Zmienna losowa. Wybrane rozkłady zmiennej. Przedział ufności.

Prezentacja na temat: "Zmienna losowa. Wybrane rozkłady zmiennej. Przedział ufności."— Zapis prezentacji:

1 Zmienna losowa. Wybrane rozkłady zmiennej. Przedział ufności.
Jacek Szanduła

2 Eksperyment statystyczny. Zdarzenie elementarne
Eksperyment statystyczny. Zdarzenie elementarne. Przestrzeń zdarzeń elementarnych. Eksperyment statystyczny – działanie lub proces obserwacji prowadzące do pojedynczego wyniku, którego nie można przewidzieć z pewnością. Zdarzenie elementarne – pojedynczy, najbardziej podstawowy wynik eksperymentu statystycznego. Przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego eksperymentu. Jacek Szanduła

3 Przykład przestrzeni zdarzeń elementarnych
Eksperyment statystyczny: rzut kostką Jest 6 możliwych wyników (zdarzeń elementarnych): Zdarzenie elementarne Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem złożonym z 6 elementów:  : { , , , , , } Jacek Szanduła

4 Zmienna losowa Formalnie: Nieformalnie:
Funkcja przyporządkowująca wartość rzeczywistą każdemu zdarzeniu elementarnemu Ei w przestrzeni zdarzeń Ω: X: EiΩ → R Nieformalnie: Zmienna ilościowa, która reprezentuje możliwy wynik eksperymentu statystycznego. Jacek Szanduła

5 Zmienna losowa – przykład 1
Eksperyment: rzut kością. Możliwe wartości: 1 2 3 4 5 6 Zdarzenie elementarne Wartość rzeczywista Jacek Szanduła

6 Zmienna losowa – przykład 2
Eksperyment: pięciokrotny rzut monetą. Zmienna losowa – liczba orłów. Możliwe wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5 2 Zdarzenie elementarne Wartość zmiennej Jacek Szanduła

7 Zmienna losowa dyskretna i ciągła
Zmienna losowa dyskretna, zmienna losowa skokowa Zbiór możliwych wyników jest przeliczalny np.: liczba zawartych dziś transakcji: x = 0, 1, 2, … Zmienna losowa ciągła Zbiór możliwych wyników jest nieprzeliczalny np.: czas spóźnienia na zajęcia: x  [0, 90 min.] Jacek Szanduła

8 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej – przykład
Eksperyment: trzykrotny rzut monetą. Zmienne losowa: Liczba orłów (X). Ω: {OOO, OOR, ORO, ORR, RRR, RRO, ROR, ROO} Wartość zmiennej xi Prawdopodobieństwo pi 1/8 1 3/8 2 3 p 0,325 0,250 0,125 xi 1 2 3 Jacek Szanduła

9 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej – przykład
Autobusy jeżdżą co 15 minut. Są punktualne, lecz nie wiemy kiedy jechał ostatni autobus. f (czas) a = 1/15 czas [minuta] 5 10 15 Jacek Szanduła

10 Parametry zmiennych losowych
Dyskretna Ciągła Wartość oczekiwana Wariancja gdzie: Odchylenie standardowe Mediana Modalna, dominanta Jacek Szanduła

11 Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ, co zapisujemy X ~ N(μ, σ), jeżeli jej funkcja gęstości i dystrybuanta dane są następującymi wzorami: Jacek Szanduła

12 Rozkład normalny – wykresy
Jacek Szanduła

13 Rozkład normalny – prawdopodobieństwa
Jacek Szanduła

14 Standaryzacja Transformacja zmiennej losowej na zmienną o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Jeżeli E(X) = μ i V(X) = σ2, to: Zmienna standaryzowana: Jeżeli X ~ N(μ, σ), to Z ~ N(0, 1). Z ma standaryzowany (standardowy) rozkład normalny. Jacek Szanduła

15 Tablice rozkładu normalnego
Z ~ N(0, 1) Jacek Szanduła

16 Rozkład normalny – funkcje w MS Excel 2013
P(X<1,7) = ? ROZKŁ.NORMALNY(1,7;0;1;1) 0,955 ROZKŁ.NORMALNY.S(1,7;1) ? 1,7 P(X<x0) = 0,6  x0 = ? ROZKŁ.NORMALNY.ODWR(0,6;0;1) 0,6 ROZKŁ.NORMALNY.S.ODWR(0,6) x0 0,253 Jacek Szanduła

17 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 100 < IQ < 120; 80 < IQ < 120; IQ < 120 IQ < 85; IQ > 150; 90 < IQ < 130; 120 < IQ < 130. Jacek Szanduła

18 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 100 < IQ < 120; z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 … 1,1 0,364 0,367 0,369 0,371 0,373 1,2 0,385 0,387 0,389 0,391 0,393 1,3 0,403 0,405 0,407 0,408 0,410 1,4 0,419 0,421 0,422 0,424 0,425 z = 1,(3) Jacek Szanduła

