MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ

Prezentacja na temat: "MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ"— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ
Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 Pojęcie Ruchu Płaskiego
Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny , zwanej płaszczyzną kierującą (Rys. 1). Przez ciało sztywne prowadzimy prostą l prostopadłą do płaszczyzny .

3 Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej
Własności: Podczas dowolnego ruchu ciała prosta l porusza się ruchem postępowym i jest stale prostopadła do . Podczas ruchu obrotowego ciała wokół prostej l punkty leżące na prostej równoległej do l mają te same prędkości i przyspieszenia. Rys.1 Wniosek! Ruch płaski jest określony, jeżeli znamy ruch przekroju bryły po płaszczyźnie kierującej.

4 Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej
Bryła wykonuje ruch płaski. Przekrój bryły S porusza się po płaszczyźnie rysunku z położenia I do II. I sposób (linia czerwona): Ruch postępowy przekroju z położenia I do IA; Obrót przekroju dookoła A1 o kąt φ. II sposób (linia niebieska): Ruch postępowy przekroju z położenia I do IB; Obrót przekroju dookoła B1 o kąt φ. Rys. 2

5 Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej
Twierdzenie W ruchu płaskim możemy przeprowadzić bryłę z położenia początkowego do położenia końcowego za pomocą ruchu postępowego oraz obrotowego dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny kierującej i przechodzącej przez obrany biegun.

6 Środek Obrotu Zastępczego
Obieramy punkty A i B danego przekroju (w położeniu I). Punkty te po wykonaniu ruchu zajmą położenie A1 i B1. Znajdujemy punkt C przecięcia się symetralnych odcinków AA1 i BB1. Widzimy, że ruch przekroju dokonał się za pomocą obrotu dookoła punktu C. Taki punkt nazywamy środkiem obrotu zastępczego (Rys. 3). Rys. 3

7 Środek Obrotu Chwilowego
Punkty AB i A1B1 obieramy nieskończenie blisko siebie. Ruch w nieskończenie krótkim czasie nazywamy ruchem chwilowym. Ruch chwilowy przekroju po płaszczyźnie kierującej jest obrotem chwilowym dookoła punktu S zwanego środkiem obrotu chwilowe- go. Rys. 4

8 Środek Obrotu Chwilowego
Własność! Środek S obrotu chwilowego leży w punkcie przecięcia się normalnych do torów punk- tów A i B (rys. 4). Rys. 4

9 Oś Obrotu Chwilowego Osią obrotu chwilowego nazywamy prostą przechodzącą przez środek obrotu chwilowego S i prostopadłą do płaszczyzny kierującej. Wokół tej osi dokonuje się również ruch chwilowy. Rys. 4

10 Centroidy i Aksoidy Punkty A1 i B1 poruszają się w płaszczyźnie po torach odpowiednio 1 i 2 (Rys. 5). S1, S2, S3,… – środki obrotów chwilowych odpowiednio w położeniach I, II, III,… Centroidą stałą Cs nazywamy miejsce geometryczne środków chwilowych Si na płaszczyźnie stałej. Rys. 5

11 Centroidy i Aksoidy Przenieśmy teraz odcinki A2B2, A3B3, A4B4,… do odcinka A1B1 (Rys. 5). Wierzchołki S2, S3, S4,… trójkątów A2B2S2, A3B3S3, A4B4S4 – znajdą się w położeniach S’2, S’3, S’4,… Centroidą ruchomą Cr nazywamy miejsce geometryczne środków chwilowych S’i na płaszczyźnie ruchomej, związanej z poruszającym się układem. Rys. 5

12 Centroidy i Aksoidy Aksoidą stałą nazywamy miejsce geometryczne osi obrotów chwilowych w układzie stałym (związanym z płaszczyzną kierującą). Jest to powierzchnia walcowa. Aksoidą ruchomą nazywamy miejsce geometryczne osi obrotów chwilowych w układzie ruchomym (związanym z poruszającą się bryłą). Jest to również powierzchnia walcowa.

13 Przewodnie prędkości i przyspieszeń
Przewodnią prędkości (przyspieszeń) punktów poruszającego się ciała nazywamy linię , na której leżą końce wektorów ich prędkości (przyspieszeń). Przewodnią jest prosta.

