Pobierz prezentację
Pobieranie prezentacji. Proszę czekać
1
Wykład IV Ruch harmoniczny
2
Ruch harmoniczny prosty
𝑭 =𝟎 m 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 =𝒌𝒙 x=0 𝑭 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 Siła sprężystości: x 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭=−𝒌𝒙 𝑭
3
Ruch harmoniczny prosty
Równanie ruchu w dowolnej chwili x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝑭=𝒎𝒂=−𝒌𝒙 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =−𝒌𝒙 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝒌 𝒎 𝒙 równanie różniczkowe na x(t)!
4
Ruch harmoniczny prosty (pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową)
𝒌 𝒎 =𝝎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝒌 𝒎 𝒙 podstawmy 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝝎 𝟐 𝒙 (pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową) Szukamy rozwiązania postaci: 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝝎 𝟐 𝑨𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =− 𝝎 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 =−𝝎𝑨𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
5
Parametry: okres drgań
𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝝎 𝟐 𝒙 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) Definicja okresu T: czas, po którym faza drgania jest taka sama 𝒙 𝒕+𝑻 =𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒕+𝑻 =𝒙 𝒕 =𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎t) 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒕+𝑻 =𝒄𝒐𝒔(𝝎t) Wzór potwierdza słuszność założenia, że w to prędkość kątowa. Aby to pokazać, opiszemy ruchu po okręgu . 𝑻= 𝟐𝝅 𝝎 𝝎𝑻=𝟐𝝅
6
Ruch jednostajny po okręgu Układ biegunowy
𝜽=𝝎𝒕 x y 𝒗 𝒓 𝜽=𝝎𝒕 (𝒙,𝒚) 𝒔 UB – UK UK - UB 𝜽=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈( 𝒚 𝒙 ) 𝒙=𝒓𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒚=𝒓𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
7
Współrzędne biegunowe
𝝎 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕 W układzie biegunowym prędkość kątowa Dla ruchu jednostajnego po okręgu, 𝝎 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 x y 𝒗 𝒓 𝜽=𝝎𝒕 (𝒙,𝒚) 𝒔 Wówczas 𝜽=𝝎𝒕 s=𝒗𝒕=𝒓𝜽=𝒓𝝎𝒕 v = wr wektorowo: 𝒗 = 𝝎 × 𝒓
8
Okres i częstotliwość 1 radian – kąt, dla którego s=r
1 obrót - 2 radianów (1) x y 𝒗 𝒓 𝜽=𝝎𝒕 (𝒙,𝒚) 𝒔 okres (T) - czas trwania 1 obrotu (2) częstotliwość (f) - liczba obrotów / sek Z (1) i (2) 𝝎= 𝟐𝝅 𝑻 =𝟐𝝅𝒇[ 𝒓𝒂𝒅 𝒔 ]
9
Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie
𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) A - amplituda drgań T – okres drgań x T = 2/ q = t = 0 q = T = 2p A = w t - A
10
Ruch harmoniczny prosty
𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝒌 𝒎 𝐱=− 𝝎 𝟐 𝒙 x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 𝟒𝝅 𝟐 𝑻 𝟐 = 𝒌 𝒎 𝑻=𝟐𝝅 𝒎 𝒌 Okres drgań nie zależy od amplitudy!
11
Prędkość i przyśpieszenie
położenie: x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕+𝜱 𝒗(𝒕)= 𝒅𝒙(𝒕 𝒅𝒕 =−𝑨𝝎𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝜱) prędkość: 𝒂(𝒕)= 𝒅𝒗(𝒕 𝒅𝒕 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕+𝜱) przyspieszenie: xMAX = A vMAX = A aMAX = 2A
12
𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 𝒗 𝒕 =−𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 𝒂 𝒕 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 t T A Aw t T t T Aw2
𝒗(𝒕) Aw t 𝒗 𝒕 =−𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 T 𝒂(𝒕) t T Aw2 𝒂 𝒕 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕
13
Ruch harmoniczny prosty
xmax 𝒂 𝒎𝒂𝒌𝒔 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 𝒎𝒂𝒌𝒔 m 𝑭 =𝟎 m x=0 x=0 x =0 v=vmaks a=0 xmaks =A v=0 a=amax Maksymalne wychylenie Przejście przez położenie równowagi
14
Ruch harmoniczny prosty -parametry
x = A cos(t + F) A = amplituda t + F = faza = prędkość kątowa F = faza początkowa T –okres (czas trwania jednego drgania). f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T w = 2p f = 2p / T
15
Ruch harmoniczny prosty - warunki początkowe
Wykres x(t)=A cos(t - /2) = A sin(t) A = /2 -
16
Warunki początkowe –przykład cd.