19 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 80 < IQ < 120; 1,(3) - 1,(3) - 1,(3) 1,(3) 1,(3) Jacek Szanduła

20 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: IQ < 120 1,(3) 1,(3) Jacek Szanduła

21 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: IQ < 85; z 0,00 0,01 0,02 … 0,9 0,316 0,319 0,321 1,0 0,341 0,344 0,346 1,1 0,364 0,367 0,369 1,2 0,385 0,387 0,389 -1 1 Jacek Szanduła

22 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: IQ > 150; Ponad 3σ 3,33 Jacek Szanduła

23 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 90 < IQ < 130; 0,(6) -0,(6) -0,(6) 2 2 Jacek Szanduła

24 Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15). Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby: 120 < IQ < 130. Jacek Szanduła

25 Rozkład chi-kwadrat Zmienna losowa ma rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody Χ ~ χ2n, jeżeli jest sumą kwadratów n niezależnych zmiennych losowych o standaryzowanym rozkładzie normalnym: Jacek Szanduła

26 Rozkład chi-kwadrat – wykresy
f(x) ~ χ23 F(x) ~ χ23 Jacek Szanduła

27 Tablice rozkładu chi-kwadrat
P(X>x0) x0 Jacek Szanduła

28 Rozkład chi-kwadrat – funkcje w MS Excel 2013
ROZKŁ.CHI.PS(12; 9) 0,213 12 ROZKŁ.CHI.ODWR.PS(0,6;9) 0,6 7,36 Jacek Szanduła

29 Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Oblicz prawdopodobieństwa: P(X > 1,61), P(X < 11,07). Znajdź wartość x0, jeżeli: P(X > x0) = 0,8, P(X < x0) = 0,9. Jacek Szanduła

30 Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Oblicz prawdopodobieństwa: P(X > 1,61) P(X > 1,61) ≈ 0,9 1,61 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

31 Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Oblicz prawdopodobieństwa: P(X < 11,07) P(X < 11,07) P(X > 11,07) ≈ 1 – 0,05 = 0,95 11,07 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

32 Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Znajdź wartość x0, jeżeli: P(X > x0) = 0,8, P(X > x0) = 0,8  x0 = 2,343 x0 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

33 Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody Χ ~ χ25 . Znajdź wartość x0, jeżeli: P(X < x0) = 0,9. P(X < x0) = 0,9 P(X > x0) = 0,1 x0 = 9,236 x0 p n 0,99 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 … 3 0,115 0,352 0,584 1,005 2,366 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 4 0,297 0,711 1,064 1,649 3,357 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 5 0,554 1,145 1,610 2,343 4,351 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 6 0,872 1,635 2,204 3,070 5,348 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 Jacek Szanduła

34 Rozkład Studenta, rozkład t, rozkład t Studenta
Gdy Z ~ N(0,1) i χ2n (zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z n stopniami swobody) są niezależne, to ma rozkład Studenta z n stopniami swobody Jacek Szanduła

35 Rozkład Studenta – wykresy
Jacek Szanduła

36 Tablice rozkładu t Studenta
Dwustronne Jednostronne Jacek Szanduła

37 Rozkład t Studenta – funkcje w MS Excel 2013
P(T24>1) = ? ROZKŁ.T.PS(x;stopnie_swobody) ROZKŁ.T.PS(1;24) 0,16 P(|X|>1) = ? 0,32 1 ROZKŁ.T.DS(x;stopnie_swobody) ROZKŁ.T.DS(1;24) - 1 1 P(|T24|>t0) = 0,6  t0 = ? ROZKŁ.T.ODWR.DS(prawdopodobieństwo;stopnie_swobody) ROZKŁ.T.ODWR.DS(0,6;24) - 0,53 0,53 Jacek Szanduła

38 Rozkład t Studenta – funkcje w MS Excel 2013
ROZKŁ.T ROZKŁ.T.DS ROZKŁ.T.PS ROZKŁ.T.ODWR ROZKŁ.T.ODWR.DS Jacek Szanduła

39 Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Znajdź prawdopodobieństwo: P(-2,12 < T16 < 1,746). Jakie są wartości tα, jeżeli: P(T16 < tα) = 0,75, P(| T16 | > tα) = 0,9. Jacek Szanduła

40 Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Znajdź prawdopodobieństwo: P(-2,12 < T16 < 1,746). -2,12 1,746 α n 0,475 0,45 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,02 0,001 14 … 15 0,064 0,128 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 Jacek Szanduła

41 Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Jakie są wartości tα, jeżeli: P(T16 < tα) = 0,75, tα α n 0,475 0,45 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,02 0,001 14 … 15 0,064 0,128 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 Jacek Szanduła

42 Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody. Jakie są wartości tα, jeżeli: P(| T16 | > tα) = 0,9. tα α n 0,475 0,45 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,02 0,001 14 … 15 0,064 0,128 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 Jacek Szanduła