Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Kinga Cichoń.

Prezentacja na temat: "Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Kinga Cichoń."— Zapis prezentacji:

1 Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Kinga Cichoń Dominika Cichocka Justyna Bieńko

2 Liczba pierwsza Jest to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, itp.

3 Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem {P}. Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone

4 Na żółto zaznaczone są liczby pierwsze

5 Szukanie Aby sprawdzić, czy liczba naturalna n jest liczbą pierwszą, należy dzielić ją kolejno przez wszystkie liczby większe od 1. Jeśli przy każdym dzieleniu reszta z dzielenia jest różna od zera, to liczba jest liczbą pierwszą. Natomiast jeżeli choć jedno dzielenie daje resztę równą zero, to sprawdzana liczba naturalna jest liczbą złożoną. 18-1-7

6 Rodzaje liczb pierwszych Liczby pierwsze bliźniacze: to dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Na przykład: (3, 5)(5, 7)(59, 61) Liczby pierwsze czworacze to takie liczby: p, p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą. Na przykład: 5, 7, 11, 13

7 Liczby pierwsze lustrzane To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71.

8 Liczby pierwsze Sophie Germain liczby pierwsze p które zapisane w postaci 2p+1, dają również liczbę pierwszą, np. 2 ponieważ 2 ∗ 2+1=5 3 ponieważ 2 ∗ 3+1=7 5 ponieważ 2 ∗ 5+1=11 11 ponieważ 2 ∗ 11+1=23 23 ponieważ 2 ∗ 23+1=47 29 ponieważ 2 ∗ 29+1=59

9 Dotychczas nie udało się potwierdzić, czy liczb pierwszych Sophie Germain jest nieskończenie wiele. Największa dotychczas znana liczba tego typu to 18543637900515 ∗ 2666667−1. Liczby te mają zastosowanie między innymi przy generowaniu losowych ciągów oraz w kryptografii.

10

11 Liczby pierwsze Mersenne'a - liczby pierwsze które można zapisać w postaci 2 n −1, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą, np. 3 ponieważ 2 2 −1=3 7 ponieważ 2 3 −1=7 31 ponieważ 2 5 −1=31 127 ponieważ 2 7 −1=127 8191 ponieważ 2 13 −1=8191 131071 ponieważ 2 17 −1=131071

12 Dotychczas nie stwierdzono, czy liczb pierwszych Mersenne'a jest nieskończenie wiele. Do tej pory odkryto ich 48, z których największa to 2 57885161 −1. Prawdziwe jest twierdzenie, że jeżeli liczba w postaci 2 n −1 jest pierwsza, to n również musi być liczbą pierwszą.

13

14

15 Zastosowanie Liczby pierwsze są stosowane w niektórych znanych algorytmach kryptograficznych (kryptografia - dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem). Jednym z takich jest RSA(jeden z pierwszych i obecnie najpopularniejszych algorytmów kryptograficznych z kluczem publicznym)

16 Ciekawostka 1 W 1914 roku amerykański matematyk Derrick Norman Lehmer opublikował po raz pierwszy listę wszystkich 664579 liczb pierwszych mniejszych od 10 milionów. Ciekawostka 2 Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest liczbą pierwszą. Ciekawostka 3 Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest liczbą pierwszą. Ciekawostka 4 Liczba pierwsza 26972593-1 ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie 2 098 960. Największą znalezioną dotąd liczbą pierwszą jest liczba: 213466917-1. Rekordzistkę odkryto 14 listopada 2001 roku. Liczba ta składa się z 4053946 cyfr.

17 Ciekawostka 5 Liczba 73939133 nie tylko jest liczbą pierwszą, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej strony też są liczbami pierwszymi: 7393913 jest liczbą pierwszą 739391 jest liczbą pierwszą 73939 jest liczbą pierwszą 7393 jest liczbą pierwszą 739 jest liczbą pierwszą 73 jest liczbą pierwszą 7 jest liczbą pierwszą

18 Czego nie wiadomo o liczbach pierwszych: Hipoteza 1 Czy istnieje liczba pierwsza między n 2 a (n+1) 2 dla każdego n>0? Hipoteza 2 Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n 2 +1 gdzie n jest liczbą całkowitą? Hipoteza 3 Czy każda liczba parzysta jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych? Hipoteza 4 Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, takich jak 11,13 albo 17,19 różniących się o 2. Jest to problem bliźniaczych liczb pierwszych.

19 Dziękujemy za uwagę 18-1-7