Wytrzymałość materiałów

Prezentacja na temat: "Wytrzymałość materiałów"— Zapis prezentacji:

1 Wytrzymałość materiałów
(WM I - 4)

2 prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego
SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Poniedziałki: , Czwartki: W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

3 Wykład W4: Wytrzymałość prętów na skręcanie: - Warunki równowagi
- Warunki geometryczne - Związki fizyczne - Wytrzymałość pręta na skręcanie, warunki wytrzymałości - Przykłady praktyczne prętów skręcanych Przykład obliczeniowy: Obciążenia, naprężenia, odkształcenia na przykładzie © Prof. Krzysztof Kaliński © dr hab. inż. Mirosław Gerigk, prof. nadzw. PG

4 Skręcanie prętów Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku działania obciążenia przekroju w postaci momentu skręcającego (przyczyna) obserwujemy odkształcenie elementu konstrukcji w postaci kąta . Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego. Pręt o przekroju kołowym –hipoteza płaskich przekrojów – przekrój prostopadły do osi pręta pozostaje płaski –w przekroju normalnym do osi pręta występują wyłącznie naprężenia styczne 

5 Skręcanie prętów r A B’ B Ms Ms Warunki równowagi gdzie:

6 elementarny kąt skręcenia pręta
Skręcanie prętów Z warunków geometrycznych przedstawionych na rysunku wynika, że: elementarny kąt skręcenia pręta przy czym Kąt odkształcenia postaciowego zależy od punktu przekroju poprzecznego, w którym jest mierzony. Związki fizyczne W przypadku skręcania istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem odkształcenia postaciowego (prawo Hooke’a dla ścinania): - naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu - moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała stablicowana

7 elementarny kąt skręcenia pręta
Skręcanie prętów Z warunków geometrycznych przedstawionych na rysunku wynika, że: elementarny kąt skręcenia pręta przy czym Kąt odkształcenia postaciowego zależy od punktu przekroju poprzecznego, w którym jest mierzony. Związki fizyczne W przypadku skręcania istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem odkształcenia postaciowego (prawo Hooke’a dla ścinania): - naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu - moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała stablicowana

8 Skręcanie prętów W dalszej kolejności wyznaczamy
a następnie (z warunku równowagi) albo IS – biegunowy moment bezwładności przekroju

9 Skręcanie prętów Rozkład naprężeń w przekroju skręcanym nie jest równomierny. Naprężenia zmieniają się liniowo od 0 w środku do wartości maksymalnej na obwodzie. r Można wykazać, że istnieje związek:

10 wskaźnik wytrzymałości na skręcanie WS
Skręcanie prętów Dla przekroju kołowego jednorodnego – przypadek praktyczny Maksymalna wartość naprężeń: wskaźnik wytrzymałości na skręcanie WS Elementy skręcane konstrukcji maszyn oblicza się z uwagi na spełnienie warunku wytrzymałości dla naprężeń dopuszczalnych na skręcanie:

11 Skręcanie prętów Kąt skręcenia pręta zmienia się wzdłuż długości x (0  x  l), zgodnie z zależnością Jeżeli MS, IS, G nie zależą od x, pręt o długości l odkształci się o: Sztywność pręta na skręcenie GIS © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :20:28

12 Skręcanie prętów Pręt skręcany momentem ciągłym wzdłuż długości m(x) [Nm/m] oraz momentem skupionym M [Nm] m(x) M x MS m(x) MS+dMS x x dx l x dx Warunek równowagi elementu dx Moment skręcający Różniczka momentu skręcającego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :20:28

13 Skręcanie prętów Równanie różniczkowe kąta skręcenia Warunki brzegowe
Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe kąta skręcenia dla m(x)=m0, 0  x  l (stałe obciążenie momentem ciągłym na długości pręta) © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :20:28

14 Skręcanie prętów dla x=0, =0  C2=0 dla x=l, 
Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe kąta skręcenia dla m(x)=m0, 0  x  l (stałe obciążenie momentem ciągłym na długości pręta) Rozwiązanie. Po 2-krotnym scałkowaniu i uwzględnieniu warunków brzegowych, otrzymamy kolejno: Warunki brzegowe: dla x=0, =0  C2=0 dla x=l,  © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :20:28

15 Skręcanie prętów MS(x) m0l+M M + Ostatecznie
Kąt skręcenia swobodnego końca pręta (x = l) Moment skręcający MS(x) m0l+M M + © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :20:28

16 Skręcanie prętów Przykład. Inspekcyjny robot latający Średnica wirnika głównego mm Masa g Typ napędu benzynowy Moc W Udźwig g Wirnik główny pręt obciążony ciągłym momentem skręcającym wzdłuż promienia Maksymalny moment skręcający © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :20:28

17 Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :20:28