Podstawy automatyki I Wykład /2016

Prezentacja na temat: "Podstawy automatyki I Wykład /2016"— Zapis prezentacji:

1 Podstawy automatyki I Wykład 6 - 2015/2016
- studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład /2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe obiektu dynamicznego

2 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Interesuje nas: Odpowiedź obiektu liniowego stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne Potrafimy już znajdować: Odpowiedź w dziedzinie czasu, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych Odpowiedź w dziedzinie zmiennej zespolonej s, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych  Przypadek szczególny: zerowy warunek początkowy, prowadzi do pojęcia transmitancji operatorowej R.R. G(s) u(t) y(t) U(s) Y(s)

3 Przykładowy obiekt: Model matematyczny:

4 Dla: gdzie: Odpowiedź operatorowa układu:

5 Znajdźmy odpowiedź naszego przykładowego układu na wymuszenie sinusoidalne
Interesują nas odpowiedzi na pytania:  czy odpowiedź układu będzie sinusoidalna dla t0 (ogólnie dla tt0 , gdzie t0 - chwila początkowa obserwacji)  co można będzie powiedzieć o stosunku amplitud sygnału wyjściowego i wejściowego - wzmocnieniu  co można będzie powiedzieć o kątach fazowych sygnału wyjściowego i wejściowego – przesunięciu fazowym

6 Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi
Przedstawmy równanie różniczkowe modelu układu w postaci: Rozwiązanie tego równania uwy(t) (odpowiedź układu) dla dowolnego wymuszenia uwe(t) ma postać (patrz poprzednie wykłady): (*) Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi

7 Jaka będzie odpowiedź układu, jeżeli wymuszenie będzie miało postać:
(**)

8 Podstawiając (**) do (*)
Można pokazać (dobre zadanie do samodzielnego wykonania), że odpowiedź układu na sinusoidalne wymuszenie ma postać: Wniosek: odpowiedź układu na wymuszenie sinusoidalne nie jest sinusoidalna dla dowolnego t0

9 Odpowiedź częstotliwościowa układu
Jeżeli interesujemy się odpowiedzią układu dla chwil t wystarczająco odległych od chwili t>>0 takich, że składowa swobodna będzie pomijalnie mała: sygnał odpowiedzi układu na wymuszenie wyniesie Odpowiedź częstotliwościowa układu

10 Wejście Wyjście gdzie:
Wnioski:  Odpowiedź ustalona układu liniowego stacjonarnego pobudzanego sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości kątowej  jest również sygnałem sinusoidalnym o tej samej częstotliwości

11 Wejście Wyjście gdzie:
Wnioski:  Amplituda odpowiedzi ustalonej układu jest różna od amplitudy wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu)

12 Wejście Wyjście gdzie:
Wnioski:  Kąt fazowy odpowiedzi ustalonej układu jest różny od kąta fazowego wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu)

13 =

14 Policzmy: a. Stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego b. Różnicę kątów fazowych sygnału wyjściowego i sygnału wejściowego

15 a. Amplituda sygnału wejściowego: Amplituda sygnału wyjściowego: Stosunek amplitud:

16 b. Kąt fazowy sygnału wejściowego: Kąt fazowy sygnału wyjściowego: Różnica kątów fazowych:

17 Wróćmy do opisu dynamiki przykładowego układu za pomocą transmitancji operatorowej
G(s) jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej s =σ+jω W szczególności jej wartości można obliczać dla s=jω

18 Policzmy zatem wartości G dla s=j
Możemy poszukiwać dla przedstawienia w postaciach używanych dla liczb zespolonych

19 Przykład 1:  G(jω) ReG(jω) ImG(jω) |G(jω)| Przypomnieć sobie zasady rachunku liczb zespolonych!!!

20 Przykład 2: ReG(jω) ImG(jω)

21 Wykonajmy eksperyment – policzmy dla pokazanego na początku układu RL transmitancję dla s=j
Moduł: Faza:

22 - z odpowiedzi częstotliwościowej - z transmitancji widmowej
Porównanie: - z odpowiedzi częstotliwościowej - z transmitancji widmowej Wniosek:!!! Transmitancja dla s=j zawiera pełną informację o odpowiedziach częstotliwościowych (ustalonej odpowiedzi wymuszonej na sygnał sinusoidalny) układu dynamicznego dla różnych pulsacji ω

23 Definicja transmitancji widmowej
Stąd: Transmitancja dla s=j stosowana jest jako narzędzie analizy układów dynamicznych i nosi nazwę transmitancji widmowej Definicja transmitancji widmowej

24 Matematycznie: G(jω) odwzorowuje dziedzinę (oś) pulsacji ω płaszczyznę zespoloną

25 Stosowane nazwy: - wzmocnienie amplitudowe, moduł - przesunięcie fazowe, faza

26 Przykład 3:

27 Przykład 3: c.d. Dyskusja: Jeżeli dla to Jeżeli dla to Element inercyjny zmniejsza amplitudę i wprowadza opóźnienie fazowe

28 Człon inercyjny jako filtr dolnoprzepustowy
Dwustronnie odwrotne przekształcenie Laplace’a

29 Odpowiedź na wymuszenie skokowe o amplitudzie A
Stała czasowa styczna w t = t0 Część rzeczywista P() Część urojona Q() Transmitancja widmowa Wzmocnienie statyczne Moduł: Faza:

30 a) charakterystyka (częstotliwościowa) amplitudowa
b) charakterystyka (częstotliwościowa) fazowa

31 wykorzystamy zasadę superpozycji
Przykład 4: Mamy, Niech wymuszenie: wykorzystamy zasadę superpozycji

32 Skorzystamy z właściwości działań na liczbach zespolonych przedstawionych w postaci wykładniczej
Dla sygnału wymuszającego: Odpowiedź ustalona: W dziedzinie częstotliwości dla obiektu o transmitancji G(j): W przykładzie:

33 Po podstawieniu danych przykładu:
Składowa wymuszenia (wejścia) o częstotliwości „poza” przepustowością filtru została odrzucona!

34 Dlaczego interesują nas odpowiedzi częstotliwościowe?
 sygnały sinusoidalne są często wymuszeniami układów  Dowolne sygnały dobrze aproksymują się za pomocą szeregów Fouriera Możliwość eksperymentalnego wyznaczenia transmitancji widmowej

35

36 Formy graficznego przedstawiania transmitancji widmowej – charakterystyki częstotliwościowe
Znane są następujące charakterystyki częstotliwościowe  charakterystyka amplitudowo – fazowa zwana charakterystyką Nyquist’a

37  charakterystyka amplitudowa (a)
 charakterystyka fazowa (b)

38  charakterystyka składowej rzeczywistej transmitancji (a)
 charakterystyka składowej urojonej transmitancji (b)

39  charakterystyka logarytmiczna amplitudowa (a)
 charakterystyka logarytmiczna fazowa (b) zwane wykresami Bode’a

40

41 Charakterystyki amplitudowo – fazowe; wykresy Nyquist’a

42 Przykład 5:

43

44 Charakterystyki logarytmiczne amplitudy i fazy; wykresy Bode’a
Transmitancję dowolnego elementu można przedstawić:

45

46

47 Przykładowo:

48 Szkicując charakterystyki asymptotyczne przyjmuje się zwykle zgrubnie:

49 Charakterystyki amplitudy

50 Charakterystyka błędu modułu

51 Charakterystyki fazy

52 Charakterystyki rzeczywiste i asymptotyczne

53 Przykład 6: ω1 = 10

54 Przykład 7: ω1 = 10

55 Przykład 8:

56 Dokładność aproksymacji:

57 – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu
Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu