Transformacja Z -podstawy

Prezentacja na temat: "Transformacja Z -podstawy"— Zapis prezentacji:

1 Transformacja Z -podstawy
Analogowa funkcja x(t) spróbkowana Transformata Laplace’a.

2 Z twierdzenia o przesunięciu:

3 Transformata Z ciągu x(n)
Transformata odwrotna

4 Dla sygnału o skończonej liczbie punktów:

5 Czym jest transformata Z?
Dla sygnałów dyskretnych jest tym, czym transformata Laplace’a dla sygnałów analogowych – umożliwia analizę stanów dynamicznych układów Jest uogólnieniem (rozszerzeniem) Transformaty Fouriera

6 Określenie obszaru zbieżności:

7 Przykład 1 Dana funkcja (impuls dyskretny):
Z definicji  istnieje jedynie jej pierwszy składnik:

8 Przykład 2 Dany sygnał: Z definicji  transformata składa się z nieskończenie wielu składników:

9

10 Obszar zbieżności:

11 Przykład 2 cd Dany sygnał:
dla a=1 sygnał jest dyskretnym skokiem jednostkowym a jego transformata Z:

12 Właściwości transformacji Z
Liniowość Przesunięcie Twierdzenie o różniczkowaniu Twierdzenia graniczne

13 Liniowość

14 Przykład Dany jest sygnał:

15 Z-transformata szeregu opóźnionego:

16

17 Twierdzenie o różniczkowaniu

18 Przykład zastosowania
Dany jest sygnał dyskretny Z twierdzenia o różniczkowaniu:

19 Twierdzenie graniczne

20 Odwrotna transformata Z
Proces otrzymania x(n) z X(z) zwany transformatą odwrotną może być zrealizowany poprzez rozwiązanie całki zespolonej wzdłuż zamkniętej krzywej c na płaszczyźnie Z obejmującej początek układu, leżącej w obszarze zbieżności i mającej kierunek odwrotny do kierunku ruchu wskazówek zegara.

21 W pzypadku funkcji wymiernej X(z)
Proces otrzymania x(n) z X(z) można przeprowadzić na bazie rozkładu na ułamki proste. Przykład: Z rozkładu na ułamki proste:

22

23 Rezultat niezadawalający:
Bowiem nie posiada struktury standardowej transformaty znanego sygnału! Lekarstwo? Taką postać rozłóżmy na ułamki proste

24 Mnożąc obustronnie przez z:

25 Inna koncepcja wyznacania transformaty odwrotnej
aby uzyzskać szereg potęgowy dzielimy bezpośrednio licznik przez mianownik.. Przykład: PROCEDURA DZIELENIA

26

27 Twierdzenie o splocie dyskretnym
Dowód:

28 Z DEFINICJI X(z): Z iloczynów funkcji

29 Przykład

30 Splot graficznie .

31 Weryfikacja

32 Funkcja przejściowa systemu dyskretnego
Odpowiedź systemu LTI na wymuszenie x(n) Odpowiedź impulsowa

33 Dla systemów o zerowych warunkach początkowych (x(n)=0 dla n<0)
Twierdzenie o transformacie splotu

34 Transformata Z dyskretnego sygnału wejściowego
Transformata Z sygnału wyjściowego Transformata Z odpowiedzi impulsowej h(n) układu o zerowych warunkach początkowych = FUNKCJA PRZEJŚCIOWA = FUNACJA OBWODOWA

35 Ogólny opis systemu LTI :
Dyskretny sygnał wejściowy Dyskretny sygnał wyjściowy Równanie różnicowe systemu LTI

36 Po zastosowaniu Transformacji Z :
Transformata Z dyskretnego sygnału wejściowego Transformata Z dyskretnego sygnał wyjściowego

37 Po elementarnych przekształceniach:
Transformata Z odpowiedzi impulsowej h(n) układu o zerowych warunkach początkowych = FUNKCJA PRZEJŚCIOWA = FUNACJA OBWODOWA

38 Przykład reprezentacji systemu za pomocą blokowego diagramu:
u(n)

39 Wykorzystanie rozkładu na ułamki proste funkcji Y(z)/z:

40 FUNKCJA PRZEJŚCIOWA = FUNACJA OBWODOWA

41

42 Zera i bieguny funkcji H(z)
zera funkcji Stały współczynnik bieguny funkcji

43 Dla biegunów jednokrotnych i stopnia licznika mniejszego od mianownika:
rozkład na ułamki proste ==> pomnożenie przez z

44 Odpowiedź impulsowa systemu:
Transformata odwrotna Z

45 Właściwości odpowiedzi h(n) dla biegunów rzeczywistych dodatnich:

46 Właściwości odpowiedzi h(n) dla biegunów rzeczywistych ujemnych:

47 Bardziej skomplikowany przypadek: bieguny zespolone

48 Prosty przykład Dany system dyskretny opisany funkcją:
Cel: wyznaczenie dyskretnej odpowiedzi impulsowej h(n)

49 Rozwiązanie Znajdujemy bieguny:

50 Rozwiązanie (cd) oraz współczynniki rozkładu H(z)/z na ułamki proste

51 Realizacja rozkładu w Matlabie:
[r,p,k]=residue(L,M) r = e e-001i e e-001i e+000 p = e e-001i e e-001i e-001 k = []

52

53 Parę słów o stabilności
Dla systemów przyczynowych LTI, n<m, brak wspólnych składników w liczniku i mianowniku: Składniki odpowiedzi impulsowej w przypadku biegunów jednokrotnych

54

55 Rozwiązywanie równań różnicowych z wykorzystaniem transformaty Z.
ETAPY PROCESU Transformacja Z obu stron równania różnicowego (uwzględnienie warunków początkowych) Twierdzenie o przesunięciu Przekształcenie zależności  rozwiązanie równania algebraicznego względem transformaty Z sygnału wyjściowego. Obliczenie transformaty odwrotnej

56 Przykład Rozwiązać równanie różnicowe: gdzie:

57 Rozwiązanie (1) Po zastosowaniu obustronnej transformacji Z do równania: .

58 Rozwiązanie (2) po rozwiązaniu względem Y(z): .

59 Rozwiązanie (3) Znajdujemy rozkład Y(z)/z na ułamki proste: .

60 Realizacja rozkładu w Matlabie:
[r,p,k]=residue(L,M) r= e-001 e-001 e-001 p = e+000 e+000 e-001 k = []

61 Rozwiązanie (4) .

62 Nieco inna koncepcja rozkładu
L=[ ] M=[ ] [r,p,k]=residuez(L,M)

63 Schemat blokowy systemu opisanego zadanym równaniem:

64 Porównanie DTFT i Z DTFT ciągu {xm}
w szczególnym wypadku dla x(m)=0 przy m<0

65 Porównanie DTFT i Z (2) porównując z
Transformata Z ciągu {xm} m=0,1,2,... porównując z

66 Porównanie DTFT i Z (2) Odpowiedź częstotliwościowa systemu:

67 Przykład realizacji polecenia freqz(L,M) dla systemu opisanego
funkcją H(z)