Pakiety Matematyczne dla Informatyków

Prezentacja na temat: "Pakiety Matematyczne dla Informatyków"— Zapis prezentacji:

1 Pakiety Matematyczne dla Informatyków
Wykład 1

2 Obliczenia numeryczne i symboliczne
Obliczenia numeryczne- prosta algebra n.p. zapasy, plany zaopatrzenia dla wojsk Ekstrapolacja- zjawiska astronomiczne, rozwiązania równań różniczkowych- Kartezjusz, Euler Dopasowyawnie modeli ogólnych do danych numerycznych (Kopernik, Kepler, Airy (1820)) Mechanizm z Antikyteny, ok. 150 r. p.n.e.

3 Komputery jako maszyny obliczeniowe
Cyfrowe -maszyna różnicowa Babbage’a (1833) -Bomba kryptologiczna (1938 Rejewski, 1940 Turing) -Colossus 1943 (5,8MHz) -Eniac (trajektorie balistyczne 1950-prognozy pogody von Neumanna, 100kHz) -Lorenz 1963-odkrycie Chaosu -Komercjalizacja komputerów (UNIVAC I $ , Układy scalone 1958), Sinclair, Apple, Comodore, …

4 Komputery jako maszyny obliczeniowe
Analogowe -Dumaresq (1902-komputer nawigacyjny) -AKAT Jacek Karpiński Zasada działania: Problem: rozwiązać równanie różniczkowe odpowiadające procesowi fizycznemu (n.p. stanowi równowagi hydrodynamicznej). Równanie jest wyrażone przez pierwiastek wielomianu funkcji i jej pochodnych. Równanie reprezentowane jest przez układ elektroniczny Przykłady elementów i operacji -cewki-różniczkowanie] -kondensatory-całkowanie -tranzystory mnożenie

5 Obliczenia symboliczne
Żmudne, często niewykonalne (n.p. całki, równania różniczkowe) (przykłady) Oszczędzające czas-szeregi… Abstrakcyjne-bez podanych wartości początkowych Ogólne- te same zasady dla różnych obiektów matematycznych. Komputery potrafią: Liczyć Interpretować dane Przeszukiwać bazy danych Nadają się do obliczeń symbolicznych

6 Wczesne programy obliczeniowe
Schoonschip (1963) Reduce (1968 Tony Hearn) Macsyma, Maxima (1968) FORM SMP (Wolfram 1979) Axiom Matlab (1985) Derive (1988) Mathematica (1988) R (2000) Symbol x,y; Local myexpr = (x+y)^3; Id y = x; Print; .end

7 Struktura Programu ~5.5 GB Jądro Interface Pakiety

8 Cechy programu Zalety Wady Intuicyjna obsługa Droga licencja
Szeroka gama zastosowań Duża objętość Mnogość specjalistycznych pakietów i funkcji Duże pliki wyjściowe (notatniki) Bogata biblioteka wewnętrzna Duże zużycie pamięci Programowalność Język wysokiego poziomu-powolne obliczenia Wsparcie dla nowoczesnych środowisk programistycznych Możliwość licencji sieciowej

9 Zastosowanie Sprawdzanie obliczeń Obliczenia prototypowe
Upraszczanie formuł używanych w innych programach Opracowywanie procedur dla innych programów Analiza danych specjalistycznych Wizualizacja danych Przygotowywanie prezentacji Grafika i Animacje (również 3D)

10

11 Mathematica 10-interfejs

12 Format danych w Mathematice
Typy danych: -Komórki wejściowe i wyjściowe -string -wyrażenie -liczba całkowita -stałe niewymierne -ułamki -liczby rzeczywiste -liczby zespolone -grafika -grafika 3D -obiekty dynamiczne (dźwięk, animacja} -tablice … Cała komunikacja Mathematici z użytkownikiem jest oparta na wyrażeniach. Wyrażeniem są nawet notatniki. Pozwala to na edycję notatników nawet bez dostępu do programu. Gwarantuje to łatwą i jednoznaczną komunikację z programem

13 Prosta algebra Nagłówki Przywołanie funkcji: Wprost:f[x] Przed wyrażeniem Po wyrażeniu //f[#]& Przełączanie katalogów Import i eksport danych

14 Podstawienie wartości
Set[#1,#2],#1=#2-podstawienie natychmiastowe SetDelayed[#1,#2],#1:=#2 podstawienie przy każdorazowym wywołaniu (dla Funkcji) Clear[#] usuwa wartość z pamięci ClearAttributes[#1,#2] ClearAll[#] With[{#1},#2] –podstawia tymczasowo definicje z listy #1 do wyrażenia #2 #1/.#2, ReplaceAll[#1,#2]-podobnie jak with, ale używamy Rule[#] #1//.#2 ReplaceRepeated[#1,#2]-podstawienia dokonywane w kolejności Assuming[#1,#2]-traktowanie wyrażenia #2 przy założeniach #1 (potrzebna jest dodatkowa komenda)

15 Otrzymywanie wyników Wyświetla się: Nie wyświetla się
Proste wyrażenie bez podstawień Set With Replace, With, Block W pętlach po komendzie Print,… Wyrażenia zakończone średnikiem SetDelayed W pętlach

16 Liczby zespolone Im r q Re Re[#]-część rzeczywista Im[#]-część urojona
Conjugate[#]-sprzężenie. Abs[#]-moduł Arg[#]-faza ReIm[#]-zamiana liczby na dwuelementową listę AbsArg[#]- ---//--- FromPolarCoordinates[#] ToPolarCoordinates[#]

17 Równania kwadratowe W ciele liczb zespolonych liczba pierwiastków wielomianu odpowiada jego stopniowi Wilelomiany o współczynnikach zespolonych mają pierwiastki parami sprzężone

18 Tablice Uporząkowane ciągi dowolnych obiektów
Długość listy może być dowolnie zmieniana Elementy list mogą być bezpośrednio zmieniane Listy mogą być dodawane Listy list o różnych rozmiarach i o różnych głębokościach Możliwe puste listy Jednoelementowa lista nie jest równoważna swojemu elementowi Role: listy, ciągi danych, wektory, tensory, zbiory

19 Podstawowe komendy Table[…,{i,imin,imax}] Range[i] Sort[#] NestList
Map[f,#] KroneckerProduct-iloczyn zewnętrzny dwóch tablic Outer[#1,…]-podobnie, ale #1 może być dowolną funkcją

20 Jako listy Part[#,m],#[[m]]-pobierz m-ty element listy # Part[#,-m] #[[-m]]-licz od końca #[[m,n]]-dla tablic wielowymiarowych #[[m;n;l]]-elementy od m-tego do n-tego Take[#,m]-pobierz m pierwszych elementów Take[#,-m]-pobierz m pierwszych od końca elementów Take[#,{m,n}]-pobierz elementy od m-tego do n-tego First, Rest, Most, Last

21 Drop[#,m]-odrzuca pierwsze m elementów Drop[#,-m]- ---//--- ostatnie m elementów Drop[#,{m}] ---//--- m-ty element Append[#,x]-zwraca listę z dodanym elementem na końcu AppendTo[#,x]-dodaje x do listy # (nie zwraca jej) Prepend PrependTo Select[#,m]-Wybiera z listy elementy, które speniają warunek m Length[#]-podaje długość listy Dimensions[#]-wymiary listy wielowymiarowej (foremnej) Sort-porządkuje listę-liczby, ciągi znaków, zmienne, listy Join łączy listy

22 Listy jako listy-uzupełnienie
Reverse[#]-odwrócenie kolejności RotateLeft[#,m]-przesunięcie wyrazów w lewo o m pozycji, pozostałe są dodawane na początku listy. Permutations[#]-daje listę wszystkich Permutacji danej listy (używać ostrożnie!)

23