiotem badania są wydatki na rekreację i kulturę w zależności od dochodów – w rodzinach pracowników. Wylosowano próbę – 7 rodzin. Zebrane dane przedstawiono w tabeli, gdzie: Y – przeciętne miesięczne wydatki na rekreację i kulturę wyrażone w zł na osobę; X – przeciętne miesięczne dochody rodziny w setkach zł na osobę.

Przykład Rodzina xt yt 1 8 30 2 9 40 3 10 60 4 12 80 5 13 120 6 14 130 7 140 Y – przeciętne miesięczne wydatki na rekreację i kulturę wyrażone w zł na osobę; X – przeciętne miesięczne dochody rodziny w setkach zł na osobę.

Przykład 1

Przykład 1 (17,44) (1,5)

1. Ustalenie zmiennej endogenicznej 2. Dobór zmiennych objaśniających
Przykład 1 I. Specyfikacja modelu 1. Ustalenie zmiennej endogenicznej 2. Dobór zmiennych objaśniających 3. Dobór postaci analitycznej modelu II. Estymacja parametrów modelu Klasyczną MNK III. Weryfikacja oszacowanego modelu ocena stopnia dopasowania modelu do obserwacji weryfikacja statystycznej istotności ocen parametrów strukturalnych IV. Analiza w oparciu o model: 1. wnioskowanie o przeszłych zależnościach między zmiennymi 2. wnioskowanie w przyszłość (wyznaczanie prognoz) 3. podejmowanie optymalnych decyzji lub symulacja

Modele nieliniowe Wiadomo, że wiele zależności pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi ma charakter nieliniowy. Tymczasem KMNK wymaga by model którego parametry są szacowane był modelem liniowym lub sprowadzonym do postaci liniowej. Modele, których nie da się sprowadzić do postaci liniowej (zwane też ściśle nieliniowymi) – szacuje się za pomocą metod estymacji nieliniowej (metod iteracyjnych -krokowych) np. nieliniowa MNK Klasyczną MNK można szacować parametry modeli linearyzowalnych, czyli takich, które za pomocą pewnych przekształceń dają się przedstawić w postaci liniowej

Modele nieliniowe Modele dające się sprowadzić do postaci liniowej można z kolei podzielić na: 1. Modele nieliniowe względem zmiennych, ale liniowe względem parametrów 2. Modele nieliniowe względem zmiennych i parametrów. Omawiane modele mogą występować jako funkcje regresji lub funkcje trendu – zmienną objaśniającą jest wtedy zmienna czasowa t przyjmująca wartości kolejnych liczb naturalnych odpowiadających kolejnym okresom t=1,2,3,…,T).

zakłócenie losowe ma charakter addytywny (+et),
Modele nieliniowe Ad 1. Modele nieliniowe względem zmiennych, liniowe względem parametrów – w tych modelach: zakłócenie losowe ma charakter addytywny (+et), przekształceniu ulega tylko zmienna objaśniająca, zmienna objaśniana (Y) i parametry strukturalne nie ulegają transformacji. Wszystkie parametry struktury stochastycznej oblicza się tak jak dla modelu w postaci liniowej (wg tych samych formuł). Do tej grupy należą m.in. często wykorzystywane w praktyce modele: hiperboliczny, logarytmiczny i wielomianowe

Modele nieliniowe Model hiperboliczny Model logarytmiczny Wielomiany stopnia 2 Stopnia 3 I wyższych Linearyzacja tych modeli polega na podstawieniu np. i w rezultacie otrzymujemy model liniowy którego parametry szacuje się ze wzoru

zakłócenie losowe ma charakter multiplikatywny,
Modele nieliniowe Ad 2. Modele nieliniowe względem zmiennych i parametrów; w tych modelach: zakłócenie losowe ma charakter multiplikatywny, z tym że raczej nie t, ale lub ), model linearyzuje się logarytmując obustronnie (korzysta się z tego, że logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów poszczególnych czynników) w tych modelach transformacji ulegają zazwyczaj zmienne objaśniające, zmienna objaśniana oraz parametry strukturalne. Niezależnie od tego czy do linearyzacji wykorzystamy logarytmy dziesiętne, czy naturalne – ostateczne wnioski będą takie same.

Modele nieliniowe względem zmiennych i parametrów
Model wykładniczy zwykle stosowany jako funkcja trendu (lub jako trend wykładniczy w modelu potęgowym); W Excelu szacowana jest postać: y=b0 gdy t=0, czyli ocena b0 to teoretyczny poziom y w okresie poprzedzającym pierwszy okres badany, jest (charakterystyczną dla funkcji wykładniczej) stałą stopą zmian zmiennej objaśnianej Y; gdy t rośnie o 1, Y zmienia się średnio o funkcja jest rosnąca gdy b1>0, malejąca gdy b1<0

Model potęgowy Parametr b0 określa oczekiwany (teoretyczny) poziom zmiennej objaśnianej Y gdy X=1. b1 jest (stałą) elastycznością Y względem X– gdy X wzrośnie o 1%, – Y zmienia się średnio o b1 % Dla wielu zmiennych b0 określa oczekiwany (teoretyczny) poziom zmiennej objaśnianej Y gdy X1=X2=…=Xk=1 . bj jest (stałą) elastycznością Y względem Xj– gdy Xj wzrośnie o 1%, – Y zmienia się średnio o bj % przy niezmienionych pozostałych zmiennych

Modele nieliniowe - model potęgowy

Modele nieliniowe – model potęgowy

Modele nieliniowe

Ekonometria – plan zajęć

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Ekonometria – plan zajęć"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres

Wejść

Zaloguj się poprzez sieć społeczną:

Ekonometria – plan zajęć

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Ekonometria – plan zajęć"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres