Wytrzymałość materiałów

Prezentacja na temat: "Wytrzymałość materiałów"— Zapis prezentacji:

1 Wytrzymałość materiałów
(WM II – wykład 5)

2 SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Czw.:

3 TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy)
Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił - Zakres zastosowań - Określenie rodzaju i liczby wielkości podporowych i sformułowanie równań równowagi - Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności i utworzenie podstawowego układu prętowego - Określenie warunków geometrycznych oraz związków fizycznych i sformułowanie równań kanonicznych metody sił - Wyznaczenie współczynników równań kanonicznych metody sił - Wyznaczenie z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatycznych - Wyznaczenie pozostałych sił niewiadomych, na podstawie równań równowagi statycznej - Sformułowanie równań i narysowanie wykresów sił wewnętrznych - Wyznaczenie przemieszczeń - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

4 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Zakres zastosowań. Dowolne układy prętowe statycznie niewyznaczalne. Implementacje numeryczne. Przykład zastosowania. Rama płaska. Dane: q, l, EI. Wyznaczyć: reakcje podpór, wykresy sił wewnętrznych i kąt obrotu przekroju C. X2 VC l x u2 B C B HC q EI X1 x C q u1 2EI HA A HA A VA Rzeczywisty układ prętowy VA Podstawowy układ prętowy MA MA

5 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Rozwiązanie 1. Określenie rodzaju i liczby wielkości podporowych i sformułowanie równań równowagi W punkcie C jest podpora przegubowa, w której występują reakcje HC (pozioma) oraz VC (pionowa). W punkcie A rama jest utwierdzona, a więc występują tam reakcje HA (pozioma), VA (pionowa) i moment utwierdzenia MA. Po oswobodzeniu z więzów rama (rzeczywisty układ prętowy) jest w równowadze pod działaniem znanego obciążenia równomiernie rozłożonego q oraz pięciu niewiadomych wielkości podporowych HC, VC, HA, VA, MA. Tworzą one płaski układ sił, dla którego można zapisać trzy równania równowagi statycznej:

6 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
2. Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności i utworzenie podstawowego układu prętowego Liczba niewiadomych reakcji wynosi 5, a liczba równań równowagi 3. Rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna). Jako wielkości hiperstatyczne przyjmujemy X1 = HC i X2 = VC. Usuwamy więzy, które powodują powstawanie wielkości hiperstatycznych i tworzymy w ten sposób układ podstawowy (statycznie wyznaczalny). W przypadku rozważanej ramy oznacza to umożliwienie swobodnego przemieszczania się punktu C w kierunku poziomym (odpowiadającym X1) oraz pionowym (odpowiadającym X2), czyli oswobodzenie tego punktu.

7 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
3. Określenie warunków geometrycznych oraz związków fizycznych i sformułowanie równań kanonicznych metody sił Układ podstawowy będzie równoważny układowi rzeczywistemu ramy przy takich wartościach X1 i X2, dla których są spełnione warunki geometryczne: Związki fizyczne, które określają przemieszczenie u1 i u2 jako liniowe funkcje X1 i X2 oraz znanego obciążenia równomiernie rozłożonego q: Po uwzględnieniu związków fizycznych w warunkach geometrycznych otrzymujemy równania kanoniczne metody sił:

8 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
f11, f12 – liczby wpływowe X1, X2 na przemieszczenie u1 f21, f22 – liczby wpływowe X1, X2 na przemieszczenie u2 Δ1F, Δ2F – część przemieszczeń u1, u2 spowodowana działaniem znanego obciążenia q. Równań kanonicznych można napisać tyle, ile jest wielkości hiperstatycznych. Przyczyny powstawania reakcji więzów oraz sił wewnętrznych i naprężeń w przekrojach prętów układu prętowego statycznie niewyznaczalnego: – obciążenia zewnętrzne – niedokładność wymiarów – naprężenia montażowe – zmiany temperatury – naprężenia termiczne

9 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
4. Wyznaczenie współczynników równań kanonicznych metody sił Liczby wpływowe f11, f12, f21, f22, określają własności sprężyste układu podstawowego oraz równoważnego układu rzeczywistego. Są one przemieszczeniami w statycznie wyznaczalnym układzie podstawowym, spowodowanymi jednostkowymi siłami hiperstatycznymi lub znanymi obciążeniami zewnętrznymi Można je wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra. Rozważamy układ podstawowy obciążony kolejno siłami X1 = 1, X2 = 1 oraz q. Przypadek ogólny: liczba wariantów obciążeń układu podstawowego o jeden większa od liczby wielkości hiperstatycznych.

10 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
MA2 VA2 l,EI HA2 X2 = 1 x l, 2EI MAq VAq HAq q x l,EI l, 2EI x l,EI X1=1 x l, 2EI MA1 HA1 VA1 Założenia: – uwzględniamy tylko energię sprężystą zginania – w każdym wariancie obciążenia identyczne przedziały 1 i 2 oraz współrzędne x określające położenie przekroju pręta. Przedział 1 – pręt poziomy BC, Przedział 2 – pręt pionowy BA. W obydwu przedziałach – przyjmujemy ponadto, że moment gnący Mg dodatni zakrzywia, a ujemny prostuje ramę.