14 Przewodnie prędkości i przyspieszeń
Jak znaleźć mając dane i ? Końce wektorów prędkości punktów A i B dzielą przewodnią na odcinki proporcjonalne do odległości między nimi.

15 Równania Ruchu Płaskiego
Przyjmijmy układ współrzędnych x, y, związany z płaszczyzną kierującą. Na ruchomym przekroju S obierzmy dowolny biegun A jako początek ruchomego układu współrzędnych , , związanego z poruszającym się przekrojem. – wektor położenia dowolnego punktu P w układzie stałym x, y. – wektor położenia punktu P w układzie ruchomym , . – wektor położenia bieguna A w układzie stałym. Uwaga! Rys. 3

16 Równania Ruchu Płaskiego
– kąt zawarty między osią x a osią . Położenie układu ruchomego względem układu stałego:

17 Równania Ruchu Płaskiego
Kinematyczne RÓWNANIA RUCHU PŁASKIEGO w postaci wektorowej Uwzględniając rzuty tych wektorów otrzymamy RÓWNANIA RUCHU PUNKTU P.

18 Prędkość w ruchu Płaskim
Prędkość punktu P przekroju poruszającego się po płaszczyźnie kierującej: – prędkość punktu P przekroju – prędkość obranego bieguna A, jednakowa w danej chwili dla wszystkich punktów przekroju. Jest to prędkość ruchu postępowego. Prędkość końca wektora wskutek obrotu przekroju wokół bieguna A:

19 Prędkość w ruchu Płaskim Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju:
Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim jest więc sumą geometryczną prędkości ruchu postępowego i prędkości ruchu obrotowego dookoła obranego bieguna.

20 Przyspieszenie w Ruchu Płaskim
Przyspieszenie jest równe pochodnej wektora prędkości względem czasu: czyli Iloczyn wektorowy , lecz w przypadku ruchu płaskiego wektory i są stale do siebie prostopadłe, a więc co upraszcza równanie do postaci

21 Przyspieszenie w Ruchu Płaskim
gdzie – przyspieszenie punktu A w ruchu postępowym – przyspieszenie styczne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A. – przyspieszenie normalne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.

22 Przykład 1 Pręt AB o długości l umocowany jest poziomo na kołach o promieniach r tak, jak na Rys. 7. Koło o środku O obraca się ze stałą prędkością kątową ω. Znaleźć prędkość oraz przyspieszenie punktu B.

23 ROZWIĄZANIE Obieramy układ współrzędnych x i y oraz  i  tak, jak na rysunku. Oxy – układ nieruchomy; A – układ ruchomy. Wtedy

24 ROZWIĄZANIE

25 Przykład 2 Obliczyć prędkość kątową pręta AB oraz prędkość liniową punktu B mechanizmu korbowo-wodzikowego w chwili gdy φ1 = 60°. Walec toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie odległej od osi OB o promień walca 0,5 d. Dane: OA = d, AB = d√3, ω1 = const. d√3 d ½d

26 ROZWIĄZANIE Ponieważ ω1 = const, więc Równania ruchu punktu B:
d√3 d ½d Należy znaleźć zależność pomiędzy kątami φ1 i φ2!

27 ROZWIĄZANIE Skorzystamy z twierdzenia sinusów: A zatem:

28 ROZWIĄZANIE Prędkość kątowa pręta AB jest równa:
Równanie ruchu punktu B:

29 Prędkość liniowa punktu B:
Dla φ1 = 60°:

30 Toczenie się walca po powierzchni
Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni v v 2v v√2 v v v v v + = O O O v ω v v ω v√2 r. postępowy + = r. obrotowy r. płaski ω = v/r

31 Toczenie się walca po powierzchni
Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni vobr – prędkość punktu P w ruchu obrotowym r1 O α vobr P v

32 Toczenie się walca po powierzchni
Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni

33 Przykład 4 Walec o promieniu r toczy się bez poślizgu po wewnętrznej stronie nieruchomej powierz-chni walcowej o promieniu R, wprowadzony w ruch za pomocą korby OA. Prędkość kątowa korby wynosi ω1. Znaleźć: prędkości liniowe punktów A, B i D; prędkość i przyspieszenie liniowe walca. Dane: r, R, ω1.

34 ROZWIĄZANIE Korzystając z poprzedniego zadania: vD ω2 vA