dla = -/2 x(t) = A cos(t - /2 ) v(t) = -A sin(t - /2 ) a(t) = -2A cos(t - /2 ) x(t) = A sin(t) v(t) = A cos(t) a(t) = -2A sin(t) x(t) A x(t) t -A
17
Ruch harmoniczny prosty - energia
18
𝐸 𝑘 𝑡 = 𝑚 𝑣 𝑡 2 2 = 𝑚 −𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 2 2 =𝒌 𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐
Energia kinetyczna x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 𝒗 𝒕 =−𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 𝐸 𝑘 𝑡 = 𝑚 𝑣 𝑡 = 𝑚 −𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 =𝒌 𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝒌 𝒎 = 𝝎 𝟐
19
𝑬 𝒑 (𝒕)= 𝒌 𝒙(𝒕) 𝟐 𝟐 =𝒌 [ 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)] 𝟐 𝟐 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐
Energia potencjalna x 𝒂 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 m 𝒙(𝒕)=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 𝑬 𝒑 (𝒕)= 𝒌 𝒙(𝒕) 𝟐 𝟐 =𝒌 [ 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)] 𝟐 𝟐 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐
20
E(t) 𝑬 𝒑 𝒕 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝑬 𝒌 (𝒕)= 𝒌𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐
Ep(t) Ek(t) E=Ep(t)+Ek(t) t T 𝑻 𝟐 𝑬 𝒑 𝒕 = 𝒌 𝑨 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝑬 𝒌 (𝒕)= 𝒌𝑨 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕) 𝟐 𝑬=𝑬 𝒑 𝒕 + 𝑬 𝒌 𝒕 = 𝒌𝑨 𝟐 𝟐 [𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝝎𝒕 + 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝝎𝒕)]= 𝒌𝑨 𝟐 𝟐 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
21
E(x) 𝑬 𝒑 = 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐 𝑬 𝒌 = 𝒎 𝒗 𝟐 𝟐 =𝑬− 𝑬 𝒑 =𝑬− 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐 x E(x) Ep(x)
Ek(x) A -A 𝑬 𝒑 = 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐 𝑬 𝒌 = 𝒎 𝒗 𝟐 𝟐 =𝑬− 𝑬 𝒑 =𝑬− 𝒌 𝒙 𝟐 𝟐
22
Ruch harmoniczny prosty
xmaks 𝒂 𝒎𝒂𝒌𝒔 𝑭 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑭 𝒎𝒂𝒌𝒔 m x=0 m 𝑭 =𝟎 x=0 xmaks =A v=0, a=amaks x =0 v=vmaks, a=0 Maksymalne wychylenie, maksymalna energia potencjalna. Przejście przez położenie równowagi, maksymalna energia kinetyczna.
23
Ruch harmoniczny z tłumieniem.
k m
24
Równanie ruchu Tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=const) Z II zasady dynamiki Newtona: -bv F = -kx v a k m x 𝒃 𝟐𝒎 =𝜷 podstawmy
25
Rozwiązanie równania ruchu
𝒙 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕) 𝒙 𝒕 =𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕)cos( 𝛚 ′ 𝒕+𝝋) 𝛚′= 𝜔 0 2 − 𝛃 𝟐 𝒕 T’ T0 T’>T0 𝝎 ′ <𝝎 𝟎 = 𝒌 𝒎 , Resory w samochodach są tak zaprojektowane aby tłumienie było nieznacznie mniejsze aniżeli krytyczne (1-2 oscylacji). 𝜷= 𝝎 𝟎 - ruch aperiodyczny 𝝎 ′ =𝟎
26
Logarytmiczny dekrement tłumienia
𝒙 𝒕 l=𝒍𝒏 𝑨(𝒕) 𝑨(𝒕+𝑻) =𝒍𝒏 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕) 𝑨𝒆𝒙𝒑[−𝜷 𝒕+𝑻 ] =𝒍𝒏[𝒆𝒙𝒑 𝜷𝑻 ]=𝜷𝑻
27
Ruch harmoniczny z tłumieniem – energia mechaniczna E(t)
Bez tłumienia: E = 1/2 k A2 = const Z tłumieniem: E(t) = 1/2 kA(t)2 = 1/2 k A2 exp(-2bt) W ruchu harmonicznym z tłumieniem, całkowita energia mechaniczna maleje wykładniczo z czasem
28
Ruch harmoniczny tłumiony
𝒙 𝒙 𝒕 =𝑨(𝒕)cos( 𝛚 ′ 𝒕+𝝋) 𝒕 𝑨 𝒕 =𝑨𝒆𝒙𝒑 −𝜷𝒕 =𝑨𝒆𝒙𝒑(− 𝒕 𝝉 ) Dobroć układu drgającego: 𝑸= 𝝅 l = 𝝅 𝜷𝑻 = 𝝅𝝉 𝑻 =𝝅 𝑵 𝒆 𝑵 𝒆 - ilość drgań wykonywanych przez układ zanim amplituda zmaleje e razy
29
Ruch harmoniczny z tłumieniem i silą wymuszającą
x(t) = A cos(wymt + f) 𝑨= 𝑭 𝒎 /𝒎 [(𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 −𝝎 𝟎 𝟐 ] 𝟐 +𝟒 𝜷 𝟐 (𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 𝑡𝑎𝑛f= 2𝛽𝜔 𝝎 𝟎 𝟐 −𝝎 𝒘𝒚𝒎 𝟐
30
Rezonans mechaniczny
31
Drgania wymuszone - rezonans
Dla układu o częstości drgań własnych 𝝎 𝒘𝒚𝒎 𝝎 𝟎 1 A rezonans występuje, gdy x0
32
Drgania wymuszone - rezonans
𝜷 𝟏 > 𝜷 𝟐 > 𝜷 𝟑 𝑨= 𝑭 𝒎 /𝒎 [(𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 −𝝎 𝟎 𝟐 ] 𝟐 +𝟒 𝜷 𝟐 (𝝎 𝒘𝒚𝒎 ) 𝟐 A b3 a) Słabe tłumienie b2 𝑨 𝒎𝒂𝒌𝒔 = 𝑭 𝒎 𝟐𝒎𝜷 𝝎 𝟎 𝝎 𝒘𝒚𝒎 ≅ 𝝎 𝟎 b1 𝒙 𝟎 = 𝑭 𝒎 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 x0 b) 𝝎 𝒘𝒚𝒎 =𝟎 𝝎 𝒘𝒚𝒎 𝝎 𝟎 1
33
Dobroć układu rezonansowego
Dla słabego tłumienia, stosunek amplitudy, którą ma układ dla częstotliwości rezonansowej do wychylenia z położenia równowagi pod wpływem siły równej amplitudzie siły wymuszającej jest równy dobroci układu rezonansowego: 𝑨 𝒎𝒂𝒌𝒔 𝒙 𝟎 = 𝑭 𝒎 𝟐𝒎𝜷 𝝎 𝟎 𝑭 𝒎 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝝎 𝟎 𝟐𝜷 = 𝝅 𝜷 𝑻 𝟎 = 𝝅 l =Q Podczas rezonansu siła wymuszająca jest w fazie z prędkością, ponieważ wówczas moc tej siły osiąga największą wartość: 𝑷= 𝑭 ∙ 𝒗
Podobne prezentacje
© 2025 SlidePlayer.pl Inc.
All rights reserved.