Wytrzymałość materiałów

Prezentacja na temat: "Wytrzymałość materiałów"— Zapis prezentacji:

1 Wytrzymałość materiałów
(WM I - 9) r.a. 2018/2019

2 SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Środy:

3 Wykład W9: Stan naprężenia i odkształcenia:
- Aksjator i dewiator stanu naprężenia - Macierz sprężystości - Szczególny przypadek płaskiego stanu naprężeń – koło Mohra - Przykłady oceny stanu naprężeń dla przypadku pręta skręcanego o przekroju kołowym. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński

4 Wykład W9: Stan naprężenia i odkształcenia:
- Aksjator i dewiator stanu naprężenia - Macierz sprężystości - Szczególny przypadek płaskiego stanu naprężeń – koło Mohra - Przykłady oceny stanu naprężeń dla przypadku pręta skręcanego o przekroju kołowym. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński

5 Stan naprężenia i odkształcenia
Elementarny prostopadłościan o bokach dx, dy, dz  x y z yx zy yz xy xz zx z y x O qx qz qy Stan odkształceń :36:07

6 Związek pomiędzy stanem przemieszczeń a stanem odkształceń:
Stan naprężenia i odkształcenia Związek pomiędzy stanem przemieszczeń a stanem odkształceń: gdzie: - wektor przemieszczeń - operator liniowy różniczkowania :36:07

7 Stan naprężenia i odkształcenia
- operator nieliniowy różniczkowania Stan naprężeń :36:07

8 Aksjator i dewiator stanu naprężenia
Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem naprężeń Aksjator – diagonalna macierz opisująca równomierny stan napręzeń ściskających (rozciągających) – tensor kulisty Opisuje stan równomiernych naprężeń głównych Dewiator – macierz opisująca pozostałą część tensora stanu naprężeń niezmiennik tensora naprężeń :36:07

9 Aksjator i dewiator stanu naprężenia
Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem odkształceń Aksjator – diagonalna macierz opisująca równomierny stan odkształceń wzdłużnych – tensor kulisty Dewiator – macierz opisująca pozostałą część tensora stanu odkształceń :36:07

10 Aksjator i dewiator stanu naprężenia
Względna zmiana objętości elementarnego prostopadłościanu ka – suma odkształceń objętościowych w kierunku osi x, y, z Niezmiennik aksjatora Niezmiennik dewiatora Elementy dewiatora – określają odkształcenia postaciowe :36:07

11 Aksjator i dewiator stanu naprężenia
Związek między stanem odkształceń a stanem naprężeń określa macierz sprężystości Macierz sprężystości: – ogólny stan naprężeń :36:07

12 Aksjator i dewiator stanu naprężenia
– płaski stan naprężeń – niezerowe składowe tensora naprężeń w płaszczyźnie xy Wówczas: – płaski stan odkształceń – niezerowe składowe tensora odkształceń w płaszczyźnie xy :36:07

13 Aksjator i dewiator stanu naprężenia
Wówczas: Warunek wytrzymałości doraźnej :36:07

14 Koło Mohra y sy txy z y sx x x
W dowolnym punkcie tarczy, która wraz z obciążeniem zewnętrznym leży w płaszczyźnie xy, występuje płaski stan naprężenia. x y sx sy txy z y x :36:07

15 Koło Mohra Dla płaskiego stanu naprężeń macierz reprezentująca tensor stanu naprężeń ma postać: Analogiczną postać ma macierz reprezentująca tensor stanu odkształceń. Prawo transformacji składowych płaskiego stanu naprężeń opisanego w układzie osi współrzędnych xy, pozwala wyznaczyć składowe w układzie współrzędnych xh, który to jest obrócony w stosunku do osi xy, o kąt j. Składowe stanu naprężenia w obróconym układzie współrzędnych są równe: :36:07

16 Koło Mohra y h sh sx sy x txy j txh txh txy sx x sx txy txh txy txh sx
:36:07

17 Koło Mohra Analogicznie zależności transformacji składowych płaskiego stanu odkształcenia: Naprężenia główne w płaskim stanie naprężeń określa kąt j = j0, dla którego txh = 0, czyli i wynoszą one odpowiednio: :36:07

