F r a k t a l e.

Prezentacja na temat: "F r a k t a l e."— Zapis prezentacji:

1 F r a k t a l e

2 Fraktale są to figury geometryczne o złożonej strukturze, nie będące krzywymi, powierzchniami ani bryłami w rozumieniu klasycznej matematyki. Charakteryzuje je ułamkowy wymiar (stąd nazwa fraktal - ang. 'fraction' ułamek, łac. 'fractus' złamany) Fraktal - w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu).

3 Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali. struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej. jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym. ma względnie prostą definicję rekurencyjną. ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

4 Tworzenie fraktali z użyciem iteracji
Czy istnieje jakiś przepis na tworzenie fraktalnych wzorów? Odpowiedź brzmi tak, kluczowe znaczenie ma tu proces zwany iteracją przekształcenia. Mamy funkcję , która przekształca pewien zbiór sam w siebie. Weźmy pewien punkt x. Pierwszą iteracją na będzie punkt f (x) Drugą iteracją na będzie punkt f (f (x)) Trzecią iteracją na będzie punkt f (f (f (x))) ... …

5 Fraktale - to taka interpretacja graficzna pewnych równań czy ciągów, które do niedawna uchodziły za matematyczne potworki, zupełnie abstrakcyjne i nie mające żadnych odniesień do rzeczywistości. Ich tworzenie polegało na powtarzaniu w nieskończoność określonych czynności, na liczeniu elementów pewnych ciągów i dobieraniu koloru rysowanego punktu w zależności od wyniku.

6 W dzisiejszych czasach rozwój wizualizacji pozwala na dopasowanie kolorów

7

8

9

10 Krzywa Kocha Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem. Następnie dzieli się ją na trzy równe części a na środkowej tworzy trójkąt równoboczny i usuwa jego podstawę. To pierwszy krok - generator krzywej Kocha. Ten sam algorytm wykonuje się na każdym z powstałych odcinków. Konstrukcja płatka śniegu wygląda identycznie. Najpierw rysuje się trójkąt równoboczny a następnie dzieli każdy bok aktualnej figury na trzy równe części, a na środkowej należy wstawić trójkąt równoboczny. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie.

11 Zbiór Cantora Zbiór Cantora powstaje według prostego algorytmu, podziału odcinka na trzy równe części i usunięcia środkowej, następnie z każdą z dwóch części robimy to samo. Zbiór ten ma długość równą zero i nieprzeliczalną liczbę punktów. Jest samopodobny, ponieważ każda dowolnie mała jego część, jest pomniejszoną kopią całości.

12 Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia. Więcej na temat trójkąta Sierpińskiego można dowiedzieć się, odwiedzając muzeum Boymans van Beuningen w Rotterdamie. Wśród wielu wspaniałych obrazów jeden ma cechy wspólne z trójkątem Sierpińskiego. To Oblicze wojny Salvador Dali.

13 Trójkąt Sierpińskiego
Otrzymujemy go w następujący sposób: w trójkącie równobocznym łączymy środki krawędzi, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwamy, a wobec trzech pozostałych trójkątów powtarzamy tę samą operację, to jest dzielimy każdy na cztery mniejsze trójkąty, usuwamy środkowy, a wobec pozostałych powtarzamy i tak dalej. W wyniku powtarzania iteracji otrzymuje się 3, 9, 27, 81, 243, … trójkąty. Każdy z nich jest dokładną wersją trójkątów z poprzednich kroków.

14 Dywan Sierpińskiego Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

15

16

17

18

19

20 Zastosowanie fraktali w informatyce
Kompresja fraktalna to system kompresji stratnej opierający się na wykorzystaniu fraktali do reprezentacji danych. Używany jest prawie wyłącznie do kompresji obrazów. Tworzenie grafiki komputerowej - przy pomocy algorytmu możemy generować zarówno krzywe fraktalne jak i figury z nich złożone, które w rzeczywistości wyglądają jak linie brzegowe, całe wyspy, góry czy chmury. Zapamiętując jedynie dwa początkowe punkty i wysokości trójkątów, możemy zapamiętać dowolną łamaną używając stosunkowo niewielkiej ilości pamięci. Powiększanie obrazów – dzięki zastosowaniu algorytmu wykorzystującego fraktale, możemy powiększać dany obraz, ponieważ obraz będzie miał nieskończoną rozdzielczość. Brakujące fragmenty nie będą co prawda odtwarzane dokładnie, lecz piksele staną się punktami, a nie kwadratami jak w grafice rastrowej.

21 Inne zastosowania fraktali
Pomimo, iż fraktale są w miarę nową gałęzią matematyki, znalazły bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w świecie matematyki i informatyki. Dziś, fraktale powoli zaczynają wkraczać w nasze środowisko nie tylko od strony natury, ale także nowoczesnej technologii. Oto najważniejsze zastosowania fraktali: badanie nieregularności powierzchni, opis procesów chaotycznych zachodzących w układach dynamicznych, przetwarzanie i kodowanie obrazów cyfrowych – kompresja fraktalna, modelowanie tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki komputerowej, badanie struktury łańcuchów DNA, badanie samopodobnych struktur harmonicznych występujących w muzyce.

22

23

24

25