11 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Rezultat: momenty gnące zależą wyłącznie od X1 = 1, X2 = 1 albo q. Nie ma potrzeby wyliczania pozostałych reakcji. Dla siły hiperstatycznej X1 = 1 momenty gnące wynoszą: Dla siły hiperstatycznej X2 = 1: Dla obciążenia zewnętrznego q: Siły X1 = 1, X2 = 1 – przyczyna wywołująca moment gnący – uogólniona siła jednostkowa odpowiadająca przemieszczeniu

12 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Współczynniki równań kanonicznych. f12 – siła X2 = 1 – przyczyna powodująca przemieszczenie (momenty gnące Mg12, Mg22) – siła X1 = 1 – siła jednostkowa odpowiadającą przemieszczeniu (momenty gnące Mg11, Mg21). Pozostałe współczynniki równań kanonicznych:

13 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
5. Wyznaczenie z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatycznych Po uwzględnieniu znanych już współczynników w równaniach kanonicznych można wyznaczyć z nich wielkości hiperstatyczne X1 i X2: Równanie kanoniczne metody sił w zapisie rachunku macierzowego – macierz podatności układu podstawowego obciążonego tylko siłami X1, X2 X = [X1 X2]T – jednokolumnowa macierz wielkości hiperstatycznych ΔF = [Δ1F Δ2F]T – jednokolumnowa macierz przemieszczeń spowodowanych obciążeniem rzeczywistym, odpowiadających wielkościom hiperstatycznym.

14 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
6. Wyznaczenie pozostałych sił niewiadomych, na podstawie równań równowagi statycznej. 7. Sformułowanie równań i narysowanie wykresów sił wewnętrznych. Przedział 1 ( ) dla x = 0, Mg1 = 0, dla x = l,

15 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
) Przedział 2 ( dla x = 0, , dla x = l, Ponieważ , jest to minimum lokalne © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

16 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Dla dla x = 0, dla x = l, 0,114ql2 0,409l 0,023ql2 -0,061ql2 Wykres Mg 0,591ql 0,023ql -0,409ql Wykres T Wykres N © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

17 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
8. Wyznaczenie przemieszczeń Aby wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu końcowego prawego przekroju pręta BC, należy w punkcie C przyłożyć moment jednostkowy i określić spowodowane nim momenty gnące M’g1 M’g2 w obydwu przedziałach. Rozważamy statycznie wyznaczalny układ podstawowy. x B u C l,EI x 1 l, 2EI A H’A V’A M’A © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

18 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Momenty gnące spowodowane obciążeniem q i znanymi siłami X1, X2 (Mg1 Mg2) oraz momentem jednostkowym, odpowiadającym kątowi obrotu u przekroju C (M’g1 M’g2) wynoszą: Przemieszczenie uogólnione u (kąt obrotu w punkcie C) wyznaczone metodą Maxwella-Mohra: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

19 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Przykład 1. Rama płaska jest obciążona dwoma równymi, przeciwnie zwróconymi i leżącymi na jednej prostej siłami F. Narysować wykresy sił wewnętrznych, jeśli wszystkie pręty mają długość l, a sztywność na zginanie prętów poziomych oraz pionowych wynoszą odpowiednio EI oraz 2EI. F/2 F/2 F/2 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

20 Przedziały w ćwiartce ramy
Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 1 X1 l/2 Fl/24 x Mg x F/2 F F 2 l/2 -11Fl/24 X1 = 1 M N ? 1 l/2 2 x F/2 ? x -F/2 T F F T = 0 l/2 -F/2 Przedziały w ćwiartce ramy F/2 1 l/2 2 F/2 F/2 x F X x M M F N l/2 M M F/2 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

21 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Rozwiązanie. „Przecinamy” ramy pionową płaszczyzną symetrii Z warunków równowagi: N = F/2 T = 0 Moment gnący M – wielkość hiperstatyczna X1. Układ podstawowy – swobodny wzajemny obrót lewej i prawej strony rozważanego przekroju. Warunek geometryczny: przy obciążeniu siłami X1 i F wzajemny kąt obrotu u1 lewej i prawej strony przekroju jest równy zeru. Równanie kanoniczne metody sił: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

22 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Metoda Maxwella-Mohra – energia dla ćwiartki ramy i wynik mnożymy przez cztery. Równania momentów gnących wywołanych siłą X1 = 1 oraz obciążeniem F w przedziałach 1, 2 Dla 0< x< l/2 czyli: Z równania kanonicznego: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

23 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Równania momentów gnących Mg sił poprzecznych T i normalnych N mają postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

24 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Przykład 2. Wałek o długości l i średnicy d, wykonany z materiału o współczynniku sprężystości podłużnej E, jest osadzony w trzech łożyskach. Obliczyć maksymalne naprężenie normalne w wałku po jego zmontowaniu, jeśli oś łożyska środkowego jest przesunięta o δ względem osi dwóch pozostałych łożysk. Rozwiązanie. Wałek modelowany jako belka na trzech podporach. Wystąpią reakcje RA, RB, RC. A d l/2 RA B RB = X1 RC C δ łożysko © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

25 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Warunek równowagi: RA = RC = RB/2 Zadanie jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Wielkość hiperstatyczna: RB = X1 Równanie kanoniczne metody sił: Warunek geometryczny, aby można było zmontować wałek. Liczba wpływowa f11 – ugięcie belki o rozpiętości l i sztywności EI podpartej swobodnie na końcach i obciążonej w środku siłą X1 = 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

26 Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Przemieszczenie Δ1F = 0 – nie ma obciążenia zewnętrznego: Moment gnący osiąga wartość maksymalną w przekroju środkowym wałka i wynosi: Maksymalne montażowe naprężenie normalne w wałku wynosi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21

27 Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :48:21