18 Koło Mohra Wyrażenia dla płaskiego stanu odkształceń są analogiczne:
:36:07

19 Koło Mohra Graficzną formę opisu transformacji składowych płaskiego stanu naprężeń stanowi koło Mohra: 1) jeśli dane są s1 > 0, s2 > 0 i s3 = 0 to należy narysować poziomą oś naprężeń normalnych s i pionową oś naprężeń stycznych t. 2) obrać podziałkę naprężeń i odmierzyć odcinki OA i OB, przedstawiające odpowiednio naprężenia s1 i s2. 3) z punktu C, który leży pośrodku odcinka AB czyli zatoczyć okrąg o promieniu 4) należy narysować średnicę DCF, która tworzy z osią poziomą kąt 2j 5) na koniec poprowadzić odcinki DE oraz FG. :36:07

20 Koło Mohra txh s2 sx s1 s sh tmax t A B C D E F G O 2j j Stąd:
:36:07

21 Koło Mohra czyli: ostatecznie:
Odcinek OE przedstawia w przyjętej podziałce sx. Można udowodnić, że odcinki OG i ED przedstawiają odpowiednio sh i txh. Naprężenie styczne txh osiąga maksymalną wartość bezwzględną dla średnicy DCF zajmującej położenie pionowe (j = 450) i jest równe promieniowi koła naprężeń Mohra: :36:07

22 Koło Mohra Maksymalne składowe naprężeń stycznych txhmax działają na wzajemnie prostopadłych płaszczyznach, które tworzą z płaszczyznami naprężeń głównych kąty dwuścienne równe 450. Składowe normalne działające na tych płaszczyznach wynoszą: Koło odkształceń Mohra jest analogiczną konstrukcją geometryczną, a zależności dla płaskiego stanu odkształceń mają postać: :36:07

23 Koło Mohra Jeśli s1 = s2 = s > 0 lub s1 = s2 = s < 0, to występuje odpowiednio płaskie równomiernie rozciąganie albo ściskanie. Koło naprężeń Mohra redukuje się do punktu. Jeśli s1=s > 0, s2 = 0, s3 = -s (ścinanie), to w układzie współrzędnych obróconym względem osi gł.ównych o kąt j = 450 składowe normalne są równe zeru, a składowe styczne stanu naprężeń wynoszą: :36:07

24 Koło Mohra s t tmax s1 =s s3 =-s s1 = s s3 = -s tmax = s 450
:36:08

25 Koło Mohra Ścinanie występuje na walcowej powierzchni zewnętrznej lub też na dowolnej walcowej powierzchni wewnętrznej pręta skręcanego o przekroju kołowym. Ms t = s s -s 450 :36:08

26 Koło Mohra s t s1 =s > 0 Rozciąganie s3 =s < 0 Ściskanie
Gdy tylko jedno z naprężeń głównych jest różne od zera, to występuje jednoosiowy stan naprężenia. Jeśli s1 = s > 0, s2 = 0, s3 = 0, to występuje rozciąganie, a jeśli s1 = s2 = 0, s3 = s < 0 to ściskanie. s t s1 =s > 0 Rozciąganie s3 =s < 0 Ściskanie s2 =s3 = 0 s1 =s2 = 0 :36:08

27 Koło Mohra Składową normalną sxh i styczną txh w przekroju pręta rozciąganego lub ściskanego, którego normalna zewnętrzna x tworzy z osią pręta kąt j wyznacza: x j sx txh s1 = s :36:08

28 Koło Mohra Maksymalną wartość bezwzględną txh osiąga dla j = 450:
Dla przestrzennego stanu naprężeń można narysować trzy koła Mohra opisujące transformacje płaskiego stanu naprężeń kolejno, gdy s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0. :36:08

29 Koło Mohra :36:08

30 Koło Mohra Danemu stanowi naprężenia odpowiada określony punkt P obszaru ograniczonego trzema półokręgami kół Mohra. Punkt ten określa składową normalną i styczną naprężenia działającego w płaszczyźnie określonego stanu naprężeń. Największe co do bezwzględnej wartości naprężenie styczne jest równe promieniowi największego koła Mohra: Analogicznie maksymalna wartość odkształcenia postaciowego jest równa promieniowi największego koła odkształceń Mohra: :36:08

31 Dziękuję za uwagę !!! :36:08